v matematika , a Série Ramanujan – Sato [1] [2] Ramanujan Je pí vzorce jako,
1 π = 2 2 99 2 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! k ! 4 26390 k + 1103 396 4 k { displaystyle { frac {1} { pi}} = { frac {2 { sqrt {2}}} {99 ^ {2}}} součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(4k)!} {k! ^ {4}}} { frac {26390k + 1103} {396 ^ {4k}}}} do formuláře
1 π = ∑ k = 0 ∞ s ( k ) A k + B C k { displaystyle { frac {1} { pi}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} s (k) { frac {Ak + B} {C ^ {k}}}} pomocí jiných dobře definovaných sekvence z celá čísla s ( k ) { displaystyle s (k)} relace opakování , sekvence, které lze vyjádřit pomocí binomické koeficienty ( n k ) { displaystyle { tbinom {n} {k}}} A , B , C { displaystyle A, B, C} modulární formy vyšších úrovní.
Ramanujan učinil záhadnou poznámku, že existují „odpovídající teorie“, ale teprve nedávno H. H. Chan a S. Cooper našli obecný přístup, který používal základní podskupinu modulární kongruence Γ 0 ( n ) { displaystyle Gamma _ {0} (n)} [3] experimentálně našel řadu dalších příkladů také s použitím obecné metody diferenciální operátory .[4]
Úrovně 1–4A [5] 5 [3] 6A [6] 6B [7] 6C [1] 6D [8] 7 [9] 8 [2] 10
Zápis j n τ ) je odvozen z Zagier [10] T n Série McKay – Thompson .
Úroveň 1 Příklady úrovní 1–4 uvedl Ramanujan ve své práci z roku 1917. Dáno q = E 2 π i τ { displaystyle q = e ^ {2 pi i tau}}
j ( τ ) = ( E 4 ( τ ) η 8 ( τ ) ) 3 = 1 q + 744 + 196884 q + 21493760 q 2 + … j ∗ ( τ ) = 432 j ( τ ) + j ( τ ) − 1728 j ( τ ) − j ( τ ) − 1728 = 1 q − 120 + 10260 q − 901120 q 2 + … { displaystyle { begin {aligned} j ( tau) & = { Big (} { tfrac {E_ {4} ( tau)} { eta ^ {8} ( tau)}} { velký )} ^ {3} = { tfrac {1} {q}} + 744 + 196884q + 21493760q ^ {2} + dots j ^ {*} ( tau) & = 432 , { frac { { sqrt {j ( tau)}} + { sqrt {j ( tau) -1728}}} {{ sqrt {j ( tau)}} - { sqrt {j ( tau) -1728 }}}} = { tfrac {1} {q}} - 120 + 10260q-901120q ^ {2} + dots end {zarovnáno}}} s j-funkce j (τ ), Eisensteinova řada E 4 , a Funkce Dedekind eta η (τ ). První expanzí je řada McKay – Thompson třídy 1A (OEIS : A007240 J. McKay , koeficient lineárního členu j (τ ) téměř rovná se 196883 { displaystyle 196883} neredukovatelné zastoupení z Skupina příšer . Podobné jevy budou pozorovány i na ostatních úrovních. Definovat
s 1 A ( k ) = ( 2 k k ) ( 3 k k ) ( 6 k 3 k ) = 1 , 120 , 83160 , 81681600 , … { displaystyle s_ {1A} (k) = { tbinom {2k} {k}} { tbinom {3k} {k}} { tbinom {6k} {3k}} = 1 120 83160 81681600, tečky } OEIS : A001421 s 1 B ( k ) = ∑ j = 0 k ( 2 j j ) ( 3 j j ) ( 6 j 3 j ) ( k + j k − j ) ( − 432 ) k − j = 1 , − 312 , 114264 , − 44196288 , … { displaystyle s_ {1B} (k) = suma _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {2j} {j}} { tbinom {3j} {j}} { tbinom {6j} { 3j}} { tbinom {k + j} {kj}} (- 432) ^ {kj} = 1, -312,114264, -44196288, dots} Potom jsou dvě modulární funkce a sekvence příbuzné
∑ k = 0 ∞ s 1 A ( k ) 1 ( j ( τ ) ) k + 1 / 2 = ± ∑ k = 0 ∞ s 1 B ( k ) 1 ( j ∗ ( τ ) ) k + 1 / 2 { displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ {1A} (k) , { frac {1} {(j ( tau)) ^ {k + 1/2}}} = pm sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ {1B} (k) , { frac {1} {(j ^ {*} ( tau)) ^ {k + 1/2} }}} pokud řada konverguje a znaménko je vybráno vhodně, ačkoli čtverce obou stran snadno odstraní nejednoznačnost. Analogické vztahy existují pro vyšší úrovně.
Příklady:
1 π = 12 i ∑ k = 0 ∞ s 1 A ( k ) 163 ⋅ 3344418 k + 13591409 ( − 640320 3 ) k + 1 / 2 , j ( 1 + − 163 2 ) = − 640320 3 { displaystyle { frac {1} { pi}} = 12 , { boldsymbol {i}} , součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {1A} (k) , { frac {163 cdot 3344418k + 13591409} {(- 640320 ^ {3}) ^ {k + 1/2}}}, quad j { Big (} { tfrac {1 + { sqrt {-163 }}} {2}} { Big)} = - 640320 ^ {3}} 1 π = 24 i ∑ k = 0 ∞ s 1 B ( k ) − 3669 + 320 645 ( k + 1 2 ) ( − 432 U 645 3 ) k + 1 / 2 , j ∗ ( 1 + − 43 2 ) = − 432 U 645 3 = − 432 ( 127 + 5 645 2 ) 3 { displaystyle { frac {1} { pi}} = 24 , { boldsymbol {i}} , součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {1B} (k) , { frac {-3669 + 320 { sqrt {645}} , (k + { tfrac {1} {2}})} {{ big (} {- 432} , U_ {645} ^ {3} { big)} ^ {k + 1/2}}}, quad j ^ {*} { Big (} { tfrac {1 + { sqrt {-43}}} {2}} { Big )} = - 432 , U_ {645} ^ {3} = - 432 { Big (} { tfrac {127 + 5 { sqrt {645}}} {2}} { Big)} ^ {3 }} a U n { displaystyle U_ {n}} základní jednotka . První patří a rodina vzorců které důsledně prokázali bratři Chudnovští v roce 1989[11] [12] [3]
Úroveň 2 Použití Zagierovy notace[10]
j 2 A ( τ ) = ( ( η ( τ ) η ( 2 τ ) ) 12 + 2 6 ( η ( 2 τ ) η ( τ ) ) 12 ) 2 = 1 q + 104 + 4372 q + 96256 q 2 + 1240002 q 3 + ⋯ j 2 B ( τ ) = ( η ( τ ) η ( 2 τ ) ) 24 = 1 q − 24 + 276 q − 2048 q 2 + 11202 q 3 − ⋯ { displaystyle { begin {aligned} j_ {2A} ( tau) & = { Big (} { big (} { tfrac { eta ( tau)} { eta (2 tau)}} { big)} ^ {12} + 2 ^ {6} { big (} { tfrac { eta (2 tau)} { eta ( tau)}} { big)} ^ {12} { Big)} ^ {2} = { tfrac {1} {q}} + 104 + 4372q + 96256q ^ {2} + 1240002q ^ {3} + cdots j_ {2B} ( tau) & = { big (} { tfrac { eta ( tau)} { eta (2 tau)}} { big)} ^ {24} = { tfrac {1} {q}} - 24+ 276q-2048q ^ {2} + 11202q ^ {3} - cdots end {zarovnáno}}} Všimněte si, že koeficient lineárního členu j 2A (τ ) je o více než 4371 { displaystyle 4371} Skupina Baby Monster . Definovat,
s 2 A ( k ) = ( 2 k k ) ( 2 k k ) ( 4 k 2 k ) = 1 , 24 , 2520 , 369600 , 63063000 , … { displaystyle s_ {2A} (k) = { tbinom {2k} {k}} { tbinom {2k} {k}} { tbinom {4k} {2k}} = 1,24,2520,369600, 63063000, dots} OEIS : A008977 s 2 B ( k ) = ∑ j = 0 k ( 2 j j ) ( 2 j j ) ( 4 j 2 j ) ( k + j k − j ) ( − 64 ) k − j = 1 , − 40 , 2008 , − 109120 , 6173656 , … { displaystyle s_ {2B} (k) = suma _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {2j} {j}} { tbinom {2j} {j}} { tbinom {4j} { 2j}} { tbinom {k + j} {kj}} (- 64) ^ {kj} = 1, -40,2008, -109120,6173656, dots} Pak,
∑ k = 0 ∞ s 2 A ( k ) 1 ( j 2 A ( τ ) ) k + 1 / 2 = ± ∑ k = 0 ∞ s 2 B ( k ) 1 ( j 2 B ( τ ) ) k + 1 / 2 { displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ {2A} (k) , { frac {1} {(j_ {2A} ( tau)) ^ {k + 1/2} }} = pm sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ {2B} (k) , { frac {1} {(j_ {2B} ( tau)) ^ {k + 1 / 2}}}} pokud řada konverguje a znaménko je zvoleno vhodně.
