Momentový problém - Moment problem - Wikipedia

v matematika, a momentový problém vzniká v důsledku pokusu o invertování mapování, které trvá a opatření μ do sekvencí momenty

${ displaystyle m_ {n} = int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {n} , d mu (x) ,.}$

Obecněji lze uvažovat

${ displaystyle m_ {n} = int _ {- infty} ^ { infty} M_ {n} (x) , d mu (x) ,.}$

pro libovolný sled funkcí M_n.

Úvod

V klasickém prostředí je μ měřítkem na skutečná linie, a M je sekvence { Xⁿ : n = 0, 1, 2, ...}. V této formě se otázka objeví v teorie pravděpodobnosti, s dotazem, zda existuje míra pravděpodobnosti po upřesnění znamenat, rozptyl a tak dále a zda je jedinečný.

Existují tři pojmenované klasické momentové problémy: Hamburgerův momentový problém ve kterém Podpěra, podpora μ může být celá skutečná čára; the Stieltjesův momentový problém, pro [0, + ∞); a Hausdorffův momentový problém pro ohraničený interval, který bez ztráty obecnosti lze brát jako [0, 1].

Existence

Posloupnost čísel m_n je posloupnost momentů míry μ právě když je splněna určitá podmínka pozitivity; jmenovitě Hankel matice H_n,

${ displaystyle (H_ {n}) _ {ij} = m_ {i + j} ,,}$

mělo by pozitivní semi-definitivní. Je tomu tak proto, že kladně semidefinitní Hankelova matice odpovídá lineární funkci ${ displaystyle Lambda}$ takhle ${ displaystyle Lambda (x ^ {n}) = m_ {n}}$ a ${ displaystyle Lambda (f ^ {2}) geq 0}$ (nezáporné pro součet čtverců polynomů). Převzít ${ displaystyle Lambda}$ lze rozšířit na ${ displaystyle mathbb {R} [x] ^ {*}}$. V jednorozměrném případě lze nezáporný polynom vždy zapsat jako součet čtverců. Takže lineární funkční ${ displaystyle Lambda}$ je pozitivní pro všechny nezáporné polynomy v jednorozměrném případě. Podle Havilandovy věty má lineární funkcionál formu míry, to je ${ displaystyle Lambda (x ^ {n}) = int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {n} d mu}$. Podmínka podobné formy je nezbytná a dostatečná pro existenci opatření ${ displaystyle mu}$ podporováno v daném intervalu [A, b].

Jedním ze způsobů, jak tyto výsledky dokázat, je uvažovat o lineární funkci ${ displaystyle varphi}$ který posílá polynom

${ displaystyle P (x) = součet _ {k} a_ {k} x ^ {k}}$

na

${ displaystyle sum _ {k} a_ {k} m_ {k}.}$

Li m_kn jsou momenty nějaké míry μ podporováno na [A, b], pak evidentně

${ displaystyle varphi (P) geq 0}$ pro libovolný polynom P to není negativní na [A, b].

(1)

Naopak, pokud (1) drží, lze použít Věta o rozšíření M. Riesze a prodloužit ${ displaystyle phi}$ na funkčnost v prostoru spojitých funkcí s kompaktní podporou C₀([A, b]), aby

${ displaystyle varphi (f) geq 0}$ pro všechny ${ displaystyle f v C_ {0} ([a, b]), ; f geq 0.}$

(2)

Podle Rieszova věta o reprezentaci, (2) platí, pokud existuje opatření μ podporováno na [A, b], takový, že

${ displaystyle varphi (f) = int f , d mu}$

pro každého ƒ ∈ C₀([A, b]).

Tedy existence opatření ${ displaystyle mu}$ je ekvivalentní (1). Použití věty o reprezentaci pro pozitivní polynomy na [A, b], lze přeformulovat (1) jako podmínka dne Hankel matice.

Vidět Shohat a Tamarkin 1943 a Kerin & Nudelman 1977 Více podrobností.

Jedinečnost (nebo rozhodnost)

Jedinečnost μ v Hausdorffově momentu vyplývá problém z Weierstrassova věta o aproximaci, který uvádí, že polynomy jsou hustý pod jednotná norma v prostoru spojité funkce na [0, 1]. Pro problém v nekonečném intervalu je jedinečnost delikátnější otázkou; vidět Carlemanův stav, Kreinův stav a Akhiezer (1965).

Variace

Důležitou variantou je problém se zkráceným momentem, který studuje vlastnosti měr s pevnou první k momenty (konečně k). Výsledky problému se zkráceným momentem mají mnoho aplikací extrémní problémy, optimalizace a limitní věty ve Windows teorie pravděpodobnosti. Viz také: Nerovnosti Čebyšev – Markov – Stieltjes a Kerin & Nudelman 1977.

Viz také

• Stieltjesův momentový problém
• Hamburgerův momentový problém
• Hausdorffův momentový problém
• Moment (matematika)
• Carlemanův stav
• Hankelova matice

Reference

• Shohat, James Alexander; Tamarkin, Jacob D. (1943). Problém okamžiků. New York: Americká matematická společnost.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Akhiezer, Naum I. (1965). Klasický momentový problém a některé související otázky v analýze. New York: Hafner Publishing Co.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (z ruštiny přeložil N. Kemmer)
• Kerin, M. G .; Nudelman, A. A. (1977). Markovův momentový problém a extrémní problémy. Myšlenky a problémy P. L. Čebyševa a A. A. Markova a jejich další vývoj. Překlady matematických monografií, sv. 50. American Mathematical Society, Providence, R.I.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (Z ruštiny přeložil D. Louvish)
• Schmüdgen, Konrad (2017). Okamžitý problém. Springer International Publishing.CS1 maint: ref = harv (odkaz)