Oddělitelná parciální diferenciální rovnice - Separable partial differential equation - Wikipedia

Bylo navrženo, že Koncept: Oddělitelná obyčejná diferenciální rovnice být sloučeny do tohoto článku. (Diskutujte) Navrhováno od září 2020.

A oddělitelný parciální diferenciální rovnice (PDE) je ten, který lze rozdělit na sadu samostatných rovnic nižší dimenze (méně nezávislých proměnných) metodou oddělení proměnných. To se obecně spoléhá na to, že problém má nějakou speciální formu nebo symetrie. Tímto způsobem lze PDE vyřešit řešením sady jednodušších PDE nebo dokonce obyčejné diferenciální rovnice (ODR), pokud lze problém rozdělit na jednorozměrné rovnice.

Nejběžnější formou oddělování proměnných je jednoduché oddělování proměnných, při kterém se získá řešení za předpokladu řešení formy dané součinem funkcí každé jednotlivé souřadnice. Existuje speciální forma oddělení proměnných ${ displaystyle R}$-oddělení proměnných, kterého se dosáhne zápisem řešení jako konkrétní pevné funkce souřadnic vynásobené součinem funkcí každé jednotlivé souřadnice. Laplaceova rovnice zapnutá ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {n}}$ je příklad parciální diferenciální rovnice, která připouští řešení skrz ${ displaystyle R}$-oddělení proměnných; v trojrozměrném případě to používá Souřadnice 6 koulí.

(To by nemělo být zaměňováno s případem oddělitelného ODR, který odkazuje na poněkud odlišnou třídu problémů, kterou lze rozdělit na dvojici integrály; vidět oddělení proměnných.)

Příklad

Zvažte například časově nezávislý Schrödingerova rovnice

${ displaystyle [- nabla ^ {2} + V ( mathbf {x})] psi ( mathbf {x}) = E psi ( mathbf {x})}$

pro funkci ${ displaystyle psi ( mathbf {x})}$ (pro jednoduchost v bezrozměrných jednotkách). (Rovnocenně zvažte nehomogenní Helmholtzova rovnice.) Pokud je funkce ${ displaystyle V ( mathbf {x})}$ ve třech rozměrech má formu

${ displaystyle V (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = V_ {1} (x_ {1}) + V_ {2} (x_ {2}) + V_ {3} (x_ { 3}),}$

pak se ukázalo, že problém lze rozdělit na tři jednorozměrné ODR pro funkce ${ displaystyle psi _ {1} (x_ {1})}$, ${ displaystyle psi _ {2} (x_ {2})}$, a ${ displaystyle psi _ {3} (x_ {3})}$a konečné řešení lze zapsat jako ${ displaystyle psi ( mathbf {x}) = psi _ {1} (x_ {1}) cdot psi _ {2} (x_ {2}) cdot psi _ {3} (x_ { 3})}$. (Obecněji řečeno, oddělitelné případy Schrödingerovy rovnice vyjmenoval Eisenhart v roce 1948.^[1])

Reference