Rovnice Laplaces - Laplaces equation - Wikipedia

Pierre-Simon Laplace

V matematice a fyzice Laplaceova rovnice je druhého řádu parciální diferenciální rovnice pojmenoval podle Pierre-Simon Laplace kdo nejprve studoval jeho vlastnosti. Toto se často píše jako

${ displaystyle nabla ^ {2} ! f = 0 qquad { mbox {nebo}} qquad Delta f = 0,}$

kde ${ displaystyle Delta = nabla cdot nabla = nabla ^ {2}}$je Operátor Laplace,^{[poznámka 1]} ${ displaystyle nabla cdot}$ je divergence operátor (také symbolizovaný „div“), ${ displaystyle nabla}$ je spád operátor (také symbolizovaný "grad") a ${ displaystyle f (x, y, z)}$ je dvakrát rozlišitelná funkce se skutečnou hodnotou. Operátor Laplace proto mapuje skalární funkci na jinou skalární funkci.

Pokud je pravá strana zadána jako daná funkce, ${ displaystyle h (x, y, z)}$, my máme

${ displaystyle Delta f = h.}$

Tomu se říká Poissonova rovnice, zobecnění Laplaceovy rovnice. Laplaceova rovnice a Poissonova rovnice jsou nejjednodušší příklady eliptické parciální diferenciální rovnice. Laplaceova rovnice je také zvláštním případem Helmholtzova rovnice.

Obecná teorie řešení Laplaceovy rovnice je známá jako teorie potenciálu. Řešení Laplaceovy rovnice jsou harmonické funkce,^[1] které jsou důležité ve více odvětvích fyziky, zejména v elektrostatice, gravitaci a dynamika tekutin. Ve studii o vedení tepla, Laplaceova rovnice je ustálený stav rovnice tepla.^[2] Laplaceova rovnice obecně popisuje rovnovážné situace nebo situace, které nezávisí výslovně na čase.

Formy v různých souřadnicových systémech

v obdélníkové souřadnice,^[3]

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac { částečné ^ {2} f} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné z ^ {2}}} = 0.}$

v válcové souřadnice,^[3]

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac {1} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r { frac { částečné f} { částečné r }} vpravo) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} f} { částečné phi ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné z ^ {2}}} = 0.}$

v sférické souřadnice, za použití ${ displaystyle (r, theta, varphi)}$konvence,^[3]

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r ^ {2} { frac { částečné f} { částečné r}} pravé) + { frac {1} {r ^ {2} sin theta}} { frac { částečné} { částečné theta}} vlevo ( sin theta { frac { částečné f} { částečné theta}} pravé) + { frac {1} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}} { frac { částečné ^ {2} f} { částečné varphi ^ {2}}} = 0.}$

Obecněji v křivočaré souřadnice,

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac { částečné} { částečné xi ^ {j}}} vlevo ({ frac { částečné f} { částečné xi ^ {k}} } g ^ {kj} right) + { frac { částečný f} { částečný xi ^ {j}}} g ^ {jm} Gamma _ {mn} ^ {n} = 0,}$

nebo

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac {1} { sqrt {| g |}}} { frac { částečné} { částečné xi ^ {i}}} ! vlevo ( { sqrt {| g |}} g ^ {ij} { frac { částečné f} { částečné xi ^ {j}}} vpravo) = 0, qquad (g = mathrm {det} {g_ {ij} }).}$

Okrajové podmínky

Laplaceova rovnice na prstenec (vnitřní poloměr r = 2 a vnější poloměr R = 4) s Dirichletovými okrajovými podmínkami u(r= 2) = 0 a u(R= 4) = 4 hříchy (5 θ)

The Dirichletův problém protože Laplaceova rovnice spočívá v nalezení řešení φ na nějaké doméně D takhle φ na hranici D se rovná nějaké dané funkci. Protože se operátor Laplace objeví v rovnice tepla, jedna fyzikální interpretace tohoto problému je následující: zafixujte teplotu na hranici domény podle dané specifikace okrajové podmínky. Nechte teplo proudit, dokud nedosáhnete stacionárního stavu, ve kterém se teplota v každém bodě domény již nezmění. Distribuce teploty v interiéru pak bude dána řešením odpovídajícího Dirichletova problému.

