Hilberts devatenáctý problém - Hilberts nineteenth problem - Wikipedia

Hilbertův devatenáctý problém je jedním z 23 Hilbertovy problémy, uvedený v seznamu sestaveném v roce 1900 uživatelem David Hilbert.^[1] Ptá se, zda řešení pravidelných problémů v variačním počtu jsou vždy analytický.^[2] Neformálně a možná méně přímo, protože Hilbertův koncept „pravidelný variační problém"identifikuje přesně a variační problém jehož Euler-Lagrangeova rovnice je eliptická parciální diferenciální rovnice s analytickými koeficienty,^[3] Hilbertův devatenáctý problém, navzdory svému zdánlivě technickému vyjádření, se jednoduše ptá, zda v této třídě parciální diferenciální rovnice, jakákoli funkce řešení dědí z řešené rovnice relativně jednoduchou a dobře srozumitelnou strukturu. Hilbertův devatenáctý problém vyřešil nezávisle na konci 50. let Ennio De Giorgi a John Forbes Nash, Jr..

Dějiny

Počátky problému

Eine der begrifflich merkwürdigsten Thatsachen in den Elementen der Theorie der analytischen Funktionen erblicke ich darin, daß es Partielle Differentialgleichungen giebt, deren Integrale sämtlich notwendig analytische Funktionen der unabhängigen Variabeln sind, zemře také, kurz^[4]

— David Hilbert, (Hilbert 1900, str. 288).

David Hilbert ve svém projevu na druhém místě představil devatenáctý Hilbertův problém Mezinárodní kongres matematiků.^[5] V (Hilbert 1900, str. 288) uvádí, že podle jeho názoru je jedním z nejpozoruhodnějších faktů teorie analytických funkcí to, že existují třídy parciálních diferenciálních rovnic, které připouštějí pouze takové funkce jako řešení, uvádějící Laplaceova rovnice, Liouvilleova rovnice,^[6] the minimální rovnice povrchu a třída lineárních parciálních diferenciálních rovnic studovaných uživatelem Émile Picard jako příklady.^[7] Poté si všímá skutečnosti, že většina parciálních diferenciálních rovnic sdílejících tuto vlastnost je Euler-Lagrangeova rovnice dobře definovaného druhu variačního problému s následujícími třemi vlastnostmi:^[8]

(1)     ${ displaystyle { iint F (p, q, z; x, y) dxdy} = { text {minimum}} qquad left [{ frac { parciální z} { parciální x}} = p quad; quad { frac { parciální z} { parciální y}} = q doprava]}$,

(2)     ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} F} { částečné ^ {2} p}} cdot { frac { částečné ^ {2} F} { částečné ^ {2} q}} - left ({ frac { částečné ^ {2} F} {{ částečné p} { částečné q}}} pravé) ^ {2}> 0}$,

(3)      F je analytickou funkcí všech jejích argumentů p, q, z, X a y.

Hilbert nazývá tento druh variačního problému „pravidelný variační problém":^[9] vlastnictví (1) znamená, že takový druh variačních problémů je minimální problémy, vlastnictví (2) je podmínka elipticity na Euler-Lagrangeových rovnicích spojených s daným funkční, zatímco majetek (3) je jednoduchý předpoklad pravidelnosti funkce F.^[10] Poté, co určil třídu problémů, se kterými se musí vypořádat, položí následující otázku: - "... má každá Lagrangeova parciální diferenciální rovnice problému s pravidelnou variací tu vlastnost, že připouští výhradně analytické integrály?"^[11] a ptá se dále, zda je tomu tak, i když je nutné převzít funkci, jak se to stane u Dirichletova problému na potenciální funkce, hraniční hodnoty, které jsou spojité, ale nejsou analytické.^[8]