Příklady:
1 π = 32 2 ∑ k = 0 ∞ s 2 A ( k ) 58 ⋅ 455 k + 1103 ( 396 4 ) k + 1 / 2 , j 2 A ( 1 2 − 58 ) = 396 4 { displaystyle { frac {1} { pi}} = 32 { sqrt {2}} , suma _ {k = 0} ^ { infty} s_ {2A} (k) , { frac {58 cdot 455k + 1103} {(396 ^ {4}) ^ {k + 1/2}}}, quad j_ {2A} { Big (} { tfrac {1} {2}} { sqrt {-58}} { Big)} = 396 ^ {4}} 1 π = 16 2 ∑ k = 0 ∞ s 2 B ( k ) − 24184 + 9801 29 ( k + 1 2 ) ( 64 U 29 12 ) k + 1 / 2 , j 2 B ( 1 2 − 58 ) = 64 ( 5 + 29 2 ) 12 = 64 U 29 12 { displaystyle { frac {1} { pi}} = 16 { sqrt {2}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ {2B} (k) , { frac {-24184 + 9801 { sqrt {29}} , (k + { tfrac {1} {2}})} {(64 , U_ {29} ^ {12}) ^ {k + 1/2} }}, quad j_ {2B} { Big (} { tfrac {1} {2}} { sqrt {-58}} { Big)} = 64 { Big (} { tfrac {5+ { sqrt {29}}} {2}} { Big)} ^ {12} = 64 , U_ {29} ^ {12}} První vzorec, který našel Ramanujan a který byl zmíněn na začátku článku, patří do rodiny, kterou v článku z roku 1989 prokázali D. Bailey a bratři Borweinovi.[13]
Úroveň 3 Definovat,
j 3 A ( τ ) = ( ( η ( τ ) η ( 3 τ ) ) 6 + 3 3 ( η ( 3 τ ) η ( τ ) ) 6 ) 2 = 1 q + 42 + 783 q + 8672 q 2 + 65367 q 3 + … j 3 B ( τ ) = ( η ( τ ) η ( 3 τ ) ) 12 = 1 q − 12 + 54 q − 76 q 2 − 243 q 3 + 1188 q 4 + … { displaystyle { begin {zarovnané} j_ {3A} ( tau) & = { Big (} { big (} { tfrac { eta ( tau)} { eta (3 tau)}} { big)} ^ {6} + 3 ^ {3} { big (} { tfrac { eta (3 tau)} { eta ( tau)}} { big)} ^ {6} { Big)} ^ {2} = { tfrac {1} {q}} + 42 + 783q + 8672q ^ {2} + 65367q ^ {3} + dots j_ {3B} ( tau) & = { big (} { tfrac { eta ( tau)} { eta (3 tau)}} { big)} ^ {12} = { tfrac {1} {q}} - 12+ 54q-76q ^ {2} -243q ^ {3} + 1188q ^ {4} + tečky konec {zarovnáno}}} kde 782 { displaystyle 782} Fischerova skupina Fi 23 a,
s 3 A ( k ) = ( 2 k k ) ( 2 k k ) ( 3 k k ) = 1 , 12 , 540 , 33600 , 2425500 , … { displaystyle s_ {3A} (k) = { tbinom {2k} {k}} { tbinom {2k} {k}} { tbinom {3k} {k}} = 1,12,540,33600,2425500, tečky} OEIS : A184423 s 3 B ( k ) = ∑ j = 0 k ( 2 j j ) ( 2 j j ) ( 3 j j ) ( k + j k − j ) ( − 27 ) k − j = 1 , − 15 , 297 , − 6495 , 149481 , … { displaystyle s_ {3B} (k) = suma _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {2j} {j}} { tbinom {2j} {j}} { tbinom {3j} { j}} { tbinom {k + j} {kj}} (- 27) ^ {kj} = 1, -15 297, -6495,149481, dots} Příklady:
1 π = 2 i ∑ k = 0 ∞ s 3 A ( k ) 267 ⋅ 53 k + 827 ( − 300 3 ) k + 1 / 2 , j 3 A ( 3 + − 267 6 ) = − 300 3 { displaystyle { frac {1} { pi}} = 2 , { boldsymbol {i}} , součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {3A} (k) , { frac {267 cdot 53k + 827} {(- 300 ^ {3}) ^ {k + 1/2}}}, quad j_ {3A} { Big (} { tfrac {3 + { sqrt {-267}}} {6}} { Big)} = - 300 ^ {3}} 1 π = i ∑ k = 0 ∞ s 3 B ( k ) 12497 − 3000 89 ( k + 1 2 ) ( − 27 U 89 2 ) k + 1 / 2 , j 3 B ( 3 + − 267 6 ) = − 27 ( 500 + 53 89 ) 2 = − 27 U 89 2 { displaystyle { frac {1} { pi}} = { boldsymbol {i}} , součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {3B} (k) , { frac { 12497–3000 { sqrt {89}} , (k + { tfrac {1} {2}})}} ((- 27 , U_ {89} ^ {2}) ^ {k + 1/2}} }, quad j_ {3B} { Big (} { tfrac {3 + { sqrt {-267}}} {6}} { Big)} = - 27 , { big (} 500 + 53 { sqrt {89}} { big)} ^ {2} = - 27 , U_ {89} ^ {2}} Úroveň 4 Definovat,
j 4 A ( τ ) = ( ( η ( τ ) η ( 4 τ ) ) 4 + 4 2 ( η ( 4 τ ) η ( τ ) ) 4 ) 2 = ( η 2 ( 2 τ ) η ( τ ) η ( 4 τ ) ) 24 = − ( η ( ( 2 τ + 3 ) / 2 ) η ( 2 τ + 3 ) ) 24 = 1 q + 24 + 276 q + 2048 q 2 + 11202 q 3 + … j 4 C ( τ ) = ( η ( τ ) η ( 4 τ ) ) 8 = 1 q − 8 + 20 q − 62 q 3 + 216 q 5 − 641 q 7 + … { displaystyle { begin {aligned} j_ {4A} ( tau) & = { Big (} { big (} { tfrac { eta ( tau)} { eta (4 tau)}} { big)} ^ {4} + 4 ^ {2} { big (} { tfrac { eta (4 tau)} { eta ( tau)}} { big)} ^ {4} { Big)} ^ {2} = { Big (} { tfrac { eta ^ {2} (2 tau)} { eta ( tau) , eta (4 tau)}} { Big)} ^ {24} = - { Big (} { tfrac { eta ((2 tau +3) / 2)} { eta (2 tau +3)}} { Big)} ^ {24} = { tfrac {1} {q}} + 24 + 276q + 2048q ^ {2} + 11202q ^ {3} + dots j_ {4C} ( tau) & = { big ( } { tfrac { eta ( tau)} { eta (4 tau)}} { big)} ^ {8} = { tfrac {1} {q}} - 8 + 20q-62q ^ { 3} + 216q ^ {5} -641q ^ {7} + dots end {zarovnáno}}} kde první je 24. síla Modulární funkce Weber F ( τ ) { displaystyle { mathfrak {f}} ( tau)}
s 4 A ( k ) = ( 2 k k ) 3 = 1 , 8 , 216 , 8000 , 343000 , … { displaystyle s_ {4A} (k) = { tbinom {2k} {k}} ^ {3} = 1,8,216,8000,343000, dots} OEIS : A002897 s 4 C ( k ) = ∑ j = 0 k ( 2 j j ) 3 ( k + j k − j ) ( − 16 ) k − j = ( − 1 ) k ∑ j = 0 k ( 2 j j ) 2 ( 2 k − 2 j k − j ) 2 = 1 , − 8 , 88 , − 1088 , 14296 , … { displaystyle s_ {4C} (k) = součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {2j} {j}} ^ {3} { tbinom {k + j} {kj}} ( -16) ^ {kj} = (- 1) ^ {k} sum _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {2j} {j}} ^ {2} { tbinom {2k-2j} {kj}} ^ {2} = 1, -8,88, -1088,14296, dots} OEIS : A036917 Příklady:
1 π = 8 i ∑ k = 0 ∞ s 4 A ( k ) 6 k + 1 ( − 2 9 ) k + 1 / 2 , j 4 A ( 1 + − 4 2 ) = − 2 9 { displaystyle { frac {1} { pi}} = 8 , { boldsymbol {i}} , součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {4A} (k) , { frac {6k + 1} {(- 2 ^ {9}) ^ {k + 1/2}}}, quad j_ {4A} { Big (} { tfrac {1 + { sqrt {-4 }}} {2}} { Big)} = - 2 ^ {9}} 1 π = 16 i ∑ k = 0 ∞ s 4 C ( k ) 1 − 2 2 ( k + 1 2 ) ( − 16 U 2 4 ) k + 1 / 2 , j 4 C ( 1 + − 4 2 ) = − 16 ( 1 + 2 ) 4 = − 16 U 2 4 { displaystyle { frac {1} { pi}} = 16 , { boldsymbol {i}} , součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {4C} (k) , { frac {1-2 { sqrt {2}} , (k + { tfrac {1} {2}})}} ((- 16 , U_ {2} ^ {4}) ^ {k + 1 / 2}}}, quad j_ {4C} { Big (} { tfrac {1 + { sqrt {-4}}} {2}} { Big)} = - 16 , { big (} 1 + { sqrt {2}} { big)} ^ {4} = - 16 , U_ {2} ^ {4}} Úroveň 5 Definovat,
j 5 A ( τ ) = ( η ( τ ) η ( 5 τ ) ) 6 + 5 3 ( η ( 5 τ ) η ( τ ) ) 6 + 22 = 1 q + 16 + 134 q + 760 q 2 + 3345 q 3 + … j 5 B ( τ ) = ( η ( τ ) η ( 5 τ ) ) 6 = 1 q − 6 + 9 q + 10 q 2 − 30 q 3 + 6 q 4 + … { displaystyle { begin {zarovnáno} j_ {5A} ( tau) & = { big (} { tfrac { eta ( tau)} { eta (5 tau)}} { big)} ^ {6} + 5 ^ {3} { big (} { tfrac { eta (5 tau)} { eta ( tau)}} { big)} ^ {6} +22 = { tfrac {1} {q}} + 16 + 134q + 760q ^ {2} + 3345q ^ {3} + dots j_ {5B} ( tau) & = { big (} { tfrac { eta ( tau)} { eta (5 tau)}} { big)} ^ {6} = { tfrac {1} {q}} - 6 + 9q + 10q ^ {2} -30q ^ {3 } + 6q ^ {4} + dots end {zarovnáno}}} a,
s 5 A ( k ) = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( k + j j ) = 1 , 6 , 114 , 2940 , 87570 , … { displaystyle s_ {5A} (k) = { tbinom {2k} {k}} součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} ^ {2} { tbinom {k + j} {j}} = 1 644 2940 87570, tečky} s 5 B ( k ) = ∑ j = 0 k ( − 1 ) j + k ( k j ) 3 ( 4 k − 5 j 3 k ) = 1 , − 5 , 35 , − 275 , 2275 , − 19255 , … { displaystyle s_ {5B} (k) = součet _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j + k} { tbinom {k} {j}} ^ {3} { tbinom {4k-5j} {3k}} = 1, -5,35, -275,2275, -19255, dots} OEIS : A229111 kde první je produktem centrální binomické koeficienty a Apéryho čísla (OEIS : A005258 [9]