The Neumannovy okrajové podmínky pro Laplaceovu rovnici neurčete funkci φ sám na hranici D, ale jeho normální derivace. Fyzicky to odpovídá konstrukci potenciálu pro vektorové pole, jehož účinek je známý na hranici D sama.

Řešení Laplaceovy rovnice se nazývají harmonické funkce; všichni jsou analytický v doméně, kde je rovnice splněna. Pokud jsou libovolné dvě funkce řešením Laplaceovy rovnice (nebo jakékoli lineární homogenní diferenciální rovnice), je jejich součet (nebo jakákoli lineární kombinace) také řešením. Tato vlastnost se nazývá princip superpozice, je velmi užitečné. Například řešení složitých problémů lze vytvořit součtem jednoduchých řešení.

Ve dvou rozměrech

Laplaceova rovnice ve dvou nezávislých proměnných v pravoúhlých souřadnicích má tvar

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné y ^ {2}}} equiv psi _ {xx} + psi _ {yy} = 0.}$

Analytické funkce

Skutečná a imaginární část komplexu analytická funkce oba splňují Laplaceovu rovnici. To je, pokud z = X + iy, a pokud

${ displaystyle f (z) = u (x, y) + iv (x, y),}$

pak nutná podmínka, že F(z) být analytický u a proti být rozlišitelné a že Cauchy – Riemannovy rovnice být spokojený:

${ displaystyle u_ {x} = v_ {y}, quad v_ {x} = - u_ {y}.}$

kde u_X je první parciální derivace u s ohledem na X.Z toho vyplývá, že

${ displaystyle u_ {yy} = (- v_ {x}) _ {y} = - (v_ {y}) _ {x} = - (u_ {x}) _ {x}.}$

Proto u splňuje Laplaceovu rovnici. To ukazuje podobný výpočet proti také splňuje Laplaceovu rovnici. Naopak, vzhledem k harmonické funkci je skutečnou součástí analytické funkce, F(z) (alespoň lokálně). Pokud je zkušební formulář

${ displaystyle f (z) = varphi (x, y) + i psi (x, y),}$

pak Cauchy – Riemannovy rovnice budou splněny, pokud nastavíme

${ displaystyle psi _ {x} = - varphi _ {y}, quad psi _ {y} = varphi _ {x}.}$

Tento vztah neurčuje ψ, ale pouze jeho přírůstky:

${ displaystyle d psi = - varphi _ {y} , dx + varphi _ {x} , dy.}$

Laplaceova rovnice pro φ znamená, že podmínka integrability pro ψ je spokojen:

${ displaystyle psi _ {xy} = psi _ {yx},}$

a tudíž ψ lze definovat integrálem čáry. Podmínka integrovatelnosti a Stokesova věta znamená, že hodnota integrálu přímky spojující dva body je nezávislá na cestě. Výsledná dvojice řešení Laplaceovy rovnice se nazývá konjugovat harmonické funkce. Tato konstrukce je platná pouze místně nebo za předpokladu, že cesta neobíhá singularitu. Například pokud r a θ jsou polární souřadnice a

${ displaystyle varphi = log r,}$

pak je odpovídající analytická funkce

${ displaystyle f (z) = log z = log r + i theta.}$

Nicméně úhel θ má jednu hodnotu pouze v oblasti, která neuzavírá původ.

Úzké spojení mezi Laplaceovou rovnicí a analytickými funkcemi znamená, že jakékoli řešení Laplaceovy rovnice má deriváty všech řádů a může být rozšířeno v mocninové řadě, alespoň uvnitř kruhu, který neuzavře singularitu. To je v ostrém kontrastu s řešením vlnová rovnice, které mají obecně menší pravidelnost^{[Citace je zapotřebí ]}.

Existuje mocné spojení mezi energetickými řadami a Fourierova řada. Rozbalíme-li funkci F v silové řadě uvnitř kruhu o poloměru R, tohle znamená tamto

${ displaystyle f (z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} z ^ {n},}$

s vhodně definovanými koeficienty, jejichž skutečné a imaginární části jsou dány vztahem

${ displaystyle c_ {n} = a_ {n} + ib_ {n}.}$

Proto

${ displaystyle f (z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} vlevo [a_ {n} r ^ {n} cos n theta -b_ {n} r ^ {n} sin n theta right] + i sum _ {n = 1} ^ { infty} left [a_ {n} r ^ {n} sin n theta + b_ {n} r ^ {n} cos n theta right],}$

což je Fourierova řada pro F. Tyto trigonometrické funkce lze sami rozšířit pomocí vícenásobné úhlové vzorce.

