Symbolická metoda - Symbolic method

v matematika, symbolická metoda v invariantní teorie je algoritmus vyvinutý uživatelem Arthur Cayley  (1846 ), Siegfried Heinrich Aronhold  (1858 ), Alfred Clebsch  (1861 ), a Paul Gordan  (1887 ) v 19. století pro výpočetní techniku invarianty z algebraické tvary. Je založen na zacházení s formou, jako by se jednalo o mocnost stupně jedna, což odpovídá vložení symetrické síly vektorového prostoru do symetrických prvků tenzorový produkt jeho kopií.

Symbolická notace

Symbolická metoda používá kompaktní, ale poněkud matoucí a záhadnou notaci pro invarianty, v závislosti na zavedení nových symbolů A, b, C, ... (od kterého dostává název symbolická metoda) se zjevně protichůdnými vlastnostmi.

Příklad: diskriminátor binární kvadratické formy

Tyto symboly lze vysvětlit následujícím příkladem z (Gordan 1887, v. 2, str. 1-3). Předpokládejme to

${ displaystyle displaystyle f (x) = A_ {0} x_ {1} ^ {2} + 2A_ {1} x_ {1} x_ {2} + A_ {2} x_ {2} ^ {2}}$

je binární kvadratická forma s invariantem daným diskriminačním

${ displaystyle displaystyle Delta = A_ {0} A_ {2} -A_ {1} ^ {2}.}$

Symbolické znázornění diskriminujícího je

${ displaystyle displaystyle 2 Delta = (ab) ^ {2}}$

kde A a b jsou symboly. Význam výrazu (ab)² je následující. Nejprve, (ab) je zkratková forma pro determinant matice, jejíž řádky jsou A₁, A₂ a b₁, b₂, tak

${ displaystyle displaystyle (ab) = a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}.}$

Srovnáme to

${ displaystyle displaystyle (ab) ^ {2} = a_ {1} ^ {2} b_ {2} ^ {2} -2a_ {1} a_ {2} b_ {1} b_ {2} + a_ {2 } ^ {2} b_ {1} ^ {2}.}$

Dále to předstíráme

${ displaystyle displaystyle f (x) = (a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2}) ^ {2} = (b_ {1} x_ {1} + b_ {2} x_ { 2}) ^ {2}}$

aby

${ displaystyle displaystyle A_ {i} = a_ {1} ^ {2-i} a_ {2} ^ {i} = b_ {1} ^ {2-i} b_ {2} ^ {i}}$

a ignorujeme skutečnost, že to zřejmě nemá smysl, pokud F není mocninou lineárního tvaru. Nahrazení těchto hodnot dává

${ displaystyle displaystyle (ab) ^ {2} = A_ {2} A_ {0} -2A_ {1} A_ {1} + A_ {0} A_ {2} = 2 Delta.}$

Vyšší stupně

Obecněji, pokud

${ displaystyle displaystyle f (x) = A_ {0} x_ {1} ^ {n} + { binom {n} {1}} A_ {1} x_ {1} ^ {n-1} x_ {2 } + cdots + A_ {n} x_ {2} ^ {n}}$

je binární forma vyššího stupně, pak se zavádějí nové proměnné A₁, A₂, b₁, b₂, C₁, C₂s vlastnostmi

${ displaystyle f (x) = (a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2}) ^ {n} = (b_ {1} x_ {1} + b_ {2} x_ {2} ) ^ {n} = (c_ {1} x_ {1} + c_ {2} x_ {2}) ^ {n} = cdots.}$

To znamená, že následující dva vektorové prostory jsou přirozeně izomorfní:

• Vektorový prostor homogenních polynomů v A₀,...A_n stupně m
• Vektorový prostor polynomů ve 2m proměnné A₁, A₂, b₁, b₂, C₁, C₂, ... které mají titul n v každém z m páry proměnných (A₁, A₂), (b₁, b₂), (C₁, C₂), ... a jsou symetrické pod permutacemi m symboly A, b, ....,

Izomorfismus je dán mapováním A^n−j
₁A^j
₂, b^n−j
₁b^j
₂, .... až A_j. Toto mapování nezachovává produkty polynomů.

Více proměnných

Rozšíření do formuláře F ve více než dvou proměnných X₁, X₂,X₃, ... je podobný: jeden zavádí symboly A₁, A₂,A₃ a tak dále s vlastnostmi

${ displaystyle f (x) = (a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + a_ {3} x_ {3} + cdots) ^ {n} = (b_ {1} x_ {1} + b_ {2} x_ {2} + b_ {3} x_ {3} + cdots) ^ {n} = (c_ {1} x_ {1} + c_ {2} x_ {2} + c_ {3} x_ {3} + cdots) ^ {n} = cdots.}$

Symetrické produkty

Poměrně záhadný formalismus symbolické metody odpovídá vložení symetrického součinu Sⁿ(PROTI) vektorového prostoru PROTI do tenzorového produktu o n kopie PROTI, jako prvky zachované působením symetrické skupiny. Ve skutečnosti se to děje dvakrát, protože invarianty stupně n kvantového stupně m jsou neměnné prvky SⁿS^m(PROTI), který je vložen do tenzorového produktu mn kopie PROTI, jako prvky neměnné pod produktem věnce dvou symetrických skupin. Závorky symbolické metody jsou skutečně invariantní lineární formy na tomto tenzorovém součinu, které dávají invarianty SⁿS^m(PROTI) omezením.

Viz také

• Pupeční kalkul

Reference

• Aronhold, Siegfried Heinrich (1858), „Theorie der homogenen Functionen dritten Grades von drei Veränderlichen.“, Journal für die reine und angewandte Mathematik (v němčině), 1858 (55): 97–191, doi:10,1515 / crll.1858.55.97, ISSN  0075-4102
• Cayley, Arthur (1846), „Na lineárních transformacích“, Cambridge a Dublin Mathematical Journal: 104–122
• Clebsch, A. (1861), „Ueber symbolische Darstellung algebraischer Formen“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině), 1861 (59): 1–62, doi:10.1515 / crll.1861.59.1, ISSN  0075-4102
• Dieudonné, Jean; Carrell, James B. (1970), „Invariantní teorie, stará a nová“, Pokroky v matematice, 4: 1–80, doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0^{[mrtvý odkaz ]}, strany 32–37, „Invariants of n-ary formy: symbolická metoda. Přetištěno jako Dieudonné, Jean; Carrell, James B. (1971), Invariantní teorie, stará i nováAkademický tisk, ISBN  0-12-215540-8
• Dolgachev, Igor (2003), Přednášky o invariantní teorii, Série přednášek London Mathematical Society, 296, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511615436, ISBN  978-0-521-52548-0, PAN  2004511
• Gordan, Paul (1887), Kerschensteiner, Georg (ed.), Vorlesungen über Invariantentheorie (2. vyd.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN  978-0-8284-0328-3, PAN  0917266
• Grace, John Hilton; Mladý, Alfrede (1903), Algebra invariants, Cambridge University Press
• Hilbert, David (1993) [1897], Teorie algebraických invariants, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-44457-6, PAN  1266168
• Koh, Sebastian S., ed. (1987), Neměnná teoriePřednášky z matematiky, 1278, ISBN  3-540-18360-4
• Kung, Joseph P. S .; Rota, Gian-Carlo (1984), „Invariantní teorie binárních forem“, Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 10 (1): 27–85, doi:10.1090 / S0273-0979-1984-15188-7, ISSN  0002-9904, PAN  0722856