Unitářský trik - Unitarian trick

v matematika, unitářský trik je zařízení v teorie reprezentace z Lež skupiny, představil Adolf Hurwitz  (1897 ) pro speciální lineární skupinu a Hermann Weyl pro obecné polojednoduché skupiny. Platí k prokázání, že teorie reprezentace nějaké skupiny G je kvalitativně kontrolován způsobem jiného kompaktní skupina K.. Důležitým příkladem je to, ve kterém G je komplex obecná lineární skupina, a K. the jednotná skupina působící na vektory stejné velikosti. Ze skutečnosti, že reprezentace K. jsou zcela redukovatelné totéž se uzavírá pro subjekty z G, alespoň v konečných rozměrech.

Vztah mezi G a K. toto spojení je tradičně vyjádřeno v pojmech, které Lež algebra z K. je skutečná podoba toho z G. V teorii algebraické skupiny, vztah lze také vyjádřit K. je hustá podmnožina z G, pro Zariski topologie.

Trik funguje pro redukční Lieovy skupiny, z nichž je důležitý případ napůl jednoduché Lie skupiny.

Weylova věta

Hlavní článek: Weylova věta o úplné redukovatelnosti

The úplná redukovatelnost konečně-rozměrných lineárních reprezentací kompaktních skupin nebo spojených napůl jednoduché Lie skupiny a komplexní napůl jednoduché Lie algebry někdy jde pod jménem Weylova věta.[1] Související výsledek, že univerzální kryt kompaktní polojednotkové Lieovy skupiny je také kompaktní, má také stejný název.[2]

Dějiny

Adolf Hurwitz ukázal, jak integrace přes a kompaktní Lieova skupina lze použít ke konstrukci invarianty, v případě unitárních skupin a kompaktní ortogonální skupiny. Issai Schur v roce 1924 ukázal, že tato technika byla použita k prokázání úplné redukovatelnosti reprezentací pro takové skupiny prostřednictvím konstrukce neměnného vnitřního produktu. Weyl rozšířil Schurovu metodu na složité polojednoduché Lieovy algebry tím, že ukázal, že mají kompaktní skutečná forma.[3]

Poznámky

  1. ^ „Completely reducible set“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
  2. ^ "Lež skupina, kompaktní", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
  3. ^ Nicolas Bourbaki, Lie skupiny a Lie algebry (1989), str. 426.

Reference

  • V. S. Varadarajan, Úvod do harmonické analýzy na polojednodušých Lieových skupinách (1999), str. 49.
  • Wulf Rossmann, Ležové skupiny: úvod do lineárních skupin (2006), s. 225.
  • Roe Goodman, Nolan R. Wallach, Symetrie, reprezentace a invarianty (2009), s. 171.
  • Hurwitz, A. (1897), „Über die Erzeugung der Invarienten durch Integration“, Nachrichten Ges. Wiss. Göttingen: 71–90