Proudění tekutin

Nechte množství u a proti být horizontální a vertikální složkou rychlostního pole stálého nestlačitelného irrotačního toku ve dvou rozměrech. Podmínkou kontinuity pro nestlačitelný tok je to

${ displaystyle u_ {x} + v_ {y} = 0,}$

a podmínkou, aby byl tok irrotační, je to

${ displaystyle nabla times mathbf {V} = v_ {x} -u_ {y} = 0.}$

Pokud definujeme diferenciál funkce ψ podle

${ displaystyle d psi = vdx-udy,}$

pak podmínkou kontinuity je podmínka integrovatelnosti tohoto rozdílu: výsledná funkce se nazývá funkce streamu protože to je konstantní průtoková potrubí. První deriváty ψ jsou dány

${ displaystyle psi _ {x} = proti, quad psi _ {y} = - u,}$

a podmínka irrotationality to naznačuje ψ splňuje Laplaceovu rovnici. Harmonická funkce φ to je konjugát s ψ se nazývá rychlostní potenciál. Cauchy-Riemannovy rovnice to naznačují

${ displaystyle varphi _ {x} = - u, quad varphi _ {y} = - v.}$

Každá analytická funkce tedy odpovídá stálému nestlačitelnému, irrotačnímu, neviditelnému proudění tekutiny v rovině. Skutečnou částí je rychlostní potenciál a imaginární částí je funkce proudu.

Elektrostatika

Podle Maxwellovy rovnice, elektrické pole (u, proti) ve dvou prostorových dimenzích, které jsou nezávislé na čase, splňují

${ displaystyle nabla times (u, v, 0) = (v_ {x} -u_ {y}) { hat { mathbf {k}}} = mathbf {0},}$

a

${ displaystyle nabla cdot (u, v) = rho,}$

kde ρ je hustota náboje. První Maxwellova rovnice je podmínkou integrability diferenciálu

${ displaystyle d varphi = -u , dx-v , dy,}$

takže elektrický potenciál φ mohou být konstruovány tak, aby uspokojily

${ displaystyle varphi _ {x} = - u, quad varphi _ {y} = - v.}$

Druhá z Maxwellových rovnic to tedy naznačuje

${ displaystyle varphi _ {xx} + varphi _ {yy} = - rho,}$

který je Poissonova rovnice. Laplaceovu rovnici lze použít v trojrozměrných úlohách v elektrostatice a proudění tekutin stejně jako ve dvou dimenzích.

Ve třech rozměrech

Zásadní řešení

A zásadní řešení Laplaceovy rovnice splňuje

${ displaystyle Delta u = u_ {xx} + u_ {yy} + u_ {zz} = - delta (x-x ', y-y', z-z '),}$

Kde Diracova delta funkce δ označuje jednotkový zdroj soustředěný v bodě (X′, y′, z′). Tuto funkci nemá žádná funkce: ve skutečnosti je to rozdělení spíše než funkce; ale lze to považovat za limit funkcí, jejichž integrály v prostoru jsou jednota a jejichž podpora (oblast, kde je funkce nenulová) se zmenší na bod (viz slabé řešení ). Je běžné, že pro tuto rovnici použijeme jinou konvenci znaménka, než jakou obvykle děláme při definování základních řešení. S touto volbou znaménka se často pracuje, protože −Δ je a pozitivní operátor. Definice základního řešení tedy znamená, že pokud Laplacian z u je integrován přes jakýkoli svazek, který obklopuje zdrojový bod

${ displaystyle iiint _ {V} nabla cdot nabla u , dV = -1.}$

Laplaceova rovnice se nemění pod rotací souřadnic, a proto můžeme očekávat, že základní řešení lze získat mezi řešeními, která závisí pouze na vzdálenosti r ze zdrojového bodu. Zvolíme-li hlasitost jako kouli o poloměru A tedy kolem zdrojového bodu Gaussova věta o divergenci to naznačuje

