Časová diskretizace - Temporal discretization - Wikipedia

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Květen 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Časová diskretizace je matematická technika aplikovaná na přechodný problémy, které se vyskytují v oblasti aplikované fyziky a techniky.

Přechodné problémy se často řeší prováděním simulací počítačově podporované inženýrství (CAE) balíčky, které vyžadují diskretizující řídící rovnice v prostoru i čase. Takové problémy jsou nestálé (např. problémy s průtokem ), a proto vyžadují řešení, ve kterých se poloha mění v závislosti na čase. Časová diskretizace zahrnuje integrace každého členu v různých rovnicích v průběhu časového kroku (Δt).

Prostorovou doménu lze diskretizovat za vzniku polodiskrétní formy:^[1]

${ displaystyle { frac { částečné varphi} { částečné t}} (x, t) = F ( varphi). ~}$

Pokud se diskretizace provádí pomocí zpětné rozdíly, časová diskretizace prvního řádu je dána jako:^[2]

${ displaystyle { frac { varphi ^ {n + 1} - varphi ^ {n}} { Delta t}} = F ( varphi),}$

A druhého řádu diskretizace je uveden jako:

${ displaystyle { frac {3 varphi ^ {n + 1} -4 varphi ^ {n} + varphi ^ {n-1}} {2 Delta t}} = F ( varphi),}$

kde

φ = a skalární Množství.

n + 1 = hodnota na další časové úrovni, t + Δt.

n = hodnota na aktuální časové úrovni, t.

n - 1 = hodnota na předchozí časové úrovni, t - Δt.

Funkce F (${ displaystyle varphi}$) se vyhodnocuje pomocí integrace implicitního a explicitního času.^[3]

Popis

Časová diskretizace se provádí prostřednictvím integrace v průběhu času na obecné diskretizované rovnici. Nejprve hodnoty při dané regulační hlasitosti P v časovém intervalu t jsou předpokládány a pak je nalezena hodnota v časovém intervalu t + Δt. Tato metoda uvádí, že časový integrál dané proměnné se rovná váženému průměru mezi současnými a budoucími hodnotami. The integrální tvar rovnice lze psát jako:

${ displaystyle { frac { varphi ^ {n + 1} - varphi ^ {n}} { Delta t}} = f cdot F ( varphi ^ {n + 1}) + (1-f) cdot F ( varphi ^ {n}),}$

kde ƒ je hmotnost mezi 0 a 1.

ƒ = 0,0 vede k úplnému explicitní schéma.

ƒ = 1,0 vede k úplnému implicitní schéma.

ƒ = 0,5 vede k Crank-Nicolsonovo schéma.

Pro jakýkoli kontrolní svazek tato integrace platí pro jakoukoli diskretizovanou proměnnou. Následující rovnice se získá při aplikaci na řídící rovnici včetně úplné diskretizace difúze, proudění, a zdroj podmínky.^[4]

${ displaystyle int limity _ {t} ^ {t + Delta t} F ( varphi) , dt = [f cdot F _ { varphi} ^ {t + Delta t} + (1-f) cdot F _ { varphi} ^ {t}] , Delta t}$

Metody vyhodnocení funkce F (${ displaystyle varphi}$)

Po diskretizaci časové derivace funkce F (${ displaystyle varphi}$) zbývá vyhodnotit. Funkce je nyní vyhodnocována pomocí implicitní a explicitní integrace.^[5]

Integrace v implicitním čase

Tato metoda vyhodnotí funkci F(${ displaystyle varphi}$) v budoucnu.

Formulace

Hodnocení pomocí integrace v implicitním čase je uvedeno jako:

${ displaystyle { frac { varphi ^ {n + 1} - varphi ^ {n}} { Delta t}} = F ( varphi ^ {n + 1}),}$

Tomu se říká implicitní integrace jako ${ displaystyle varphi ^ {n + 1}}$ v dané buňce souvisí s ${ displaystyle varphi ^ {n}}$ v sousedních buňkách skrz ${ displaystyle F ( varphi ^ {n + 1})}$ :

${ displaystyle varphi ^ {n + 1} = varphi ^ {n} + Delta tF ( varphi ^ {n + 1}),}$

V případě implicitní metody je nastavení bezpodmínečně stabilní a zvládne velký časový krok (Δt). Stabilita však neznamená přesnost. Proto velké Δt ovlivňuje přesnost a definuje časové rozlišení. Chování však může zahrnovat fyzický časový rámec, který je třeba vyřešit.

Integrace ve výslovném čase

Tato metoda vyhodnocuje funkci F (${ displaystyle varphi}$) v aktuálním čase.

Formulace

Hodnocení pomocí integrace v explicitním čase je uvedeno jako:

${ displaystyle { frac { varphi ^ {n + 1} - varphi ^ {n}} { Delta t}} = F ( varphi ^ {n}),}$

Od té doby se označuje jako explicitní integrace ${ displaystyle varphi ^ {n + 1}}$ lze výslovně vyjádřit ve stávajících hodnotách řešení, ${ displaystyle varphi ^ {n}}$:

${ displaystyle varphi ^ {n + 1} = varphi ^ {n} + Delta t , F ( varphi ^ {n}),}$

Zde je časový krok (Δt) je omezen limitem stability řešiče (tj. časový krok je omezen Courant – Friedrichs – Lewy stav. Aby byl přesný čas w.r.t, měl by být v celé doméně použit stejný časový krok a aby byl stabilní, musí být časový krok minimem všech místních časových kroků v doméně. Tato metoda se také nazývá „globální krokování času“.

Příklady

Mnoho schémat používá integraci v explicitním čase. Některé z nich jsou následující:

• Metoda Lax – Wendroff.
• Metoda Runge – Kutta.

Viz také

• Courant – Friedrichs – Lewy stav.
• Von Neumannova analýza stability.
• Metoda konečných prvků
• Explicitní a implicitní metody
• Chi-Wang Shu

Reference