Příklady:
1 π = 5 9 i ∑ k = 0 ∞ s 5 A ( k ) 682 k + 71 ( − 15228 ) k + 1 / 2 , j 5 A ( 5 + − 5 ( 47 ) 10 ) = − 15228 = − ( 18 47 ) 2 { displaystyle { frac {1} { pi}} = { frac {5} {9}} , { boldsymbol {i}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ {5A} (k) , { frac {682k + 71} {(- 15228) ^ {k + 1/2}}}, quad j_ {5A} { Big (} { tfrac {5+ { sqrt {-5 (47)}}} {10}} { Big)} = - 15228 = - (18 { sqrt {47}}) ^ {2}} 1 π = 6 5 i ∑ k = 0 ∞ s 5 B ( k ) 25 5 − 141 ( k + 1 2 ) ( − 5 5 U 5 15 ) k + 1 / 2 , j 5 B ( 5 + − 5 ( 47 ) 10 ) = − 5 5 ( 1 + 5 2 ) 15 = − 5 5 U 5 15 { displaystyle { frac {1} { pi}} = { frac {6} { sqrt {5}}} , { boldsymbol {i}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ {5B} (k) , { frac {25 { sqrt {5}} - 141 (k + { tfrac {1} {2}})}} {(- 5 { sqrt {5} } , U_ {5} ^ {15}) ^ {k + 1/2}}}, quad j_ {5B} { Big (} { tfrac {5 + { sqrt {-5 (47)} }} {10}} { Big)} = - 5 { sqrt {5}} , { big (} { tfrac {1 + { sqrt {5}}} {2}} { big) } ^ {15} = - 5 { sqrt {5}} , U_ {5} ^ {15}} Úroveň 6 Modulární funkce V roce 2002 Sato[7] Apéryho čísla které byly poprvé použity ke stanovení iracionality ζ ( 3 ) { displaystyle zeta (3)}
j 6 A ( τ ) = j 6 B ( τ ) + 1 j 6 B ( τ ) − 2 = j 6 C ( τ ) + 64 j 6 C ( τ ) + 16 = j 6 D ( τ ) + 81 j 6 D ( τ ) + 14 = 1 q + 10 + 79 q + 352 q 2 + … { displaystyle { begin {seřazeno} j_ {6A} ( tau) & = j_ {6B} ( tau) + { tfrac {1} {j_ {6B} ( tau)}} - 2 = j_ { 6C} ( tau) + { tfrac {64} {j_ {6C} ( tau)}} + 16 = j_ {6D} ( tau) + { tfrac {81} {j_ {6D} ( tau )}} + 14 = { tfrac {1} {q}} + 10 + 79q + 352q ^ {2} + dots end {zarovnáno}}} j 6 B ( τ ) = ( η ( 2 τ ) η ( 3 τ ) η ( τ ) η ( 6 τ ) ) 12 = 1 q + 12 + 78 q + 364 q 2 + 1365 q 3 + … { displaystyle { begin {aligned} j_ {6B} ( tau) & = { Big (} { tfrac { eta (2 tau) eta (3 tau)} { eta ( tau) eta (6 tau)}} { Big)} ^ {12} = { tfrac {1} {q}} + 12 + 78q + 364q ^ {2} + 1365q ^ {3} + dots end {zarovnaný}}} j 6 C ( τ ) = ( η ( τ ) η ( 3 τ ) η ( 2 τ ) η ( 6 τ ) ) 6 = 1 q − 6 + 15 q − 32 q 2 + 87 q 3 − 192 q 4 + … { displaystyle { begin {zarovnáno} j_ {6C} ( tau) & = { Big (} { tfrac { eta ( tau) eta (3 tau)} { eta (2 tau) eta (6 tau)}} { Big)} ^ {6} = { tfrac {1} {q}} - 6 + 15q-32q ^ {2} + 87q ^ {3} -192q ^ {4 } + tečky konec {zarovnáno}}} j 6 D ( τ ) = ( η ( τ ) η ( 2 τ ) η ( 3 τ ) η ( 6 τ ) ) 4 = 1 q − 4 − 2 q + 28 q 2 − 27 q 3 − 52 q 4 + … { displaystyle { begin {aligned} j_ {6D} ( tau) & = { Big (} { tfrac { eta ( tau) eta (2 tau)} { eta (3 tau) eta (6 tau)}} { Big)} ^ {4} = { tfrac {1} {q}} - 4-2q + 28q ^ {2} -27q ^ {3} -52q ^ {4 } + tečky konec {zarovnáno}}} j 6 E ( τ ) = ( η ( 2 τ ) η 3 ( 3 τ ) η ( τ ) η 3 ( 6 τ ) ) 3 = 1 q + 3 + 6 q + 4 q 2 − 3 q 3 − 12 q 4 + … { displaystyle { begin {zarovnáno} j_ {6E} ( tau) & = { Big (} { tfrac { eta (2 tau) eta ^ {3} (3 tau)} { eta ( tau) eta ^ {3} (6 tau)}} { Big)} ^ {3} = { tfrac {1} {q}} + 3 + 6q + 4q ^ {2} -3q ^ {3} -12q ^ {4} + dots end {zarovnáno}}} J. Conway a S. Norton ukázali, že mezi sériemi McKay – Thompson existují lineární vztahy T n [14]
T 6 A − T 6 B − T 6 C − T 6 D + 2 T 6 E = 0 { displaystyle T_ {6A} -T_ {6B} -T_ {6C} -T_ {6D} + 2T_ {6E} = 0} nebo pomocí výše uvedených koeficientů eta j n
j 6 A − j 6 B − j 6 C − j 6 D + 2 j 6 E = 22 { displaystyle j_ {6A} -j_ {6B} -j_ {6C} -j_ {6D} + 2j_ {6E} = 22} α sekvence Pro modulární funkci j 6A tři různé sekvence. (Podobná situace nastává u funkce úrovně 10 j 10A
α 1 ( k ) = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k ( k j ) 3 = 1 , 4 , 60 , 1120 , 24220 , … { displaystyle alpha _ {1} (k) = { tbinom {2k} {k}} součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} ^ {3} = 1,4,60,1120,24220, dots} OEIS : A181418 s 6 v Cooperově článku) α 2 ( k ) = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k ( k j ) ∑ m = 0 j ( j m ) 3 = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( 2 j j ) = 1 , 6 , 90 , 1860 , 44730 , … { displaystyle alpha _ {2} (k) = { tbinom {2k} {k}} součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} součet _ {m = 0} ^ {j} { tbinom {j} {m}} ^ {3} = { tbinom {2k} {k}} sum _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} ^ {2} { tbinom {2j} {j}} = 1,6,90,1860,44730, dots} OEIS : A002896 α 3 ( k ) = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k ( k j ) ( − 8 ) k − j ∑ m = 0 j ( j m ) 3 = 1 , − 12 , 252 , − 6240 , 167580 , − 4726512 , … { displaystyle alpha _ {3} (k) = { tbinom {2k} {k}} součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} (- 8) ^ {kj} sum _ {m = 0} ^ {j} { tbinom {j} {m}} ^ {3} = 1, -12,252, -6240,167580, -4726512, dots} Tyto tři sekvence zahrnují produkt centrální binomické koeficienty C ( k ) = ( 2 k k ) { displaystyle c (k) = { tbinom {2k} {k}}} Divoká čísla ∑ j = 0 k ( k j ) 3 { displaystyle sum _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} ^ {3}} OEIS : A002893 OEIS : A093388 α 2 (k ) je také počet polygonů ve 2n kroku v a kubická mříž . Jejich doplňky,
α 2 ′ ( k ) = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k ( k j ) ( − 1 ) k − j ∑ m = 0 j ( j m ) 3 = 1 , 2 , 42 , 620 , 12250 , … { displaystyle alpha '_ {2} (k) = { tbinom {2k} {k}} součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} (- 1) ^ {kj} sum _ {m = 0} ^ {j} { tbinom {j} {m}} ^ {3} = 1,2,42,620,12250, dots} α 3 ′ ( k ) = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k ( k j ) ( 8 ) k − j ∑ m = 0 j ( j m ) 3 = 1 , 20 , 636 , 23840 , 991900 , … { displaystyle alpha '_ {3} (k) = { tbinom {2k} {k}} součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} (8) ^ {kj} sum _ {m = 0} ^ {j} { tbinom {j} {m}} ^ {3} = 1,20,636,23840,991900, dots} Existují také přidružené sekvence, jmenovitě Apéryho čísla,
s 6 B ( k ) = ∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( k + j j ) 2 = 1 , 5 , 73 , 1445 , 33001 , … { displaystyle s_ {6B} (k) = součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} ^ {2} { tbinom {k + j} {j}} ^ {2} = 1,5,73,1445,33001, dots} OEIS : A005259 čísla Domb (bez znaménka) nebo počet 2n -step polygony na a diamantová mříž ,
s 6 C ( k ) = ( − 1 ) k ∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( 2 ( k − j ) k − j ) ( 2 j j ) = 1 , − 4 , 28 , − 256 , 2716 , … { displaystyle s_ {6C} (k) = (- 1) ^ {k} sum _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} ^ {2} { tbinom {2 (kj)} {kj}} { tbinom {2j} {j}} = 1, -4,28, -256,2716, dots} OEIS : A002895 a čísla Almkvist-Zudilin,