${ displaystyle -1 = iiint _ {V} nabla cdot nabla u , dV = iint _ {S} { frac {du} {dr}} , dS = left.4 pi a ^ {2} { frac {du} {dr}} doprava | _ {r = a}.}$

Z toho vyplývá, že

${ displaystyle { frac {du} {dr}} = - { frac {1} {4 pi r ^ {2}}},}$

na kouli o poloměru r který je zaměřen na zdrojový bod, a tedy

${ displaystyle u = { frac {1} {4 pi r}}.}$

Všimněte si, že s konvencí opačného znaménka (použitou v fyzika ), to je potenciál generované a bodová částice, pro zákon inverzního čtverce síla, vznikající při řešení Poissonova rovnice. Podobný argument to ukazuje ve dvou dimenzích

${ displaystyle u = - { frac { log (r)} {2 pi}}.}$

kde log (r) označuje přirozený logaritmus. Všimněte si, že s konvencí opačného znaménka je to potenciál generováno bodově dřez (vidět bodová částice ), což je řešení Eulerovy rovnice ve dvojrozměrném nestlačitelný tok.

Greenova funkce

A Greenova funkce je zásadní řešení, které rovněž splňuje vhodnou podmínku na hranici S svazku PROTI. Například,

${ displaystyle G (x, y, z; x ', y', z ')}$

může uspokojit

${ displaystyle nabla cdot nabla G = - delta (x-x ', y-y', z-z ') qquad { hbox {in}} V,}$

${ displaystyle G = 0 quad { hbox {if}} quad (x, y, z) qquad { hbox {on}} S.}$

Teď když u je jakékoli řešení Poissonovy rovnice v PROTI:

${ displaystyle nabla cdot nabla u = -f,}$

a u předpokládá hraniční hodnoty G na S, pak můžeme použít Greenova identita, (důsledek věty o divergenci), která uvádí, že

${ Displaystyle iiint _ {V} vlevo [G , nabla cdot nabla uu , nabla cdot nabla G doprava] , dV = iiint _ {V} nabla cdot vlevo [G nabla uu nabla G right] , dV = iint _ {S} left [Gu_ {n} -uG_ {n} right] , dS. ,}$

Zápisy u_n a G_n označit normální deriváty na S. S ohledem na podmínky splněné u a G, tento výsledek se zjednodušuje na

${ displaystyle u (x ', y', z ') = iiint _ {V} Gf , dV + iint _ {S} G_ {n} g , dS. ,}$

Funkce Green tedy popisuje vliv na (X′, y′, z′) údajů F a G. Pro případ vnitřku koule o poloměru A, Greenova funkce může být získána pomocí odrazu (Sommerfeld 1949 ): zdrojový bod P na dálku ρ od středu koule se odráží podél její radiální linie do bodu P ' to je na dálku

${ displaystyle rho '= { frac {a ^ {2}} { rho}}. ,}$

Všimněte si, že pokud P je tedy uvnitř koule P ' bude mimo sféru. Funkce Green je pak dána

${ displaystyle { frac {1} {4 pi R}} - { frac {a} {4 pi rho R '}}, ,}$

kde R označuje vzdálenost ke zdrojovému bodu P a R′ Označuje vzdálenost odraženého bodu P′. Důsledkem tohoto výrazu pro funkci Greena je Poissonův integrální vzorec. Nechat ρ, θ, a φ být sférické souřadnice pro zdrojový bod P. Tady θ označuje úhel se svislou osou, což je v rozporu s obvyklou americkou matematickou notací, ale souhlasí se standardní evropskou a fyzickou praxí. Pak řešení Laplaceovy rovnice s Dirichletovými hraničními hodnotami G uvnitř koule je dáno

${ displaystyle u (P) = { frac {1} {4 pi}} a ^ {3} vlevo (1 - { frac { rho ^ {2}} {a ^ {2}}} vpravo) int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ { pi} { frac {g ( theta ', varphi') sin theta '} {(a ^ { 2} + rho ^ {2} -2a rho cos Theta) ^ { frac {3} {2}}}} d theta ', d varphi'}$ (Zachmanoglou 1986, str. 228)

kde

${ displaystyle cos Theta = cos theta cos theta '+ sin theta sin theta' cos ( varphi - varphi ')}$

je kosinus úhlu mezi (θ, φ) a (θ′, φ′). Jednoduchým důsledkem tohoto vzorce je, že pokud u je harmonická funkce, pak hodnota u ve středu koule je střední hodnota jejích hodnot na kouli. Tato vlastnost střední hodnoty okamžitě znamená, že nekonstantní harmonická funkce nemůže převzít svou maximální hodnotu ve vnitřním bodě.

