Věta o Kaplanského hustotě - Kaplansky density theorem - Wikipedia

V teorii von Neumannovy algebry, Věta o Kaplanského hustotě, kvůli Irving Kaplansky, je základní věta o aproximaci. Důležitost a všudypřítomnost tohoto technického nástroje vedla Gert Pedersen komentovat v jedné ze svých knih^[1] že,

Věta o hustotě je velkým Kaplanského darem pro lidstvo. Lze jej použít každý den a dvakrát v neděli.

Formální prohlášení

Nechat K.⁻ označit silné uzavření operátora sady K. v B (H), množina ohraničených operátorů v Hilbertově prostoru H, a nechte (K.)₁ označují křižovatku K. s jednotkovou koulí z B (H).

Věta o Kaplanského hustotě.^[2] Li ${ displaystyle A}$ je self-adjoint algebra operátorů v ${ displaystyle B (H)}$, pak každý prvek ${ displaystyle a}$ v jednotkové kouli uzávěru silného operátora ${ displaystyle A}$ je v silném uzávěru jednotkové koule z ${ displaystyle A}$. Jinými slovy, ${ displaystyle (A) _ {1} ^ {-} = (A ^ {-}) _ {1}}$. Li ${ displaystyle h}$ je vlastní operátor v ${ displaystyle (A ^ {-}) _ {1}}$, pak ${ displaystyle h}$ je v uzavření skupiny silných operátorů v operátorech se silným operátorem ${ displaystyle (A) _ {1}}$.

Věta o Kaplanského hustotě může být použita k formulaci některých aproximací vzhledem k silná topologie operátora.

1) Pokud h je pozitivní operátor v (A⁻)₁, pak h je v uzavření skupiny silných operátorů v sadě samočinných operátorů v (A⁺)₁, kde A⁺ označuje množinu kladných operátorů v A.

2) Pokud A je C * -algebra působící na Hilbertově prostoru H a u je nečleněný operátor v A⁻, pak u je v silném uzavření skupiny nečleněných operátorů v A.

V teorému o hustotě a 1) výše platí také výsledky, pokud uvažujeme kouli o poloměru r > 0, místo jednotkové koule.

Důkaz

Standardní důkaz využívá skutečnost, že ohraničená spojitá funkce se skutečnou hodnotou F je silný operátor nepřetržitý. Jinými slovy, pro síť {A_α} z vlastní adjoint operátoři v A, spojitý funkční počet A → F(A) splňuje,

${ displaystyle lim f (a _ { alpha}) = f ( lim a _ { alpha})}$

v silná topologie operátora. To ukazuje, že se samočinná část jednotkové koule dovnitř A⁻ lze silně aproximovat samoadjungovanými prvky v A. Maticový výpočet v M₂(A) s ohledem na operátora s vlastními adjunty se záznamy 0 na úhlopříčce a A a A^* na ostatních pozicích, pak odstraní omezení sebe-přizpůsobení a prokáže teorém.

Viz také

• Jacobsonova věta o hustotě

Poznámky

Reference

• Kadison, Richard, Základy teorie operátora Algebras, sv. I: Elementární teorie, Americká matematická společnost. ISBN  978-0821808191.
• V.F.R.Jones von Neumannovy algebry; neúplné poznámky z kurzu.
• M. Takesaki Teorie operátorových algeber I ISBN  3-540-42248-X