s 6 D ( k ) = ∑ j = 0 k ( − 1 ) k − j 3 k − 3 j ( 3 j ) ! j ! 3 ( k 3 j ) ( k + j j ) = 1 , − 3 , 9 , − 3 , − 279 , 2997 , … { displaystyle s_ {6D} (k) = součet _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kj} , 3 ^ {k-3j} , { tfrac {(3j)! } {j! ^ {3}}} { tbinom {k} {3j}} { tbinom {k + j} {j}} = 1, -3,9, -3, -279 2997, tečky } OEIS : A125143 kde ( 3 j ) ! j ! 3 = ( 2 j j ) ( 3 j j ) { displaystyle { tfrac {(3j)!} {j! ^ {3}}} = { tbinom {2j} {j}} { tbinom {3j} {j}}}
Totožnosti Modulární funkce mohou být spojeny jako,
P = ∑ k = 0 ∞ α 1 ( k ) 1 ( j 6 A ( τ ) ) k + 1 / 2 = ∑ k = 0 ∞ α 2 ( k ) 1 ( j 6 A ( τ ) + 4 ) k + 1 / 2 = ∑ k = 0 ∞ α 3 ( k ) 1 ( j 6 A ( τ ) − 32 ) k + 1 / 2 { displaystyle P = sum _ {k = 0} ^ { infty} alpha _ {1} (k) , { frac {1} {{ big (} j_ {6A} ( tau) { big)} ^ {k + 1/2}}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} alpha _ {2} (k) , { frac {1} {{ big ( } j_ {6A} ( tau) +4 { big)} ^ {k + 1/2}}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} alpha _ {3} (k) , { frac {1} {{ big (} j_ {6A} ( tau) -32 { big)} ^ {k + 1/2}}}} Q = ∑ k = 0 ∞ s 6 B ( k ) 1 ( j 6 B ( τ ) ) k + 1 / 2 = ∑ k = 0 ∞ s 6 C ( k ) 1 ( j 6 C ( τ ) ) k + 1 / 2 = ∑ k = 0 ∞ s 6 D ( k ) 1 ( j 6 D ( τ ) ) k + 1 / 2 { displaystyle Q = součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {6B} (k) , { frac {1} {{ big (} j_ {6B} ( tau) { big )} ^ {k + 1/2}}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {6C} (k) , { frac {1} {{ big (} j_ {6C } ( tau) { big)} ^ {k + 1/2}}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ {6D} (k) , { frac {1} { { big (} j_ {6D} ( tau) { big)} ^ {k + 1/2}}}} pokud řada konverguje a znaménko je zvoleno vhodně. Lze také pozorovat, že
P = Q = ∑ k = 0 ∞ α 2 ′ ( k ) 1 ( j 6 A ( τ ) − 4 ) k + 1 / 2 = ∑ k = 0 ∞ α 3 ′ ( k ) 1 ( j 6 A ( τ ) + 32 ) k + 1 / 2 { displaystyle P = Q = součet _ {k = 0} ^ { infty} alpha '_ {2} (k) , { frac {1} {{ big (} j_ {6A} ( tau) -4 { big)} ^ {k + 1/2}}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} alpha '_ {3} (k) , { frac {1 } {{ big (} j_ {6A} ( tau) +32 { big)} ^ {k + 1/2}}}} z čehož vyplývá,
∑ k = 0 ∞ α 2 ( k ) 1 ( j 6 A ( τ ) + 4 ) k + 1 / 2 = ∑ k = 0 ∞ α 2 ′ ( k ) 1 ( j 6 A ( τ ) − 4 ) k + 1 / 2 { displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} alpha _ {2} (k) , { frac {1} {{ big (} j_ {6A} ( tau) +4 { big)} ^ {k + 1/2}}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} alpha '_ {2} (k) , { frac {1} {{ big (} j_ {6A} ( tau) -4 { big)} ^ {k + 1/2}}}} a podobně pomocí α3 a α '3 .
Příklady Lze použít hodnotu pro j 6A
Δ = j 6 A ( − 17 6 ) = 198 2 − 4 = ( 140 2 ) 2 { displaystyle Delta = j_ {6A} { Big (} { sqrt { tfrac {-17} {6}}} { Big)} = 198 ^ {2} -4 = (140 { sqrt { 2}}) ^ {2}} a to si všímat 3 × 17 = 51 { displaystyle 3 krát 17 = 51}
1 π = 24 3 35 ∑ k = 0 ∞ α 1 ( k ) 51 ⋅ 11 k + 53 ( Δ ) k + 1 / 2 1 π = 4 3 99 ∑ k = 0 ∞ α 2 ( k ) 17 ⋅ 560 k + 899 ( Δ + 4 ) k + 1 / 2 1 π = 3 2 ∑ k = 0 ∞ α 3 ( k ) 770 k + 73 ( Δ − 32 ) k + 1 / 2 { displaystyle { begin {aligned} { frac {1} { pi}} & = { frac {24 { sqrt {3}}} {35}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} alpha _ {1} (k) , { frac {51 cdot 11k + 53} {( Delta) ^ {k + 1/2}}} { frac {1} { pi}} & = { frac {4 { sqrt {3}}} {99}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} alpha _ {2} (k) , { frac {17 cdot 560k + 899} {( Delta +4) ^ {k + 1/2}}} { frac {1} { pi}} & = { frac { sqrt {3 }} {2}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} alpha _ {3} (k) , { frac {770k + 73} {( Delta -32) ^ {k +1/2}}} konec {zarovnáno}}} stejně jako,
1 π = 12 3 9799 ∑ k = 0 ∞ α 2 ′ ( k ) 11 ⋅ 51 ⋅ 560 k + 29693 ( Δ − 4 ) k + 1 / 2 1 π = 6 3 613 ∑ k = 0 ∞ α 3 ′ ( k ) 51 ⋅ 770 k + 3697 ( Δ + 32 ) k + 1 / 2 { displaystyle { begin {aligned} { frac {1} { pi}} & = { frac {12 { sqrt {3}}} {9799}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} alpha '_ {2} (k) , { frac {11 cdot 51 cdot 560k + 29693} {( Delta -4) ^ {k + 1/2}}} { frac {1} { pi}} & = { frac {6 { sqrt {3}}} {613}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} alpha '_ {3 } (k) , { frac {51 cdot 770k + 3697} {( Delta +32) ^ {k + 1/2}}} end {zarovnáno}}} ačkoli vzorce používající doplňky zjevně ještě nemají přísný důkaz. U ostatních modulárních funkcí
1 π = 8 15 ∑ k = 0 ∞ s 6 B ( k ) ( 1 2 − 3 5 20 + k ) ( 1 ϕ 12 ) k + 1 / 2 , j 6 B ( − 5 6 ) = ( 1 + 5 2 ) 12 = ϕ 12 { displaystyle { frac {1} { pi}} = 8 { sqrt {15}} , součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {6B} (k) , { velký (} { tfrac {1} {2}} - { tfrac {3 { sqrt {5}}} {20}} + k { Big)} { Big (} { frac {1} { phi ^ {12}}} { Big)} ^ {k + 1/2}, quad j_ {6B} { Big (} { sqrt { tfrac {-5} {6}}} { Big )} = { Big (} { tfrac {1 + { sqrt {5}}} {2}} { Big)} ^ {12} = phi ^ {12}} 1 π = 1 2 ∑ k = 0 ∞ s 6 C ( k ) 3 k + 1 32 k , j 6 C ( − 1 3 ) = 32 { displaystyle { frac {1} { pi}} = { frac {1} {2}} , součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {6C} (k) , { frac {3k + 1} {32 ^ {k}}}, quad j_ {6C} { Big (} { sqrt { tfrac {-1} {3}}} { Big)} = 32} 1 π = 2 3 ∑ k = 0 ∞ s 6 D ( k ) 4 k + 1 81 k + 1 / 2 , j 6 D ( − 1 2 ) = 81 { displaystyle { frac {1} { pi}} = 2 { sqrt {3}} , součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {6D} (k) , { frac {4k + 1} {81 ^ {k + 1/2}}}, quad j_ {6D} { Big (} { sqrt { tfrac {-1} {2}}} { Big)} = 81} Úroveň 7 Definovat
s 7 A ( k ) = ∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( 2 j k ) ( k + j j ) = 1 , 4 , 48 , 760 , 13840 , … { displaystyle s_ {7A} (k) = součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} ^ {2} { tbinom {2j} {k}} { tbinom {k + j} {j}} = 1,4,48,760,13840, dots} OEIS : A183204 a,
j 7 A ( τ ) = ( ( η ( τ ) η ( 7 τ ) ) 2 + 7 ( η ( 7 τ ) η ( τ ) ) 2 ) 2 = 1 q + 10 + 51 q + 204 q 2 + 681 q 3 + … j 7 B ( τ ) = ( η ( τ ) η ( 7 τ ) ) 4 = 1 q − 4 + 2 q + 8 q 2 − 5 q 3 − 4 q 4 − 10 q 5 + … { displaystyle { begin {aligned} j_ {7A} ( tau) & = { Big (} { big (} { tfrac { eta ( tau)} { eta (7 tau)}} { big)} ^ {2} +7 { big (} { tfrac { eta (7 tau)} { eta ( tau)}} { big)} ^ {2} { Big) } ^ {2} = { tfrac {1} {q}} + 10 + 51q + 204q ^ {2} + 681q ^ {3} + dots j_ {7B} ( tau) & = { big (} { tfrac { eta ( tau)} { eta (7 tau)}} { big)} ^ {4} = { tfrac {1} {q}} - 4 + 2q + 8q ^ {2} -5q ^ {3} -4q ^ {4} -10q ^ {5} + dots end {zarovnáno}}} Příklad:
1 π = 7 22 3 ∑ k = 0 ∞ s 7 A ( k ) 11895 k + 1286 ( − 22 3 ) k , j 7 A ( 7 + − 427 14 ) = − 22 3 + 1 = − ( 39 7 ) 2 { displaystyle { frac {1} { pi}} = { frac { sqrt {7}} {22 ^ {3}}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ { 7A} (k) , { frac {11895k + 1286} {(- 22 ^ {3}) ^ {k}}}, quad j_ {7A} { Big (} { tfrac {7 + { sqrt {-427}}} {14}} { Big)} = - 22 ^ {3} +1 = - (39 { sqrt {7}}) ^ {2}} Dosud nebyl nalezen žádný vzorec pí j 7B .