Laplaceovy sférické harmonické

Skutečné (Laplaceovy) sférické harmonické Y_ℓ^m pro ℓ = 0, …, 4 (shora dolů) a m = 0, …, ℓ (zleva do prava). Zónové, sektorové a tesserální harmonické jsou zobrazeny podél sloupce nejvíce vlevo, hlavní úhlopříčky a jinde. (Harmonické složky záporného řádu ${ displaystyle Y _ { ell} ^ {- m}}$ bude zobrazen otočený kolem z osa o ${ displaystyle 90 ^ { circ} / m}$ s ohledem na ty pozitivní pořadí.)

Laplaceova rovnice v sférické souřadnice je:^[4]

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r ^ {2} { frac { částečné f} { částečné r}} pravé) + { frac {1} {r ^ {2} sin theta}} { frac { částečné} { částečné theta}} vlevo ( sin theta { frac { částečné f} { částečné theta}} pravé) + { frac {1} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}} { frac { částečné ^ {2} f} { částečné varphi ^ {2}}} = 0.}$

Zvažte problém hledání řešení formuláře F(r, θ, φ) = R(r) Y(θ, φ). Podle oddělení proměnných, dvě diferenciální rovnice vyplývají z uložení Laplaceovy rovnice:

${ displaystyle { frac {1} {R}} { frac {d} {dr}} left (r ^ {2} { frac {dR} {dr}} right) = lambda, qquad { frac {1} {Y}} { frac {1} { sin theta}} { frac { částečné} { částečné theta}} vlevo ( sin theta { frac { částečné Y} { částečné theta}} pravé) + { frac {1} {Y}} { frac {1} { sin ^ {2} theta}} { frac { částečné ^ {2} Y} { částečné varphi ^ {2}}} = - lambda.}$

Druhá rovnice může být zjednodušena za předpokladu, že Y má formu Y(θ, φ) = Θ (θ) Φ (φ). Opětovné použití oddělení proměnných na druhou rovnici ustoupí dvojici diferenciálních rovnic

${ displaystyle { frac {1} { Phi}} { frac {d ^ {2} Phi} {d varphi ^ {2}}} = - m ^ {2}}$

${ displaystyle lambda sin ^ {2} theta + { frac { sin theta} { Theta}} { frac {d} {d theta}} left ( sin theta { frac {d Theta} {d theta}} right) = m ^ {2}}$

pro nějaké číslo m. A priori, m je složitá konstanta, ale protože Φ musí být periodická funkce jehož období se rovnoměrně dělí 2π, m je nutně celé číslo a Φ je lineární kombinace komplexních exponenciálů E^{± imφ}. Funkce řešení Y(θ, φ) je pravidelný na pólech koule, kde θ = 0, π. Uložení této pravidelnosti do řešení Θ druhé rovnice v hraničních bodech domény je a Sturm – Liouvilleův problém který vynutí parametr λ být ve formě λ = ℓ (ℓ + 1) pro nějaké nezáporné celé číslo s ℓ ≥ |m|; to je také vysvětleno níže z hlediska orbitální moment hybnosti. Dále změna proměnných t = cos θ transformuje tuto rovnici na Legendrova rovnice, jehož řešení je násobkem přidružený Legendrov polynom P_ℓ^m(cos θ) . Nakonec rovnice pro R má řešení této formy R(r) = R^ℓ + B r^{−ℓ − 1}; vyžadující, aby řešení bylo po celou dobu pravidelné R³ síly B = 0.^[5]