Cesta k úplnému řešení

Hilbert uvedl svůj devatenáctý problém jako a problém pravidelnosti pro třídu eliptických parciálních diferenciálních rovnic s analytickými koeficienty,^[8] proto první snahy výzkumníků, kteří se to snažili vyřešit, směřovaly ke studiu pravidelnosti klasická řešení pro rovnice patřící do této třídy. Pro C 3  řešení Hilbertův problém byl kladně zodpovězen Sergej Bernstein  (1904 ) ve své práci: ukázal to C 3  řešení nelineárních eliptických analytických rovnic ve 2 proměnných jsou analytická. Bernsteinův výsledek byl v průběhu let vylepšován několika autory, jako např Petrowsky (1939), kteří snížili požadavky na odlišitelnost řešení potřebného k prokázání, že je analytické. Na druhou stranu přímé metody v variačním počtu ukázaly existenci řešení s velmi slabými vlastnostmi diferenciace. Po mnoho let mezi těmito výsledky byla mezera: bylo známo, že řešení, která by bylo možné postavit, měla čtvercové integrovatelné druhé deriváty, což nebylo dost silné na to, aby se mohly vložit do mechanismu, který dokázal, že jsou analytické, což vyžadovalo kontinuitu prvních derivací . Tuto mezeru vyplnil nezávisle Ennio De Giorgi  (1956, 1957 ), a John Forbes Nash  (1957, 1958 ). Byli schopni ukázat, že řešení měla první deriváty, které byly Hölder kontinuální, což podle předchozích výsledků naznačovalo, že řešení jsou analytická, kdykoli má diferenciální rovnice analytické koeficienty, čímž je dokončeno řešení Hilbertovy devatenácté úlohy.

Protiklady k různým zevšeobecněním problému

Kladná odpověď na Hilbertovu devatenáctou úlohu, kterou dali Ennio De Giorgi a John Forbes Nash, vyvolala otázku, zda stejný závěr platí i pro Euler-lagrangeovy rovnice obecnějších funkcionáři: na konci 60. let, Maz'ya (1968),^[12] De Giorgi (1968) a Giusti & Miranda (1968) postaveno samostatně několik protiklady,^[13] což ukazuje, že obecně neexistuje naděje na prokázání takového výsledku pravidelnosti bez přidání dalších hypotéz.

Přesně, Maz'ya (1968) dal několik protikladů zahrnujících jedinou eliptickou rovnici řádu větší než dva s analytickými koeficienty:^[14] pro odborníky vzbudila senzace skutečnost, že takový druh rovnic může mít neanalytická a dokonce nehladká řešení.^[15]

De Giorgi (1968) a Giusti & Miranda (1968) poskytl protiklady ukazující, že v případě, že řešení má vektorovou hodnotu spíše než skalární, nemusí být analytické: příklad De Giorgiho sestává z eliptického systému s omezenými koeficienty, zatímco Giusti a Miranda mají analytické koeficienty .^[16] Později Nečas (1977) poskytl další, propracovanější příklady problému s vektorovou hodnotou.^[17]

De Giorgiho věta

Klíčová věta prokázaná De Giorgi je apriorní odhad s uvedením, že pokud u je řešení vhodné lineární druhého řádu striktně eliptické PDE formy

${ displaystyle D_ {i} (a ^ {ij} (x) , D_ {j} u) = 0}$

a ${ displaystyle u}$ má čtverečně integrovatelné první deriváty, pak ${ displaystyle u}$ je Hölder kontinuální.

Aplikace De Giorgiho věty na Hilbertův problém

Hilbertův problém se ptá, zda minimalizátory ${ displaystyle w}$ energetické funkce, jako je

${ displaystyle int _ {U} L (Dw) , mathrm {d} x}$

jsou analytické. Tady ${ displaystyle w}$ je funkce na nějaké kompaktní sadě ${ displaystyle U}$ z Rⁿ, ${ displaystyle Dw}$ je jeho spád vektor a ${ displaystyle L}$ je Lagrangeova, funkce derivátů ${ displaystyle w}$ který splňuje určité podmínky růstu, hladkosti a konvexnosti. Hladkost ${ displaystyle w}$ lze zobrazit pomocí De Giorgiho teorém následuje. The Euler-Lagrangeova rovnice pro tento variační problém je nelineární rovnice

${ displaystyle sum limity _ {i = 1} ^ {n} (L_ {p_ {i}} (Dw)) _ {x_ {i}} = 0}$

a rozlišovat to s ohledem na ${ displaystyle x_ {k}}$ dává

${ displaystyle sum limity _ {i = 1} ^ {n} (L_ {p_ {i} p_ {j}} (Dw) w_ {x_ {j} x_ {k}}) _ {x_ {i} } = 0}$