Úroveň 8 Definovat,
j 4 B ( τ ) = ( j 2 A ( 2 τ ) ) 1 / 2 = 1 q + 52 q + 834 q 3 + 4760 q 5 + 24703 q 7 + … = ( ( η ( τ ) η 2 ( 4 τ ) η 2 ( 2 τ ) η ( 8 τ ) ) 4 + 4 ( η 2 ( 2 τ ) η ( 8 τ ) η ( τ ) η 2 ( 4 τ ) ) 4 ) 2 = ( ( η ( 2 τ ) η ( 4 τ ) η ( τ ) η ( 8 τ ) ) 4 − 4 ( η ( τ ) η ( 8 τ ) η ( 2 τ ) η ( 4 τ ) ) 4 ) 2 j 8 A ′ ( τ ) = ( η ( τ ) η 2 ( 4 τ ) η 2 ( 2 τ ) η ( 8 τ ) ) 8 = 1 q − 8 + 36 q − 128 q 2 + 386 q 3 − 1024 q 4 + … j 8 A ( τ ) = ( η ( 2 τ ) η ( 4 τ ) η ( τ ) η ( 8 τ ) ) 8 = 1 q + 8 + 36 q + 128 q 2 + 386 q 3 + 1024 q 4 + … j 8 B ( τ ) = ( j 4 A ( 2 τ ) ) 1 / 2 = ( η 2 ( 4 τ ) η ( 2 τ ) η ( 8 τ ) ) 12 = 1 q + 12 q + 66 q 3 + 232 q 5 + 639 q 7 + … { displaystyle { begin {aligned} j_ {4B} ( tau) & = { big (} j_ {2A} (2 tau) { big)} ^ {1/2} = { tfrac {1 } {q}} + 52q + 834q ^ {3} + 4760q ^ {5} + 24703q ^ {7} + dots & = { Big (} { big (} { tfrac { eta ( tau) , eta ^ {2} (4 tau)} { eta ^ {2} (2 tau) , eta (8 tau)}} { big)} ^ {4} +4 { big (} { tfrac { eta ^ {2} (2 tau) , eta (8 tau)} { eta ( tau) , eta ^ {2} (4 tau) }} { big)} ^ {4} { Big)} ^ {2} = { Big (} { big (} { tfrac { eta (2 tau) , eta (4 tau) )} { eta ( tau) , eta (8 tau)}} { big)} ^ {4} -4 { big (} { tfrac { eta ( tau) , eta (8 tau)} { eta (2 tau) , eta (4 tau)}} { big)} ^ {4} { Big)} ^ {2} j_ {8A '} ( tau) & = { big (} { tfrac { eta ( tau) , eta ^ {2} (4 tau)} { eta ^ {2} (2 tau) , eta (8 tau)}} { big)} ^ {8} = { tfrac {1} {q}} - 8 + 36q-128q ^ {2} + 386q ^ {3} -1024q ^ {4} + dots j_ {8A} ( tau) & = { big (} { tfrac { eta (2 tau) , eta (4 tau)} { eta ( tau) , eta (8 tau)}} { big)} ^ {8} = { tfrac {1} {q}} + 8 + 36q + 128q ^ {2} + 386q ^ {3} + 1024q ^ {4 } + dots j_ {8B} ( tau) & = { big (} j_ {4A} (2 tau) { big)} ^ {1/2} = { big (} { tfrac { eta ^ {2} (4 tau)} { eta (2 tau) , eta ( 8 tau)}} { big)} ^ {12} = { tfrac {1} {q}} + 12q + 66q ^ {3} + 232q ^ {5} + 639q ^ {7} + tečky konec {zarovnáno}}} Expanzí první je řada McKay – Thompson třídy 4B (a je odmocnina jiné funkce). Čtvrtý je také druhá odmocnina jiné funkce. Nechat,
s 4 B ( k ) = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k 4 k − 2 j ( k 2 j ) ( 2 j j ) 2 = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k ( k j ) ( 2 k − 2 j k − j ) ( 2 j j ) = 1 , 8 , 120 , 2240 , 47320 , … { displaystyle s_ {4B} (k) = { tbinom {2k} {k}} součet _ {j = 0} ^ {k} 4 ^ {k-2j} { tbinom {k} {2j}} { tbinom {2j} {j}} ^ {2} = { tbinom {2k} {k}} sum _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} { tbinom {2k-2j} {kj}} { tbinom {2j} {j}} = 1,8 120,2240,47320, dots} s 8 A ′ ( k ) = ( − 1 ) k ∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( 2 j k ) 2 = 1 , − 4 , 40 , − 544 , 8536 , … { displaystyle s_ {8A '} (k) = (- 1) ^ {k} sum _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} ^ {2} { tbinom { 2j} {k}} ^ {2} = 1, -4,40, -544,8536, dots} s 8 B ( k ) = ∑ j = 0 k ( 2 j j ) 3 ( 2 k − 4 j k − 2 j ) = 1 , 2 , 14 , 36 , 334 , … { displaystyle s_ {8B} (k) = součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {2j} {j}} ^ {3} { tbinom {2k-4j} {k-2j} } = 1,2,14,36,334, dots} kde první je produkt[2] aritmeticko-geometrický průměr (OEIS : A081085
Příklady:
1 π = 2 2 13 ∑ k = 0 ∞ s 4 B ( k ) 70 ⋅ 99 k + 579 ( 16 + 396 2 ) k + 1 / 2 , j 4 B ( 1 4 − 58 ) = 396 2 { displaystyle { frac {1} { pi}} = { frac {2 { sqrt {2}}} {13}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ {4B } (k) , { frac {70 cdot 99 , k + 579} {(16 + 396 ^ {2}) ^ {k + 1/2}}}, qquad j_ {4B} { Big (} { tfrac {1} {4}} { sqrt {-58}} { Big)} = 396 ^ {2}} 1 π = − 2 70 ∑ k = 0 ∞ s 4 B ( k ) 58 ⋅ 13 ⋅ 99 k + 6243 ( 16 − 396 2 ) k + 1 / 2 { displaystyle { frac {1} { pi}} = { frac { sqrt {-2}} {70}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ {4B} ( k) , { frac {58 cdot 13 cdot 99 , k + 6243} {(16-396 ^ {2}) ^ {k + 1/2}}}} 1 π = 2 2 ∑ k = 0 ∞ s 8 A ′ ( k ) − 222 + 377 2 ( k + 1 2 ) ( 4 ( 1 + 2 ) 12 ) k + 1 / 2 , j 8 A ′ ( 1 4 − 58 ) = 4 ( 1 + 2 ) 12 , j 8 A ( 1 4 − 58 ) = 4 ( 99 + 13 58 ) 2 = 4 U 58 2 { displaystyle { frac {1} { pi}} = 2 { sqrt {2}} , součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {8A '} (k) , { frac {-222 + 377 { sqrt {2}} , (k + { tfrac {1} {2}})}} {{big (} 4 (1 + { sqrt {2}}) ^ {12 } { big)} ^ {k + 1/2}}}, qquad j_ {8A '} { Big (} { tfrac {1} {4}} { sqrt {-58}} { Big )} = 4 (1 + { sqrt {2}}) ^ {12}, quad j_ {8A} { Big (} { tfrac {1} {4}} { sqrt {-58}} { Big)} = 4 (99 + 13 { sqrt {58}}) ^ {2} = 4U_ {58} ^ {2}} 1 π = 3 / 5 16 ∑ k = 0 ∞ s 8 B ( k ) 210 k + 43 ( 64 ) k + 1 / 2 , j 4 B ( 1 4 − 7 ) = 64 { displaystyle { frac {1} { pi}} = { frac { sqrt {3/5}} {16}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ {8B} (k) , { frac {210k + 43} {(64) ^ {k + 1/2}}}, qquad j_ {4B} { Big (} { tfrac {1} {4}} { sqrt {-7}} { Big)} = 64} ačkoli zatím není znám žádný vzorec pi j 8A (τ ).
