Hilberts patnáctý problém - Hilberts fifteenth problem - Wikipedia

Hilbertův patnáctý problém je jedním z 23 Hilbertovy problémy uvedené v oslavovaném seznamu sestaveném v roce 1900 uživatelem David Hilbert. Problém je dát Schubertův výčet na přísném základě.

Úvod

Schubertův počet je průniková teorie 19. století spolu s aplikacemi na enumerativní geometrii. Ospravedlnění tohoto počtu bylo obsahem 15. problému Hilberta a bylo také hlavním tématem algebraické geometrie 20. století.[1][2] V průběhu zajišťování základů teorie křižovatky Van der Waerden a Andre Weil[3][4] souvisí problém se stanovením cohomologického kruhu H * (G / P) vlajkového potrubí G / P, kde G je Lieova skupina a P aparabolická podskupina G.

Aditivní struktura kruhu H * (G / P) je dána základním větou Schubertova počtu[5][6][7] kvůli Ehresmannovi, Chevalleymu a Bernstein-Gel'fand-Gel'fandovi, když uvedli, že klasické Schubertovy třídy G / P tvoří volný základ cohomologického kruhu H * (G / P). Byl vyvolán zbývající problém rozšiřování produktů Schubertových tříd jako lineární kombinace základních prvků charakteristický problém,[8][9][3] Schubert a považoval jej za „hlavní teoretický problém enumerativní geometrie“.[10]

Zatímco enumerativní geometrie neměla během prvního století svého vývoje žádnou souvislost s fyzikou, od té doby se stala ústředním prvkem teorie strun.[11]

Problémové prohlášení

Celé původní prohlášení o problému je následující:

Problém spočívá v tom: Důsledně as přesným určením mezí jejich platnosti stanovit ta geometrická čísla, která Schubert zvláště určil na základě takzvaného principu zvláštního postavení nebo zachování čísla pomocí jím vyvinutý početní počet.

Přestože dnešní algebra v zásadě zaručuje možnost provádět procesy eliminace, pro důkaz vět o enumerativní geometrii je rozhodně zapotřebí více, a to skutečné provedení procesu eliminace v případě rovnice zvláštního tvaru takovým způsobem, že lze předvídat stupeň konečných rovnic a mnohost jejich řešení.[12]

Schubertův počet

Hlavní článek: Schubertův počet

Schubertův počet je pobočkou algebraická geometrie zavedené v devatenáctém století Hermann Schubert, za účelem řešení různých problémů s počítáním projektivní geometrie (část enumerativní geometrie ). Byl to například předchůdce několika modernějších teorií charakteristické třídy, a zejména jeho algoritmické aspekty jsou stále aktuální.

Objekty zavedené Schubertem jsou Schubertovy buňky, což jsou místně uzavřeno zapadá do a Grassmannian definované podmínkami výskyt lineárního podprostoru v projektivním prostoru s daným vlajka. Podrobnosti viz Odrůda Schubert.

Podle Van der Waerden[3] a Andre Weil[4] Hilbertův problém patnáct byl vyřešen. Zejména,

a) Schubertův charakteristický problém vyřešili Haibao Duan a Xuezhi Zhao;[13]

b) Speciální prezentace Chowových prstenců vlajkových potrubí vypracovali Borel, Marlin, Billey-Haiman a Duan-Zhao a kol. [13];

c) Hlavní výčty Schuberta[8] byly ověřeny Aluffi, Harris, Kleiman, Xambó a kol.[14][13]

Reference

  1. ^ Hilbert, David, „Mathematische Probleme“ Göttinger Nachrichten, (1900), str. 253-297, a v Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 a 213-237. Publikováno v anglickém překladu Dr. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437-479 [1] [2] doi:10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3 . [Úplnějším názvem časopisu Göttinger Nachrichten je Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]
  2. ^ F. Scottile, Schubertův počet, Springerova encyklopedie matematiky. [3]
  3. ^ A b C Waerden, B.L. van der (1930). „Topologische Begru ̈ndung des Kalku ̈ls der abz ̈ahlenden Geometrie“. Matematika. Ann. 102 (1): 337–362. doi:10.1007 / BF01782350. PAN  1512581.
  4. ^ A b Weil, A. (1962), Základy algebraické geometrie, Studentská matematická knihovna, 32Americká matematická společnost, PAN  0144898
  5. ^ Ehresmann, C. (1934). „Sur la topologie de certains espaces homogenes“ (PDF). Ann. matematiky. 35 (2): 396–443.
  6. ^ Chevalley, C. (1994). „Sur les D ́ecompositions Celluaires des Espaces G / B“. Proc. Symp. v čisté matematice. 56 (1): 1–26. doi:10.1090 / pspum / 056.1.
  7. ^ V. Bernstein; I.M. Gel'fand; S.I.Gel'fand (1973). "Schubertovy buňky a cohomologie prostorů G / P". Ruská matematika. Průzkumy. 28 (3): 1–26.
  8. ^ A b H. Schubert, Kalku ̈l der abz ̈ahlenden Geometrie, dotisk originálu z roku 1879. S úvodem Stevena L. Kleimana, Berlín, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, (1979)
  9. ^ H. Schubert, L ̈osung des Characteristiken-Problems fu linr lineare R umeaume be- liebiger Dimension, Mitteilungen der Mathematische Gesellschaft v Hamburku 1 (1886), 134-155.
  10. ^ S. Kleiman, Recenze knihy „Teorie průniku od W. Fultona“, Bull. AMS, sv. 12, č. 1 (1985), 137-143. url = https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183552346
  11. ^ Katz, Sheldon (2006), Enumerativní geometrie a teorie strun, Studentská matematická knihovna, 32, Americká matematická společnost
  12. ^ Hilbert, David, „Mathematische Probleme“ Göttinger Nachrichten, (1900), str. 253-297, a v Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 a 213-237. Publikováno v anglickém překladu Dr. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437-479 [4] [5] doi:10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3 . [Úplnějším názvem časopisu Göttinger Nachrichten je Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]
  13. ^ A b C H. Duan; X. Zhao (2020). „K Schubertovu problému charakteristik v Schubertově kalkulu a jeho aplikacích v kombinatorice a teorii reprezentace (J. Hu et al. Eds.)“. Springer Proceedings in Mathemauics & Statistics. 332: 43–71. doi:10.1007/978-981-15-7451-1_4.
  14. ^ S. Kleiman, Teorie průniku a enumerativní geometrie: Dekáda v recenzi, Proc. Symp. Pure Math., 46: 2, Amer. Matematika. Soc. (1987), 321 až 370. url = https://www.ams.org/books/pspum/046.2/ doi = https://doi.org/10.1090/pspum/046.2
  • Kleiman, Steven L. (1976), „Problém 15: důsledné založení Schubertova výčtu“, Matematický vývoj vyplývající z Hilbertových problémů (Proc. Sympos. Pure Math., Northern Illinois Univ., De Kalb, Ill., 1974), Proc. Symposy. Čistá matematika., XXVIII„Providence, R. I .: American Mathematical Society, s. 445–482, PAN  0429938.
  • Manin, Ju. I. (1969), „O patnáctém problému Hilberta“, Hilbertovy problémy (rusky), Izdat. „Nauka“, Moskva, s. 175–181, PAN  0254047.
  • Pragacz, Piotr (1997), „Stav Hilbertovy patnácté úlohy v roce 1993“, Hilbertovy problémy (polsky) (Międzyzdroje, 1993), Varšava: Polsk. Akad. Nauk, str. 175–184, PAN  1632447.