Operátor Reynolds - Reynolds operator

v dynamika tekutin a invariantní teorie, a Operátor Reynolds je matematický operátor daný zprůměrováním něčeho nad skupinovou akcí, která splňuje množinu vlastností zvaných Reynoldsova pravidla. V dynamice tekutin se s Reynoldsovými operátory často setkáváme v modelech turbulentní toky, zejména Reynoldsovy průměrované Navier-Stokesovy rovnice kde průměr je obvykle převzat tok tekutiny pod skupinou časových překladů. V invariantní teorii je průměr často převzat kompaktní skupinu nebo reduktivní algebraickou skupinu působící na komutativní algebru, jako je kruh polynomů. Reynoldsovy operátory zavedly do dynamiky tekutin Osbourne Reynolds  (1895 ) a pojmenoval J. Kampé de Fériet  (1934, 1935, 1949 ).

Definice

Reynoldsovy operátory se používají v dynamice tekutin, funkční analýze a invariantní teorii a notace a definice v těchto oblastech se mírně liší. Reynoldsův operátor působící na φ je někdy označován R(φ), P(φ), ρ(φ),〈φ〉 Nebo φ. Reynoldsovy operátory jsou obvykle lineární operátory působící na nějakou algebru funkcí, které uspokojují identitu

R(R(φ)ψ) = R(φ)R(ψ) pro všechny φ, ψ

a někdy i některé další podmínky, například dojíždění za různými skupinovými akcemi.

Invariantní teorie

V invariantní teorii Reynoldsův operátor R je obvykle uspokojivý lineární operátor

R(R(φ)ψ) = R(φ)R(ψ) pro všechny φ, ψ

a

R(1) = 1.

Společně tyto podmínky naznačují, že R je idempotentní: R² = R. Operátor Reynolds také obvykle dojíždí s nějakou skupinovou akcí a promítá se na neměnné prvky této skupinové akce.

Funkční analýza

Ve funkční analýze je Reynoldsův operátor lineární operátor R působící na nějakou algebru funkcí φ, uspokojující Reynoldsova identita

R(φψ) = R(φ)R(ψ) + R((φ − R(φ))(ψ − R(ψ))) pro všechny φ, ψ

Operátor R se nazývá operátor průměrování pokud je lineární a vyhovuje

R(R(φ)ψ) = R(φ)R(ψ) pro všechny φ, ψ.

Li R(R(φ)) = R(φ) pro všechny φ pak R je průměrujícím operátorem právě tehdy, pokud se jedná o Reynoldsův operátor. Někdy R(R(φ)) = R(φ) Do definice operátorů Reynolds je přidána podmínka.

Dynamika tekutin

Nechat ${ displaystyle phi}$ a ${ displaystyle psi}$ být dvě náhodné proměnné a ${ displaystyle a}$ být libovolná konstanta. Pak vlastnosti uspokojené operátory Reynoldse, pro operátora ${ displaystyle langle rangle,}$ zahrnout linearitu a vlastnost průměrování:

${ displaystyle langle phi + psi rangle = langle phi rangle + langle psi rangle, ,}$

${ displaystyle langle a phi rangle = a langle phi rangle, ,}$

${ Displaystyle langle langle phi rangle psi rangle = langle phi rangle langle psi rangle, ,}$ z čehož vyplývá ${ displaystyle langle langle phi rangle rangle = langle phi rangle. ,}$

Kromě toho se předpokládá, že operátor Reynolds dojíždí s překlady v prostoru a čase:

${ displaystyle left langle { frac { částečné phi} { částečné t}} pravé rangle = { frac { částečné langle phi rangle} { částečné t}}, qquad levá langle { frac { částečná phi} { částečná x}} pravá rangle = { frac { částečná langle phi rangle} { částečná x}},}$

${ displaystyle left langle int phi ({ boldsymbol {x}}, t) , d { boldsymbol {x}} , dt right rangle = int langle phi ({ boldsymbol {x}}, t) rangle , d { boldsymbol {x}} , dt.}$

Každý operátor splňující tyto vlastnosti je operátorem Reynolds.^[1]

Příklady

Reynoldsovy operátory jsou často dány promítáním do neměnného podprostoru skupinové akce.

• „Reynoldsův operátor“, kterého zvažuje Reynolds (1895) byla v podstatě projekce toku tekutiny do „průměrného“ toku tekutiny, což lze považovat za projekci časově neměnných toků. Zde je skupinová akce dána akcí skupiny časových překladů.
• Předpokládejme to G je reduktivní algebraická skupina nebo a kompaktní skupina a PROTI je konečně-dimenzionální reprezentace G. Pak G působí také na symetrickou algebru SV polynomů. Operátor Reynolds R je G-invariantní projekce z SV do podřetězce SV^G prvků opravených G.

Reference

• Kampé de Fériet, J. (1934), La Science Aérienne, 3: 9–34 Chybějící nebo prázdný | název = (Pomoc)
• Kampé de Fériet, J. (1935), La Science Aérienne, 4: 12–52 Chybějící nebo prázdný | název = (Pomoc)
• Kampé de Fériet, J. (1949), „Sur un problème d'algèbre abstraite posé par la définition de la moyenne dans la théorie de la turbulence“, Annales de la Société Scientifique de Bruxelles. Série I. Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques, 63: 165–180, ISSN  0037-959X, PAN  0032718
• Reynolds, O. (1895), „K dynamické teorii nestlačitelných viskózních tekutin a stanovení kritéria“ (PDF), Filozofické transakce královské společnosti A, 186: 123–164, Bibcode:1895RSPTA.186..123R, doi:10.1098 / rsta.1895.0004, JSTOR  90643
• Rota, Gian-Carlo (2003), Gian-Carlo Rota o analýze a pravděpodobnosti, Současní matematici, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN  978-0-8176-4275-4, PAN  1944526 Přetiskne několik Rotových článků o operátorech Reynoldse s komentářem.
• Rota, Gian-Carlo (1964), „Reynolds operátoři“, Proc. Symposy. Appl. Matematika., XVI„Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., Str. 70–83, PAN  0161140
• Sturmfels, Bernd (1993), Algoritmy v invariantní teorii, Texty a monografie v symbolickém výpočtu, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-7091-4368-1, ISBN  978-3-211-82445-0, PAN  1255980