Úroveň 9 Definovat,
j 3 C ( τ ) = ( j ( 3 τ ) ) 1 / 3 = − 6 + ( η 2 ( 3 τ ) η ( τ ) η ( 9 τ ) ) 6 − 27 ( η ( τ ) η ( 9 τ ) η 2 ( 3 τ ) ) 6 = 1 q + 248 q 2 + 4124 q 5 + 34752 q 8 + … j 9 A ( τ ) = ( η 2 ( 3 τ ) η ( τ ) η ( 9 τ ) ) 6 = 1 q + 6 + 27 q + 86 q 2 + 243 q 3 + 594 q 4 + … { displaystyle { begin {aligned} j_ {3C} ( tau) & = { big (} j (3 tau)) ^ {1/3} = - 6 + { big (} { tfrac { eta ^ {2} (3 tau)} { eta ( tau) , eta (9 tau)}} { big)} ^ {6} -27 { big (} { tfrac { eta ( tau) , eta (9 tau)} { eta ^ {2} (3 tau)}} { big)} ^ {6} = { tfrac {1} {q}} + 248q ^ {2} + 4124q ^ {5} + 34752q ^ {8} + dots j_ {9A} ( tau) & = { big (} { tfrac { eta ^ {2} (3 tau)} { eta ( tau) , eta (9 tau)}} { big)} ^ {6} = { tfrac {1} {q}} + 6 + 27q + 86q ^ { 2} + 243q ^ {3} + 594q ^ {4} + dots end {zarovnáno}}} Expanzí první je řada McKay – Thompson třídy 3C (a související s třetí odmocnina z j-funkce ), zatímco druhá je třída 9A. Nechat,
s 3 C ( k ) = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k ( − 3 ) k − 3 j ( k j ) ( k − j j ) ( k − 2 j j ) = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k ( − 3 ) k − 3 j ( k 3 j ) ( 2 j j ) ( 3 j j ) = 1 , − 6 , 54 , − 420 , 630 , … { displaystyle s_ {3C} (k) = { tbinom {2k} {k}} součet _ {j = 0} ^ {k} (- 3) ^ {k-3j} { tbinom {k} { j}} { tbinom {kj} {j}} { tbinom {k-2j} {j}} = { tbinom {2k} {k}} součet _ {j = 0} ^ {k} (- 3) ^ {k-3j} { tbinom {k} {3j}} { tbinom {2j} {j}} { tbinom {3j} {j}} = 1, -6,54, -420 630, tečky} s 9 A ( k ) = ∑ j = 0 k ( k j ) 2 ∑ m = 0 j ( k m ) ( j m ) ( j + m k ) = 1 , 3 , 27 , 309 , 4059 , … { displaystyle s_ {9A} (k) = součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} ^ {2} součet _ {m = 0} ^ {j} { tbinom {k} {m}} { tbinom {j} {m}} { tbinom {j + m} {k}} = 1,3,27,309,4059, dots} kde první je součin centrálních binomických koeficientů a OEIS : A006077
Příklady:
1 π = − i 9 ∑ k = 0 ∞ s 3 C ( k ) 602 k + 85 ( − 960 − 12 ) k + 1 / 2 , j 3 C ( 3 + − 43 6 ) = − 960 { displaystyle { frac {1} { pi}} = { frac {- { boldsymbol {i}}} {9}} sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ {3C} ( k) , { frac {602k + 85} {(- 960-12) ^ {k + 1/2}}}, quad j_ {3C} { Big (} { tfrac {3 + { sqrt {-43}}} {6}} { Big)} = - 960} 1 π = 6 i ∑ k = 0 ∞ s 9 A ( k ) 4 − 129 ( k + 1 2 ) ( − 3 3 U 129 ) k + 1 / 2 , j 9 A ( 3 + − 43 6 ) = − 3 3 ( 53 3 + 14 43 ) = − 3 3 U 129 { displaystyle { frac {1} { pi}} = 6 , { boldsymbol {i}} , součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {9A} (k) , { frac {4 - { sqrt {129}} , (k + { tfrac {1} {2}})}} {{ big (} -3 { sqrt {3U_ {129}}} { big) } ^ {k + 1/2}}}, quad j_ {9A} { Big (} { tfrac {3 + { sqrt {-43}}} {6}} { Big)} = - 3 { sqrt {3}} { big (} 53 { sqrt {3}} + 14 { sqrt {43}} { big)} = - 3 { sqrt {3U_ {129}}}} 10. úroveň Modulární funkce Definovat,
j 10 A ( τ ) = j 10 B ( τ ) + 16 j 10 B ( τ ) + 8 = j 10 C ( τ ) + 25 j 10 C ( τ ) + 6 = j 10 D ( τ ) + 1 j 10 D ( τ ) − 2 = 1 q + 4 + 22 q + 56 q 2 + … { displaystyle { begin {aligned} j_ {10A} ( tau) & = j_ {10B} ( tau) + { tfrac {16} {j_ {10B} ( tau)}} + 8 = j_ { 10C} ( tau) + { tfrac {25} {j_ {10C} ( tau)}} + 6 = j_ {10D} ( tau) + { tfrac {1} {j_ {10D} ( tau )}} - 2 = { tfrac {1} {q}} + 4 + 22q + 56q ^ {2} + dots end {zarovnáno}}} j 10 B ( τ ) = ( η ( τ ) η ( 5 τ ) η ( 2 τ ) η ( 10 τ ) ) 4 = 1 q − 4 + 6 q − 8 q 2 + 17 q 3 − 32 q 4 + … { displaystyle { begin {zarovnaný} j_ {10B} ( tau) & = { Big (} { tfrac { eta ( tau) eta (5 tau)} { eta (2 tau) eta (10 tau)}} { Big)} ^ {4} = { tfrac {1} {q}} - 4 + 6q-8q ^ {2} + 17q ^ {3} -32q ^ {4 } + tečky konec {zarovnáno}}} j 10 C ( τ ) = ( η ( τ ) η ( 2 τ ) η ( 5 τ ) η ( 10 τ ) ) 2 = 1 q − 2 − 3 q + 6 q 2 + 2 q 3 + 2 q 4 + … { displaystyle { begin {zarovnáno} j_ {10C} ( tau) & = { Big (} { tfrac { eta ( tau) eta (2 tau)} { eta (5 tau) eta (10 tau)}} { Big)} ^ {2} = { tfrac {1} {q}} - 2-3q + 6q ^ {2} + 2q ^ {3} + 2q ^ {4 } + tečky konec {zarovnáno}}} j 10 D ( τ ) = ( η ( 2 τ ) η ( 5 τ ) η ( τ ) η ( 10 τ ) ) 6 = 1 q + 6 + 21 q + 62 q 2 + 162 q 3 + … { displaystyle { begin {zarovnáno} j_ {10D} ( tau) & = { Big (} { tfrac { eta (2 tau) eta (5 tau)} { eta ( tau) eta (10 tau)}} { Big)} ^ {6} = { tfrac {1} {q}} + 6 + 21q + 62q ^ {2} + 162q ^ {3} + dots end {zarovnaný}}} j 10 E ( τ ) = ( η ( 2 τ ) η 5 ( 5 τ ) η ( τ ) η 5 ( 10 τ ) ) = 1 q + 1 + q + 2 q 2 + 2 q 3 − 2 q 4 + … { displaystyle { begin {seřazeno} j_ {10E} ( tau) & = { Big (} { tfrac { eta (2 tau) eta ^ {5} (5 tau)} { eta ( tau) eta ^ {5} (10 tau)}} { Big)} = { tfrac {1} {q}} + 1 + q + 2q ^ {2} + 2q ^ {3} - 2q ^ {4} + dots end {zarovnáno}}} Stejně jako úroveň 6 existují i lineární vztahy mezi nimi,
T 10 A − T 10 B − T 10 C − T 10 D + 2 T 10 E = 0 { displaystyle T_ {10A} -T_ {10B} -T_ {10C} -T_ {10D} + 2T_ {10E} = 0} nebo pomocí výše uvedených koeficientů eta j n
j 10 A − j 10 B − j 10 C − j 10 D + 2 j 10 E = 6 { displaystyle j_ {10A} -j_ {10B} -j_ {10C} -j_ {10D} + 2j_ {10E} = 6} β sekvence Nechat,
β 1 ( k ) = ∑ j = 0 k ( k j ) 4 = 1 , 2 , 18 , 164 , 1810 , … { displaystyle beta _ {1} (k) = součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {k} {j}} ^ {4} = 1,2,18,164,1810, tečky } OEIS : A005260 s 10 v Cooperově článku) β 2 ( k ) = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k ( 2 j j ) − 1 ( k j ) ∑ m = 0 j ( j m ) 4 = 1 , 4 , 36 , 424 , 5716 , … { displaystyle beta _ {2} (k) = { tbinom {2k} {k}} součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {2j} {j}} ^ {- 1} { tbinom {k} {j}} sum _ {m = 0} ^ {j} { tbinom {j} {m}} ^ {4} = 1,4,36,424,5716, dots} β 3 ( k ) = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k ( 2 j j ) − 1 ( k j ) ( − 4 ) k − j ∑ m = 0 j ( j m ) 4 = 1 , − 6 , 66 , − 876 , 12786 , … { displaystyle beta _ {3} (k) = { tbinom {2k} {k}} součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {2j} {j}} ^ {- 1} { tbinom {k} {j}} (- 4) ^ {kj} sum _ {m = 0} ^ {j} { tbinom {j} {m}} ^ {4} = 1, -6, 66, -876 127 78, dots} jejich doplňky,
β 2 ′ ( k ) = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k ( 2 j j ) − 1 ( k j ) ( − 1 ) k − j ∑ m = 0 j ( j m ) 4 = 1 , 0 , 12 , 24 , 564 , 2784 , … { displaystyle beta _ {2} '(k) = { tbinom {2k} {k}} součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {2j} {j}} ^ {- 1 } { tbinom {k} {j}} (- 1) ^ {kj} sum _ {m = 0} ^ {j} { tbinom {j} {m}} ^ {4} = 1,0, 12,24 564 2784, dots} β 3 ′ ( k ) = ( 2 k k ) ∑ j = 0 k ( 2 j j ) − 1 ( k j ) ( 4 ) k − j ∑ m = 0 j ( j m ) 4 = 1 , 10 , 162 , 3124 , 66994 , … { displaystyle beta _ {3} '(k) = { tbinom {2k} {k}} součet _ {j = 0} ^ {k} { tbinom {2j} {j}} ^ {- 1 } { tbinom {k} {j}} (4) ^ {kj} sum _ {m = 0} ^ {j} { tbinom {j} {m}} ^ {4} = 1,10,162,3124 , 66994, dots} a,
s 10 B ( k ) = 1 , − 2 , 10 , − 68 , 514 , − 4100 , 33940 , … { displaystyle s_ {10B} (k) = 1, -2,10, -68,514, -4100,33940, dots} s 10 C ( k ) = 1 , − 1 , 1 , − 1 , 1 , 23 , − 263 , 1343 , − 2303 , … { displaystyle s_ {10C} (k) = 1, -1,1, -1,1,23, -263,1343, -2303, tečky} s 10 D ( k ) = 1 , 3 , 25 , 267 , 3249 , 42795 , 594145 , … { displaystyle s_ {10D} (k) = 1,3,25,267,3249,42795,594145, dots} ačkoli uzavřené formy ještě nejsou známy pro poslední tři sekvence.
