Hilberts sedmnáctý problém - Hilberts seventeenth problem - Wikipedia

Hilbertův sedmnáctý problém je jedním z 23 Hilbertovy problémy uvedené v oslavovaném seznamu sestaveném v roce 1900 uživatelem David Hilbert. Týká se to vyjádření pozitivní určitý racionální funkce tak jako částky z kvocienty z čtverce. Původní otázka může být přeformulována jako:

  • Vzhledem k vícerozměrnému polynomu, který přebírá reálné pouze nezáporné hodnoty, lze jej vyjádřit jako součet čtverců racionálních funkcí?

Hilbertovu otázku lze omezit na homogenní polynomy sudého stupně, protože polynom lichého stupně mění znaménko, a homogenizace polynomu bere pouze nezáporné hodnoty tehdy a jen v případě, že totéž platí pro polynom.

Motivace

Hlavní článek: Polynomiální SOS

Formulace otázky bere v úvahu, že existují nezáporné polynomy, například[1]

které nelze představovat jako součet čtverců jiných polynomů. V roce 1888 Hilbert ukázal, že každý nezáporný homogenní polynom v n proměnné a stupeň 2d lze reprezentovat jako součet čtverců jiných polynomů právě tehdy, když (a)n = 2 nebo (b) 2d = 2 nebo (c) n = 3 a 2d = 4.[2] Hilbertův důkaz nevykazoval žádný explicitní protiklad: teprve v roce 1967 zkonstruoval Motzkin první explicitní protiklad.[3]

Následující tabulka shrnuje, ve kterých případech lze homogenní polynom (nebo polynom sudého stupně) představovat jako součet čtverců:

Homogenní polynom lze vyjádřit jako součet čtverců?2d (Stupeň)Polynom sudého stupně lze vyjádřit jako součet čtverců?2d (Stupeň)
24≥624≥6
n (Počet proměnných)1AnoAnoAnon (Počet proměnných)1AnoAnoAno
2AnoAnoAno2AnoAnoNe
3AnoAnoNe3AnoNeNe
≥4AnoNeNe≥4AnoNeNe

Řešení a zobecnění

Zvláštní případ n = 2 již Hilbert vyřešil v roce 1893.[4] Obecný problém byl kladně vyřešen v roce 1927 autorem Emil Artin,[5] pro pozitivní semidefinitní funkce nad reálnými nebo obecněji skutečně uzavřená pole. Algoritmické řešení bylo nalezeno uživatelem Charles Delzell v roce 1984.[6] Výsledek Albrecht Pfister[7] ukazuje, že pozitivní semidefinitní forma v n proměnné lze vyjádřit jako součet 2n čtverce.[8]

Dubois v roce 1967 ukázal, že odpověď je obecně negativní seřazená pole.[9] V tomto případě lze říci, že kladný polynom je součet vážených čtverců racionálních funkcí s kladnými koeficienty.[10]

Zobecnění případu matice (matice se vstupy polynomiálních funkcí, které jsou vždy kladné semidefinice, lze vyjádřit jako součet čtverců symetrických matic s položkami racionálních funkcí) dal Gondard, Ribenboim[11] a Procesi, Schacher,[12] s elementárním důkazem Hillara a Nie.[13]

Minimální počet čtvercových racionálních podmínek

Je otevřenou otázkou, jaké je nejmenší číslo

takový, že jakýkoli n-variantní, nezáporný polynom stupně d lze zapsat jako součet maximálně kvadratické racionální funkce nad reálemi.

Nejznámější výsledek (od roku 2008) je

kvůli Pfister v roce 1967.[7]

Ve složité analýze je hermitovský analog, který vyžaduje, aby čtverce byly čtvercovými normami holomorfních zobrazení, je poněkud komplikovanější, ale platí pro pozitivní polynomy díky Quillenovi.[14] Výsledek Pfistera na druhou stranu selže v případě Hermitianů, to znamená, že neexistuje žádný limit na požadovaný počet čtverců, viz D'Angelo – Lebl.[15]

Viz také

Poznámky

  1. ^ Marie-Françoise Roy. Role Hilbertových problémů v reálné algebraické geometrii. Sborník z devátého zasedání EWM, Loccum, Německo 1999
  2. ^ Hilbert, David (září 1888). „Ueber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten“. Mathematische Annalen. 32 (3): 342–350. doi:10.1007 / bf01443605.
  3. ^ Motzkin, T. S. (1967). "Aritmeticko-geometrická nerovnost". V Shisha, Oved (ed.). Nerovnosti. Akademický tisk. str. 205–224.
  4. ^ Hilbert, David (prosinec 1893). „Über ternäre definite Formen“ (PDF). Acta Mathematica. 17 (1): 169–197. doi:10.1007 / bf02391990.
  5. ^ Artin, Emil (1927). „Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate“. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 5 (1): 100–115. doi:10.1007 / BF02952513.
  6. ^ Delzell, C.N. (1984). "Kontinuální, konstruktivní řešení 17. problému Hilberta". Inventiones Mathematicae. 76 (3): 365–384. Bibcode:1984InMat..76..365D. doi:10.1007 / BF01388465. Zbl  0547.12017.
  7. ^ A b Pfister, Albrecht (1967). „Zur Darstellung definiter Funktionen als Summe von Quadraten“. Inventiones Mathematicae (v němčině). 4 (4): 229–237. Bibcode:1967InMat ... 4..229P. doi:10.1007 / bf01425382. Zbl  0222.10022.
  8. ^ Lam (2005), s. 391
  9. ^ Dubois, D.W. (1967). „Poznámka k Artinovu řešení 17. problému Hilberta“. Býk. Dopoledne. Matematika. Soc. 73 (4): 540–541. doi:10.1090 / s0002-9904-1967-11736-1. Zbl  0164.04502.
  10. ^ Lorenz (2008), s. 16
  11. ^ Gondard, Danielle; Ribenboim, Paulo (1974). „Le 17e problème de Hilbert pour les matrices“. Býk. Sci. Matematika. (2). 98 (1): 49–56. PAN  0432613. Zbl  0298.12104.
  12. ^ Procesi, Claudio; Schacher, Murray (1976). „Nezaměnitelný skutečný Nullstellensatz a Hilbertův 17. problém“. Ann. matematiky. 2. 104 (3): 395–406. doi:10.2307/1970962. JSTOR  1970962. PAN  0432612. Zbl  0347.16010.
  13. ^ Hillar, Christopher J .; Nie, Jiawang (2008). "Elementární a konstruktivní řešení 17. problému Hilberta pro matice". Proc. Dopoledne. Matematika. Soc. 136 (1): 73–76. arXiv:matematika / 0610388. doi:10.1090 / s0002-9939-07-09068-5. Zbl  1126.12001.
  14. ^ Quillen, Daniel G. (1968). "K reprezentaci hermitovských forem jako součtu čtverců". Vymyslet. Matematika. 5 (4): 237–242. Bibcode:1968InMat ... 5..237Q. doi:10.1007 / bf01389773. Zbl  0198.35205.
  15. ^ D'Angelo, John P .; Lebl, Jiří (2012). „Pfisterova věta selže v případě Hermitiana“. Proc. Dopoledne. Matematika. Soc. 140 (4): 1151–1157. arXiv:1010.3215. doi:10.1090 / s0002-9939-2011-10841-4. Zbl  1309.12001.

Reference