Zde se předpokládalo, že řešení bude mít speciální formu Y(θ, φ) = Θ (θ) Φ (φ). Pro danou hodnotu ℓ, existují 2ℓ + 1 nezávislá řešení této formy, jedno pro každé celé číslo m s −ℓ ≤ m ≤ ℓ. Tato úhlová řešení jsou produktem trigonometrické funkce, zde reprezentován jako komplexní exponenciální a související legendární polynomy:

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi) = Ne ^ {im varphi} P _ { ell} ^ {m} ( cos { theta})}$

které splňují

${ displaystyle r ^ {2} nabla ^ {2} Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi) = - ell ( ell +1) Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi).}$

Tady Y_ℓ^m se nazývá sférická harmonická funkce stupně ℓ a objednat m, P_ℓ^m je přidružený Legendrov polynom, N je normalizační konstanta a θ a φ představují souřadnici a délku. Zejména soudržnost θ, nebo polární úhel, se pohybuje od 0 na severním pólu, do π/2 na rovníku, do π na jižním pólu a zeměpisná délka φnebo azimut, může převzít všechny hodnoty pomocí 0 ≤ φ < 2π. Pro pevné celé číslo ℓ, každé řešení Y(θ, φ) problému vlastních čísel

${ displaystyle r ^ {2} nabla ^ {2} Y = - ell ( ell +1) Y}$

je lineární kombinace z Y_ℓ^m. Ve skutečnosti pro každé takové řešení r^ℓ Y(θ, φ) je výraz ve sférických souřadnicích a homogenní polynom to je harmonické (viz níže ), a tak počítání dimenzí ukazuje, že existují 2ℓ + 1 lineárně nezávislé takové polynomy.

Obecné řešení Laplaceovy rovnice v kouli se středem v počátku je a lineární kombinace sférických harmonických funkcí vynásobených příslušným měřítkem r^ℓ,

${ displaystyle f (r, theta, varphi) = součet _ { ell = 0} ^ { infty} součet _ {m = - ell} ^ { ell} f _ { ell} ^ { m} r ^ { ell} Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi),}$

Kde F_ℓ^m jsou konstanty a faktory r^ℓ Y_ℓ^m jsou známé jako pevné harmonické. Taková expanze je platná v míč

${ displaystyle r$

Pro ${ displaystyle r> R}$, pevné harmonické se zápornými silami ${ displaystyle r}$ místo toho jsou vybráni. V takovém případě je třeba rozšířit řešení známých oblastí v Laurentova řada (o ${ displaystyle r = infty}$), namísto Taylor série (o ${ displaystyle r = 0}$), aby odpovídaly podmínkám a hledaly ${ displaystyle f _ { ell} ^ {m}}$.

Elektrostatika

Nechat ${ displaystyle mathbf {E}}$ být elektrickým polem, ${ displaystyle rho}$ je hustota elektrického náboje a ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$ být permitivita volného prostoru. Poté Gaussův zákon pro elektřinu (Maxwellova první rovnice) v diferenciálních stavech^[6]

${ displaystyle nabla cdot mathbf {E} = { frac { rho} { epsilon _ {0}}}.}$

Nyní lze elektrické pole vyjádřit jako záporný gradient elektrického potenciálu ${ displaystyle V}$,

${ displaystyle mathbf {E} = - nabla V,}$

pokud je pole irrotační, ${ displaystyle nabla times mathbf {E} = mathbf {0}}$. Irrotacionalita ${ displaystyle mathbf {E}}$ je také známý jako elektrostatický stav.^[6]

${ displaystyle nabla cdot mathbf {E} = nabla cdot (- nabla V) = - nabla ^ {2} V}$

${ displaystyle nabla ^ {2} V = - nabla cdot mathbf {E}}$

Zapojením tohoto vztahu do Gaussova zákona získáme Poissonovu rovnici pro elektřinu,^[6]

${ displaystyle nabla ^ {2} V = - { frac { rho} { varepsilon _ {0}}}.}$

V konkrétním případě oblasti bez zdrojů ${ displaystyle rho = 0}$ a Poissonova rovnice se redukuje na Laplaceovu rovnici pro elektrický potenciál.^[6]

Pokud elektrostatický potenciál ${ displaystyle V}$ je specifikováno na hranici oblasti ${ displaystyle { mathcal {R}}}$, pak je jednoznačně určeno. Li ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ je obklopen vodivým materiálem se specifikovanou hustotou náboje ${ displaystyle rho}$, a pokud celkový poplatek ${ displaystyle Q}$ je tedy známo ${ displaystyle V}$ je také jedinečný.^[7]

Potenciál, který nesplňuje Laplaceovu rovnici společně s okrajovou podmínkou, je neplatný elektrostatický potenciál.