Totožnosti Modulární funkce mohou být spojeny jako,[15]
U = ∑ k = 0 ∞ β 1 ( k ) 1 ( j 10 A ( τ ) ) k + 1 / 2 = ∑ k = 0 ∞ β 2 ( k ) 1 ( j 10 A ( τ ) + 4 ) k + 1 / 2 = ∑ k = 0 ∞ β 3 ( k ) 1 ( j 10 A ( τ ) − 16 ) k + 1 / 2 { displaystyle U = sum _ {k = 0} ^ { infty} beta _ {1} (k) , { frac {1} {(j_ {10A} ( tau)) ^ {k + 1/2}}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} beta _ {2} (k) , { frac {1} {(j_ {10A} ( tau) +4) ^ {k + 1/2}}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} beta _ {3} (k) , { frac {1} {(j_ {10A} ( tau ) -16) ^ {k + 1/2}}}} PROTI = ∑ k = 0 ∞ s 10 B ( k ) 1 ( j 10 B ( τ ) ) k + 1 / 2 = ∑ k = 0 ∞ s 10 C ( k ) 1 ( j 10 C ( τ ) ) k + 1 / 2 = ∑ k = 0 ∞ s 10 D ( k ) 1 ( j 10 D ( τ ) ) k + 1 / 2 { displaystyle V = součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {10B} (k) , { frac {1} {(j_ {10B} ( tau)) ^ {k + 1 / 2}}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {10C} (k) , { frac {1} {(j_ {10C} ( tau)) ^ {k + 1 / 2}}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {10D} (k) , { frac {1} {(j_ {10D} ( tau)) ^ {k + 1 / 2}}}} pokud řada konverguje. Ve skutečnosti lze také pozorovat, že
U = PROTI = ∑ k = 0 ∞ β 2 ′ ( k ) 1 ( j 10 A ( τ ) − 4 ) k + 1 / 2 = ∑ k = 0 ∞ β 3 ′ ( k ) 1 ( j 10 A ( τ ) + 16 ) k + 1 / 2 { displaystyle U = V = součet _ {k = 0} ^ { infty} beta _ {2} '(k) , { frac {1} {(j_ {10A} ( tau) -4 ) ^ {k + 1/2}}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} beta _ {3} '(k) , { frac {1} {(j_ {10A} ( tau) +16) ^ {k + 1/2}}}} Vzhledem k tomu, že exponent má zlomkovou část, je nutné vhodně zvolit znaménko druhé odmocniny, i když je to méně problém j n
Příklady Stejně jako úroveň 6, funkce úrovně 10 j 10A
j 10 A ( − 19 10 ) = 76 2 { displaystyle j_ {10A} { Big (} { sqrt { tfrac {-19} {10}}} { Big)} = 76 ^ {2}} a všímat si toho 5 × 19 = 95 { displaystyle 5 krát 19 = 95}
1 π = 5 95 ∑ k = 0 ∞ β 1 ( k ) 408 k + 47 ( 76 2 ) k + 1 / 2 1 π = 1 17 95 ∑ k = 0 ∞ β 2 ( k ) 19 ⋅ 1824 k + 3983 ( 76 2 + 4 ) k + 1 / 2 1 π = 1 6 95 ∑ k = 0 ∞ β 3 ( k ) 19 ⋅ 646 k + 1427 ( 76 2 − 16 ) k + 1 / 2 { displaystyle { begin {aligned} { frac {1} { pi}} & = { frac {5} { sqrt {95}}} , sum _ {k = 0} ^ { infty } beta _ {1} (k) , { frac {408k + 47} {(76 ^ {2}) ^ {k + 1/2}}} { frac {1} { pi} } & = { frac {1} {17 { sqrt {95}}}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} beta _ {2} (k) , { frac { 19 cdot 1824k + 3983} {(76 ^ {2} +4) ^ {k + 1/2}}} { frac {1} { pi}} & = { frac {1} {6 { sqrt {95}}}} , , sum _ {k = 0} ^ { infty} beta _ {3} (k) , , { frac {19 cdot 646k + 1427} {(76 ^ {2} -16) ^ {k + 1/2}}} end {zarovnáno}}} stejně jako,
1 π = 5 481 95 ∑ k = 0 ∞ β 2 ′ ( k ) 19 ⋅ 10336 k + 22675 ( 76 2 − 4 ) k + 1 / 2 1 π = 5 181 95 ∑ k = 0 ∞ β 3 ′ ( k ) 19 ⋅ 3876 k + 8405 ( 76 2 + 16 ) k + 1 / 2 { displaystyle { begin {aligned} { frac {1} { pi}} & = { frac {5} {481 { sqrt {95}}}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} beta _ {2} '(k) , { frac {19 cdot 10336k + 22675} {(76 ^ {2} -4) ^ {k + 1/2}}} { frac {1} { pi}} & = { frac {5} {181 { sqrt {95}}}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} beta _ {3} '(k) , { frac {19 cdot 3876k + 8405} {(76 ^ {2} +16) ^ {k + 1/2}}} end {zarovnáno}}} ačkoli ti, kteří používají doplňky, ještě nemají přísný důkaz. Dohadovaný vzorec využívající jednu z posledních tří sekvencí je,
1 π = i 5 ∑ k = 0 ∞ s 10 C ( k ) 10 k + 3 ( − 5 2 ) k + 1 / 2 , j 10 C ( 1 + i 2 ) = − 5 2 { displaystyle { frac {1} { pi}} = { frac { boldsymbol {i}} { sqrt {5}}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ { 10C} (k) { frac {10k + 3} {(- 5 ^ {2}) ^ {k + 1/2}}}, quad j_ {10C} { Big (} { tfrac {1+ , { boldsymbol {i}}} {2}} { Big)} = - 5 ^ {2}} což znamená, že mohou existovat příklady pro všechny sekvence na úrovni 10.
Úroveň 11 Definujte řadu McKay – Thompson třídy 11A,
j 11 A ( τ ) = ( 1 + 3 F ) 3 + ( 1 F + 3 F ) 2 = 1 q + 6 + 17 q + 46 q 2 + 116 q 3 + … { displaystyle j_ {11A} ( tau) = (1 + 3F) ^ {3} + ({ tfrac {1} { sqrt {F}}} + 3 { sqrt {F}}) ^ {2 } = { tfrac {1} {q}} + 6 + 17q + 46q ^ {2} + 116q ^ {3} + dots} kde,
F = η ( 3 τ ) η ( 33 τ ) η ( τ ) η ( 11 τ ) { displaystyle F = { tfrac { eta (3 tau) , eta (33 tau)} { eta ( tau) , eta (11 tau)}}} a,
s 11 A ( k ) = 1 , 4 , 28 , 268 , 3004 , 36784 , 476476 , … { displaystyle s_ {11A} (k) = 1, , 4, , 28, , 268, , 3004, , 36784, , 476476, tečky} Pro sekvenci zatím není známa žádná uzavřená forma z hlediska binomických koeficientů, ale řídí se relace opakování ,
( k + 1 ) 3 s k + 1 = 2 ( 2 k + 1 ) ( 5 k 2 + 5 k + 2 ) s k − 8 k ( 7 k 2 + 1 ) s k − 1 + 22 k ( k − 1 ) ( 2 k − 1 ) s k − 2 { displaystyle (k + 1) ^ {3} s_ {k + 1} = 2 (2k + 1) (5k ^ {2} + 5k + 2) s_ {k} , - , 8k (7k ^ { 2} +1) s_ {k-1} , + , 22k (k-1) (2k-1) s_ {k-2}} s počátečními podmínkami s (0) = 1, s (1) = 4.