Tohle znamená tamto ${ displaystyle u = w_ {x_ {k}}}$ splňuje lineární rovnici

${ displaystyle D_ {i} (a ^ {ij} (x) D_ {j} u) = 0}$

s

${ displaystyle a ^ {ij} = L_ {p_ {i} p_ {j}} (Dw)}$

výsledkem De Giorgiho řešení w má Hölderovy spojité první derivace za předpokladu, že matice ${ displaystyle L_ {p_ {i} p_ {j}}}$ je omezený. Pokud tomu tak není, je zapotřebí další krok: je třeba prokázat, že řešení ${ displaystyle w}$ je Lipschitzův spojitý, tj. gradient ${ displaystyle Dw}$ je ${ displaystyle L ^ { infty}}$ funkce.

Jednou w je známo, že má Hölder kontinuální (n+1) první deriváty pro některé n ≥ 1, pak koeficienty A^ij mít Hölder nepřetržitý nth deriváty, takže Schauderova věta naznačuje, že (n+2) deriváty jsou také Hölderovy spojité, takže opakování tohoto nekonečně často ukazuje, že řešení w je hladký.

Nashova věta

Nash poskytl odhad kontinuity pro řešení parabolické rovnice

${ displaystyle D_ {i} (a ^ {ij} (x) D_ {j} u) = D_ {t} (u)}$

kde u je omezená funkce X₁,...,X_n, t definováno pro t ≥ 0. Z jeho odhadu dokázal Nash odvodit odhad spojitosti pro řešení eliptické rovnice

${ displaystyle D_ {i} (a ^ {ij} (x) D_ {j} u) = 0}$ zvážením zvláštního případu, kdy u nezávisí na t.

