Nerovnost Hadwiger-Finsler - Hadwiger–Finsler inequality

v matematika, Nerovnost Hadwiger-Finsler je výsledek na geometrie z trojúhelníky v Euklidovské letadlo. Udává, že pokud má trojúhelník v rovině boční délky A, b a C a oblast T, pak

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} geq (ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ca) ^ {2} +4 {sqrt {3} } Tquad {mbox {(HF)}}.}$

Související nerovnosti

• Weitzenböckova nerovnost je přímočará důsledek Hadwiger-Finslerovy nerovnosti: pokud má trojúhelník v rovině boční délky A, b a C a oblast T, pak

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} geq 4 {sqrt {3}} Tquad {mbox {(W)}}.}$

Weitzenböckovu nerovnost lze také prokázat pomocí Heronův vzorec, podle které cesty je vidět, že rovnost platí v (W) kdyby a jen kdyby trojúhelník je rovnostranný trojúhelník, tj. A = b = C.

• Verze pro čtyřúhelník: Nechte abeceda být konvexní čtyřúhelník s délkami A, b, C, d a okolí T pak:^[1]

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} geq 4T + {frac {{sqrt {3}} - 1} {sqrt {3}}} součet {(ab ) ^ {2}}}$ s rovností pouze pro a náměstí.

Kde ${displaystyle sum {(ab) ^ {2}} = (ab) ^ {2} + (ac) ^ {2} + (reklama) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (bd) ^ { 2} + (cd) ^ {2}}$

Dějiny

Nerovnost Hadwiger – Finsler je pojmenována po Paul Finsler a Hugo Hadwiger  (1937 ), který ve stejném příspěvku rovněž publikoval Finsler – Hadwigerova věta na čtverci odvozeném od dvou dalších čtverců, které sdílejí vrchol.

Viz také

• Seznam nerovností trojúhelníku
• Izoperimetrická nerovnost

Reference

• Finsler, Paul; Hadwiger, Hugo (1937). „Einige Relationen im Dreieck“. Commentarii Mathematici Helvetici. 10 (1): 316–326. doi:10.1007 / BF01214300.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Když je méně více: Vizualizace základních nerovností. MAA, 2009, ISBN  9780883853429, str. 84-86

externí odkazy

• Důkaz o nerovnosti Hadwiger-Finsler v PlanetMath.org.
• Weizenbockova nerovnost v PlanetMath.org.