Příklad:[16]
1 π = i 22 ∑ k = 0 ∞ s 11 A ( k ) 221 k + 67 ( − 44 ) k + 1 / 2 , j 11 A ( 1 + − 17 / 11 2 ) = − 44 { displaystyle { frac {1} { pi}} = { frac { boldsymbol {i}} {22}} sum _ {k = 0} ^ { infty} s_ {11A} (k) , { frac {221k + 67} {(- 44) ^ {k + 1/2}}}, quad j_ {11A} { Big (} { tfrac {1 + { sqrt {-17/11 }}} {2}} { Big)} = - 44} Vyšší úrovně Jak zdůraznil Cooper,[16]
Podobné série R. Steiner našel příklady použití Katalánská čísla C k { displaystyle C_ {k}}
1 π = ∑ k = 0 ∞ ( 2 C k − n ) 2 ( 4 z ) k + ( 2 4 ( n − 2 ) + 2 − ( 4 n − 3 ) z ) 2 4 k ( z ∈ Z , n ≥ 2 , n ∈ N ) { displaystyle { frac {1} { pi}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} {(2C_ {kn})} ^ {2} { frac {(4z) k + (2 ^ {4 (n-2) +2} - (4n-3) z)} {2 ^ {4k}}} (z in mathbb {Z}, n geq 2, n in mathbb {N })} a za to a modulární forma s druhou periodou pro k existuje: k = 1 16 ( ( − 20 − 12 i ) + 16 n ) , k = 1 16 ( ( − 20 + 12 i ) + 16 n ) { displaystyle k = { frac {1} {16}} ((- 20-12 { boldsymbol {i}}) + 16n), k = { frac {1} {16}} ((- 20+ 12 { boldsymbol {i}}) + 16n)}
1 π = ∑ k = 0 ∞ ( 2 C k − 2 ) 2 3 k + 1 4 2 4 k { displaystyle { frac {1} { pi}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} {(2C_ {k-2})} ^ {2} { frac {3k + { frac {1} {4}}} {2 ^ {4k}}}} 1 π = ∑ k = 0 ∞ ( 2 C k − 1 ) 2 ( 4 z + 1 ) k − z 2 4 k ( z ∈ Z ) { displaystyle { frac {1} { pi}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} {(2C_ {k-1})} ^ {2} { frac {(4z + 1 ) kz} {2 ^ {4k}}} (z in mathbb {Z})} 1 π = ∑ k = 0 ∞ ( 2 C k − 1 ) 2 − 1 k + 1 2 2 4 k { displaystyle { frac {1} { pi}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} {(2C_ {k-1})} ^ {2} { frac {-1k + { frac {1} {2}}} {2 ^ {4k}}}} 1 π = ∑ k = 0 ∞ ( 2 C k − 1 ) 2 0 k + 1 4 2 4 k { displaystyle { frac {1} { pi}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} {(2C_ {k-1})} ^ {2} { frac {0k + { frac {1} {4}}} {2 ^ {4k}}}} 1 π = ∑ k = 0 ∞ ( 2 C k − 1 ) 2 k 5 + 1 5 2 4 k { displaystyle { frac {1} { pi}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} {(2C_ {k-1})} ^ {2} { frac {{ frac { k} {5}} + { frac {1} {5}}} {2 ^ {4k}}}} 1 π = ∑ k = 0 ∞ ( 2 C k − 1 ) 2 k 3 + 1 6 2 4 k { displaystyle { frac {1} { pi}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} {(2C_ {k-1})} ^ {2} { frac {{ frac { k} {3}} + { frac {1} {6}}} {2 ^ {4k}}}} 1 π = ∑ k = 0 ∞ ( 2 C k − 1 ) 2 k 2 + 1 8 2 4 k { displaystyle { frac {1} { pi}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} {(2C_ {k-1})} ^ {2} { frac {{ frac { k} {2}} + { frac {1} {8}}} {2 ^ {4k}}}} 1 π = ∑ k = 0 ∞ ( 2 C k − 1 ) 2 2 k − 1 4 2 4 k { displaystyle { frac {1} { pi}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} {(2C_ {k-1})} ^ {2} { frac {2k - { frac {1} {4}}} {2 ^ {4k}}}} 1 π = ∑ k = 0 ∞ ( 2 C k − 1 ) 2 3 k − 1 2 2 4 k { displaystyle { frac {1} { pi}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} {(2C_ {k-1})} ^ {2} { frac {3k - { frac {1} {2}}} {2 ^ {4k}}}} 1 π = ∑ k = 0 ∞ ( 2 C k ) 2 k 16 + 1 16 2 4 k { displaystyle { frac {1} { pi}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} {(2C_ {k})} ^ {2} { frac {{ frac {k} {16}} + { frac {1} {16}}} {2 ^ {4k}}}} s posledním (komentáře v OEIS : A013709 Wallis - Lambertova řada pro řady 4 / Pi a Euler pro obvod elipsy.
Pomocí definice katalánských čísel s funkcí gama například první a poslední dají identitu
1 4 = ∑ k = 0 ∞ ( Γ ( 1 2 + k ) Γ ( 2 + k ) ) 2 ( 4 z k − ( 4 n − 3 ) z + 2 4 ( n − 2 ) + 2 ) ( z ∈ Z , n ≥ 2 , n ∈ N ) { displaystyle { frac {1} {4}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} { left ({ frac { Gamma ({ frac {1} {2}} + k )} { Gamma (2 + k)}} vpravo)} ^ {2} vlevo (4zk- (4n-3) z + 2 ^ {4 (n-2) +2} vpravo) (z v mathbb {Z}, n geq 2, n v mathbb {N})} ...
4 = ∑ k = 0 ∞ ( Γ ( 1 2 + k ) Γ ( 2 + k ) ) 2 ( k + 1 ) { displaystyle 4 = sum _ {k = 0} ^ { infty} { left ({ frac { Gamma ({ frac {1} {2}} + k)} { Gamma (2 + k )}} vpravo)} ^ {2} (k + 1)} Poslední je také ekvivalentní,
1 π = 1 4 ∑ k = 0 ∞ ( 2 k k ) 2 k + 1 1 2 4 k { displaystyle { frac {1} { pi}} = { frac {1} {4}} součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {{ binom {2k} {k }} ^ {2}} {k + 1}} , { frac {1} {2 ^ {4k}}}} a souvisí se skutečností, že
π = lim k → ∞ 2 4 k k ( 2 k k ) 2 { displaystyle pi = lim _ {k rightarrow infty} { frac {2 ^ {4k}} {k {2k vyberte k} ^ {2}}}} což je důsledek Stirlingova aproximace .
Viz také Reference ^ A b Chan, Heng Huat; Chan, Song Heng; Liu, Zhiguo (2004). „Dombova čísla a typová řada Ramanujan – Sato pro 1 / π ". Pokroky v matematice . 186 (2): 396–410. doi :10.1016 / j.aim.2003.07.012 . ^ A b C Almkvist, Gert; Guillera, Jesus (2013). „Série jako Ramanujan – Sato“. In Borwein, J .; Shparlinski, I .; Zudilin, W. (eds.). Teorie čísel a související pole . Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. svazek 43. New York: Springer. str. 55–74. doi :10.1007/978-1-4614-6642-0_2 . ISBN 978-1-4614-6641-3 S2CID 44875082 . ^ A b C Chan, H. H .; Cooper, S. (2012). „Racionální analogy Ramanujanovy řady pro 1 / π " (PDF) . Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . 153 (2): 361–383. doi :10.1017 / S0305004112000254 . S2CID 76656590 . ^ Almkvist, G. (2012). "Některé domnělé vzorce pro 1 / π pocházející z polytopů, povrchů K3 a Moonshine ". arXiv :1211.6563 ^ Ramanujan, S. (1914). "Modulární rovnice a aproximace do π ". Kvart. J. Math . Oxford. 45 . ^ Chan; Tanigawa; Yang; Zudilin (2011). „Nové analogy Clausenových identit vyplývající z teorie modulárních forem“ . Pokroky v matematice . 228 (2): 1294–1314. doi :10.1016 / j.aim.2011.06.011 ^ A b Sato, T. (2002). "Apéryho čísla a Ramanujanova řada pro 1 / π". Abstrakt přednášky prezentované na výročním zasedání Japonské matematické společnosti . ^ Chan, H .; Verrill, H. (2009). „Apéryho čísla, Almkvistova – Zudilinova čísla a nová řada pro 1 / π“ . Dopisy o matematickém výzkumu . 16 (3): 405–420. doi :10.4310 / MRL.2009.v16.n3.a3 ^ A b Cooper, S. (2012). "Sporadické sekvence, modulární formy a nové řady pro 1 / π". Ramanujan Journal . 29 (1–3): 163–183. doi :10.1007 / s11139-011-9357-3 . S2CID 122870693 . ^ A b Zagier, D. (2000). „Stopy singulárních modulů“ (PDF) : 15–16. ^ Chudnovský, David V. ; Chudnovský, Gregory V. (1989), „Výpočet klasických konstant“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických 86 (21): 8178–8182, doi :10.1073 / pnas.86.21.8178 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 34831 , PMC 298242 PMID 16594075 ^ Yee, Alexander; Kondo, Shigeru (2011), 10 bilionů číslic pí: Případová studie sčítání hypergeometrické řady s vysokou přesností na vícejádrových systémech , Technická zpráva, Oddělení informatiky, University of Illinois, hdl :2142/28348 ^ Borwein, J. M. ; Borwein, P. B. ; Bailey, D. H. (1989). „Ramanujan, modulární rovnice a aproximace pí; Nebo jak vypočítat miliardu číslic pí“ (PDF) . Amer. Matematika. Měsíční . 96 (3): 201–219. doi :10.1080/00029890.1989.11972169 .^ Conway, J .; Norton, S. (1979). „Monstrous Moonshine“. Bulletin of London Mathematical Society . 11 (3): 308–339 [str. 319]. doi :10.1112 / blms / 11.3.308 . ^ S. Cooper, „Analogy úrovně 10 Ramanujanovy řady pro 1 / π“, Theorem 4.3, str.85, J. Ramanujan Math. Soc. 27, č. 1 (2012) ^ A b Cooper, S. (prosinec 2013). „Ramanujanovy teorie eliptických funkcí k alternativním základnám i mimo ně“ (PDF) . Konference Askey 80 . externí odkazy 