Poznámky

Reference

• Bernstein, S. (1904), „Sur la nature analytique des solutions des équations aux dérivées partielles du second ordre“, Mathematische Annalen (francouzsky), 59 (1–2): 20–76, doi:10.1007 / BF01444746, ISSN  0025-5831, JFM  35.0354.01, S2CID  121487650.
• Bombieri, Enrico (1975), "Variační problémy a eliptické rovnice", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vancouver, B.C., 1974, Vol. 1, ICM Proceedings, Montreal: Canadian Mathematical Congress, s. 53–63, PAN  0509259, Zbl  0344.49002, archivovány z originál (PDF) dne 31. 12. 2013, vyvoláno 2011-01-29. Přetištěno Bombieri, Enrico (1976), "Variační problémy a eliptické rovnice", in Browder, Felix E. (vyd.), Matematický vývoj vyplývající z Hilbertových problémů, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, XXVIII, Providence, Rhode Island: Americká matematická společnost, str. 525–535, ISBN  978-0-8218-1428-4, PAN  0425740, Zbl  0347.35032.
• De Giorgi, Ennio (1956), „Sull'analiticità delle estremali degli integrali multipli“, Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, Serie VIII (v italštině), 20: 438–441, PAN  0082045, Zbl  0074.31503. "O analytičnosti extrémů více integrálů„(Anglický překlad názvu) je krátké výzkumné oznámení zveřejňující výsledky podrobně popsané dále v (De Giorgi 1957 ). Zatímco podle Kompletní seznam vědecké publikace De Giorgi (De Giorgi 2006, str. 6), anglický překlad by měl být zahrnut do (De Giorgi 2006 ), bohužel chybí.
• De Giorgi, Ennio (1957), „Sulla differentenziabilità e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari“, Memorie della Accademia delle Scienze di Torino. Classe di Scienze Fisiche, Matematicahe e Naturali, Serie III (v italštině), 3: 25–43, PAN  0093649, Zbl  0084.31901. Přeloženo do angličtiny jako „O rozlišitelnosti a analytičnosti extrémů pravidelných vícenásobných integrálů" v (De Giorgi 2006, s. 149–166).
• De Giorgi, Ennio (1968), „Un esempio di estremali prerušit na jeden problém variazionale di tipo ellittico“, Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Serie IV (v italštině), 1: 135–137, PAN  0227827, Zbl  0084.31901. Přeloženo do angličtiny jako „Příklad nespojitých extremů pro variační problém eliptického typu" v (De Giorgi 2006, s. 285–287).
• De Giorgi, Ennio (2006), Ambrosio, Luigi; Dal Maso, Gianni; Forti, Marco; Miranda, Mario; Spagnolo, Sergio (eds.), Vybrané příspěvky, Springer Collected Works in Mathematics, Berlín – New York: Springer-Verlag, str. x + 889, doi:10.1007/978-3-642-41496-1, ISBN  978-3-540-26169-8, PAN  2229237, Zbl  1096.01015.
• Giaquinta, Mariano (1983), Několik integrálů v variačním počtu a nelineárních eliptických systémech, Annals of Mathematics Studies, 105, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, s. Vii + 297, ISBN  978-0-691-08330-8, PAN  0717034, Zbl  0516.49003.
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001) [1998], Eliptické parciální diferenciální rovnice druhého řádu, Classics in Mathematics (přepracované 3. vydání z 2. vydání), Berlín - Heidelberg - New York: Springer Verlag, str. Xiv + 517, ISBN  978-3-540-41160-4, PAN  1814364, Zbl  1042.35002.
• Giusti, Enrico (1994), Metodi diretti nel calcolo delle variazioni, Monografie Matematiche (v italštině), Bologna: Unione Matematica Italiana, str. VI + 422, PAN  1707291, Zbl  0942.49002, přeloženo do angličtiny jako Giusti, Enrico (2003), Přímé metody v variačním počtu, River Edge, New Jersey - Londýn - Singapur: World Scientific Publishing, s. Viii + 403, doi:10.1142/9789812795557, ISBN  978-981-238-043-2, PAN  1962933, Zbl  1028.49001.
• Giusti, Enrico; Miranda, Mario (1968), „Un esempio di soluzioni prerušit na jeden problém minima relativní a integrační regolare del calcolo delle variazioni“, Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Serie IV (v italštině), 2: 1–8, PAN  0232265, Zbl  0155.44501.
• Gohberg, Izrael (1999), „Vladimir Maz'ya: Friend and Mathematician. Recollections“, Rossman, Jürgen; Takáč, Peter; Wildenhain, Günther (eds.), Sbírka výročí Maz'ya. Sv. 1: O práci Maz'ya ve funkční analýze, parciálních diferenciálních rovnicích a aplikacích. Na základě jednání přednesených na konferenci v německém Rostocku 31. srpna - 4. září 1998, Teorie operátora. Pokroky a aplikace, 109, Basilej: Birkhäuser Verlag, s. 1–5, ISBN  978-3-7643-6201-0, PAN  1747861, Zbl  0939.01018.