Gravitace

Nechat ${ displaystyle mathbf {g}}$ být gravitačním polem, ${ displaystyle rho}$ - hustotu hmoty a ${ displaystyle G}$ gravitační konstanta. Pak je Gaussův zákon pro gravitaci v diferenciální formě

${ displaystyle nabla cdot mathbf {g} = -4 pi G rho.}$

Gravitační pole je konzervativní a lze jej proto vyjádřit jako negativní gradient gravitačního potenciálu:

${ displaystyle mathbf {g} = - nabla V,}$

${ displaystyle nabla cdot mathbf {g} = nabla cdot (- nabla V) = - nabla ^ {2} V,}$

${ displaystyle implikuje nabla ^ {2} V = - nabla cdot mathbf {g}.}$

Pomocí diferenciální formy Gaussova gravitačního zákona máme

${ displaystyle nabla ^ {2} V = 4 pi G rho,}$

což je Poissonova rovnice pro gravitační pole.

V prázdném prostoru, ${ displaystyle rho = 0}$ a máme

${ displaystyle nabla ^ {2} V = 0,}$

což je Laplaceova rovnice pro gravitační pole.

V Schwarzschildově metrice

S. Persides^[8] vyřešil Laplaceovu rovnici v Schwarzschildův časoprostor na hyperplochy konstanty t. Použití kanonických proměnných r, θ, φ řešení je

${ displaystyle Psi (r, theta, varphi) = R (r) Y_ {l} ( theta, varphi),}$

kde Y_l(θ, φ) je sférická harmonická funkce, a

${ displaystyle R (r) = (- 1) ^ {l} { frac {(l!) ^ {2} r_ {s} ^ {l}} {(2l)!}} P_ {l} vlevo (1 - { frac {2r} {r_ {s}}} vpravo) + (- 1) ^ {l + 1} { frac {2 (2l + 1)!} {(L)! ^ {2 } r_ {s} ^ {l + 1}}} Q_ {l} left (1 - { frac {2r} {r_ {s}}} right).}$

Tady P_l a Q_l jsou Legendární funkce prvního a druhého druhu, zatímco r_s je Schwarzschildův poloměr. Parametr l je libovolné nezáporné celé číslo.

Viz také

• Souřadnice 6 koulí, souřadnicový systém, pod kterým se stává Laplaceova rovnice R-oddělitelný
• Helmholtzova rovnice, obecný případ Laplaceovy rovnice.
• Sférická harmonická
• Kvadraturní domény
• Teorie potenciálu
• Potenciální tok
• Batemanova transformace
• Earnshawova věta používá Laplaceovu rovnici k prokázání, že stabilní statické feromagnetické odpružení je nemožné
• Vektor Laplacian
• Zásadní řešení

Poznámky

Reference

Další čtení

• Evans, L. C. (1998). Parciální diferenciální rovnice. Providence: Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-0772-9.
• Petrovský, I. G. (1967). Parciální diferenciální rovnice. Philadelphia: W. B. Saunders.
• Polyanin, A. D. (2002). Příručka lineárních parciálních diferenciálních rovnic pro inženýry a vědce. Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press. ISBN  978-1-58488-299-2.
• Sommerfeld, A. (1949). Parciální diferenciální rovnice ve fyzice. New York: Academic Press.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Zachmanoglou, E. C. (1986). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic s aplikacemi. New York: Dover.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

• „Laplaceova rovnice“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Laplaceova rovnice (konkrétní řešení a okrajové hodnoty) na EqWorld: Svět matematických rovnic.
• Příklad problémů počáteční hraniční hodnoty pomocí Laplaceovy rovnice z exampleproblems.com.
• Weisstein, Eric W. „Laplaceova rovnice“. MathWorld.
• Zjistěte, jak lze problémy s hraničními hodnotami, které řídí Laplaceova rovnice, numericky vyřešit metodou hraničních prvků