Devítibodový střed - Nine-point center

v geometrie, devítibodový střed je střed trojúhelníku, bod definovaný z daného trojúhelník způsobem, který nezávisí na umístění nebo měřítku trojúhelníku. Nazývá se to proto, že je středem devítibodový kruh, kruh, který prochází devíti významnými body trojúhelníku: středy tří hran, nohy tří nadmořské výšky a body na půli cesty mezi ortocentrum a každý ze tří vrcholů. Střed devíti bodů je uveden jako bod X (5) v Clark Kimberling je Encyclopedia of Triangle Centers.[1][2]
Vlastnosti
Devítibodový střed N leží na Eulerova linie jeho trojúhelníku, na střed mezi trojúhelníky ortocentrum H a circumcenter Ó. The těžiště G leží také na stejné linii, 2/3 cesty od orthocentra k circumcenteru,[2][3] tak
Jsou-li tedy známy jakékoli dva z těchto čtyř středů trojúhelníků, lze z nich určit polohy dalších dvou.
Andrew Guinand se ukázal v roce 1984 jako součást toho, co je nyní známé jako Eulerův problém s určením trojúhelníku, že pokud jsou polohy těchto středů uvedeny pro neznámý trojúhelník, pak stimulant trojúhelníku leží uvnitř ortocentroidní kruh (kruh, jehož průměrem je segment od těžiště k ortocentru). Jediným bodem uvnitř tohoto kruhu, který nemůže být motivem, je střed devíti bodů a každý další vnitřní bod kruhu je motivem jedinečného trojúhelníku.[4][5][6][7]
Vzdálenost od středu devíti bodů k stimulant Já splňuje
kde R a r jsou circumradius a inradius resp.
Devítibodový střed je circumcenter z mediální trojúhelník daného trojúhelníku, circumcenter z ortický trojúhelník daného trojúhelníku a circumcenter Eulerova trojúhelníku.[3] Obecněji je to circumcenter libovolného trojúhelníku definovaného ze tří z devíti bodů definujících devítibodovou kružnici.
Devítibodový střed leží na těžiště čtyř bodů: tři vrcholy trojúhelníku a jeho ortocentrum.[8]
The Eulerovy čáry čtyř trojúhelníků tvořených ortocentrický systém (sada čtyř bodů, z nichž každý je ortocentrum trojúhelníku s vrcholy v ostatních třech bodech) jsou souběžně ve středu devíti bodů společném pro všechny trojúhelníky.[9]:str.111
Z devíti bodů definujících devítibodovou kružnici jsou tři středy úseček mezi vrcholy a ortocentrem odrazy středů trojúhelníku kolem jeho devítibodového středu. Střed devíti bodů tedy tvoří střed a bodový odraz který mapuje mediální trojúhelník na Eulerův trojúhelník a naopak.[3]
Podle Lesterova věta, střed devíti bodů leží na společné kružnici se třemi dalšími body: dvěma Fermatovy body a circumcenter.[10]
The Kosnita point trojúhelníku, střed trojúhelníku spojený s Kosnitova věta, je izogonální konjugát devítibodového středu.[11]
Souřadnice
Trilineární souřadnice pro střed devíti bodů jsou[1][2]
The barycentrické souřadnice devítibodového středu jsou[2]
Pokud a pouze tehdy, když se dva vrcholy navzájem liší o více než 90 掳, je jedna z barycentrických souřadnic záporná, takže střed devíti bodů je mimo trojúhelník.
Reference
- ^ A b Kimberling, Clark (1994), „Centrální body a střední linie v rovině trojúhelníku“, Matematický časopis, 67 (3): 163–187, doi:10.2307/2690608, JSTOR 2690608, PAN 1573021.
- ^ A b C d Encyclopedia of Triangle Centers, přístup 2014-10-23.
- ^ A b C Dekov, Deko (2007), „Devětbodový střed“ (PDF), Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry.
- ^ Stern, Joseph (2007), „Eulerův problém s určením trojúhelníku“ (PDF), Fórum Geometricorum, 7: 1–9.
- ^ Euler, Leonhard (1767), „Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum“, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (v latině), 11: 103–123.
- ^ Guinand, Andrew P. (1984), „Eulerovy přímky, tritangentační středy a jejich trojúhelníky“, Americký matematický měsíčník, 91 (5): 290–300, doi:10.2307/2322671, JSTOR 2322671.
- ^ Franzsen, William N. „Vzdálenost od stimulátoru k linii Euler“, Fórum Geometricorum 11, 2011, 231-236. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126index.html
- ^ Encyklopedie trojúhelníkových center připisuje toto pozorování Randymu Hutsonovi, 2011.
- ^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).
- ^ Yiu, Paul (2010), „Kruhy Lestera, Evanse, Parryho a jejich zobecnění“, Fórum Geometricorum, 10: 175–209, PAN 2868943.
- ^ Rigby, John (1997), „Stručné poznámky k některým zapomenutým geometrickým větám“, Matematika a informatika čtvrtletně, 7: 156–158.