• Hedberg, Lars Inge (1999), „O Maz'yově práci v teorii potenciálu a teorii funkčních prostorů“, Rossmann, Jürgen; Takáč, Peter; Wildenhain, Günther (eds.), Sbírka výročí Maz'ya. Svazek 1: O práci Maz'ya ve funkční analýze, parciálních diferenciálních rovnicích a aplikacích, Teorie operátora: Pokroky a aplikace, 109, Basilej: Birkhäuser Verlag, s. 7–16, doi:10.1007/978-3-0348-8675-8_2, ISBN  978-3-0348-9726-6, PAN  1747862, Zbl  0939.31001
• Hilbert, David (1900), „Mathematische Probleme“, Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (v němčině) (3): 253–297, JFM  31.0068.03.
  - Přetištěno jako „Mathematische Probleme“, Archiv der Mathematik und Physik, dritte reihe (v němčině), 1: 44–63 a 253–297, 1900, JFM  32.0084.05.
  - Přeloženo do angličtiny uživatelem Mary Frances Winston Newson tak jako Hilbert, David (1902), „Mathematical Problems“, Bulletin of the American Mathematical Society, 8 (10): 437–479, doi:10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3, JFM  33.0976.07, PAN  1557926.
  - Přetištěno jako Hilbert, David (2000), „Mathematical Problems“, Bulletin of the American Mathematical Society Nová řada, 37 (4): 407–436, doi:10.1090 / S0273-0979-00-00881-8, PAN  1779412, Zbl  0979.01028.
  - do francouzštiny přeložil M. L. Laugel (s dodatky samotného Hilberta) jako Hilbert, David (1902), „Sur les problèmes futurs des Mathématiques“, v Duporcq, E. (ed.), Compte Rendu du Deuxième Congrès International des Mathématiciens, v Paříži od 6. do 12. července 1900. Procès-Verbaux et Communications, ICM Proceedings, Paris: Gauthier-Villars, s. 58–114, JFM  32.0084.06, archivovány z originál (PDF) dne 31. 12. 2013, vyvoláno 2013-12-28.
  - Existuje také dřívější (a kratší) pokračování Hilbertovy původní přednášky, přeložené do francouzštiny a publikované jako Hilbert, D. (1900), „Problèmes mathématiques“, L'Enseignement Mathématique (francouzsky), 2: 349–355, doi:10,5169 / těsnění-3575, JFM  31.0905.03.
• Kristensen, Jan; Mingione, Giuseppe (Říjen 2011). Náčrtky teorie pravidelnosti z 20. století a dílo Jindřicha Nečase (PDF) (Zpráva). Oxford: Oxfordské centrum pro nelineární PDE. s. 1–30. OxPDE-11/17. Archivovány od originál (PDF) dne 01.01.2014..
• Maz'ya, V. G. (1968), Примеры нерегулярных решений квазилинейных эллиптических уравнений с аналитическими коэффициента, Funktsional'nyĭ Analiz I Ego Prilozheniya (v Rusku), 2 (3): 53–57, PAN  0237946.
  - Přeloženo do angličtiny jako Maz'ya, V. G. (1968), „Příklady nepravidelných řešení kvazilineárních eliptických rovnic s analytickými koeficienty“, Funkční analýza a její aplikace, 2 (3): 230–234, doi:10.1007 / BF01076124, S2CID  121038871, Zbl  0179.43601.
• Mingione, Giuseppe (2006), „Pravidelnost minim: pozvání na odvrácenou stranu variačního počtu.“, Aplikace matematiky, 51 (4): 355–426, CiteSeerX  10.1.1.214.9183, doi:10.1007 / s10778-006-0110-3, hdl:10338.dmlcz / 134645, PAN  2291779, S2CID  16385131, Zbl  1164.49324.
• Morrey, Charles B. (1966), Několik integrálů v variačním počtu, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 130, Berlín – Heidelberg – New York: Springer-Verlag, s. Xii + 506, ISBN  978-3-540-69915-6, PAN  0202511, Zbl  0142.38701.
• Nash, Johne (1957), "Parabolické rovnice", Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 43 (8): 754–758, Bibcode:1957PNAS ... 43..754N, doi:10.1073 / pnas.43.8.754, ISSN  0027-8424, JSTOR  89599, PAN  0089986, PMC  528534, PMID  16590082, Zbl  0078.08704.
• Nash, Johne (1958), "Spojitost řešení parabolických a eliptických rovnic" (PDF), American Journal of Mathematics, 80 (4): 931–954, Bibcode:1958AmJM ... 80..931N, doi:10.2307/2372841, hdl:10338.dmlcz / 101876, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372841, PAN  0100158, Zbl  0096.06902.
• Nečas, Jindřich (1977), „Příklad nepravidelného řešení nelineárního eliptického systému s analytickými koeficienty a podmínkami pravidelnosti“, Kluge, Reinhard; Müller, Wolfdietrich (eds.), Teorie nelineárních operátorů: konstruktivní aspekty. Sborník ze čtvrté mezinárodní letní školy, která se konala v Berlíně v NDR ve dnech 22. až 26. září 1975, Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften der DDR, 1, Berlín: Akademie-Verlag, s. 197–206, PAN  0509483, Zbl  0372.35031.
• Petrowsky, I. G. (1939), „Sur l'analyticité des solutions des systèmes d'équations différentielles“, Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) (francouzsky), 5 (47): 3–70, JFM  65.0405.02, PAN  0001425, Zbl  0022.22601.