Formulace elektromagnetických potenciálů
Hertzovy vektory, nebo Hertzovy vektorové potenciály, jsou alternativní formulací elektromagnetických potenciálů. Nejčastěji jsou uvedeny v učebnicích elektromagnetické teorie jako praktické problémy, které mají studenti řešit.[1] Existuje několik případů, kdy mají praktické využití, včetně antén[2] a vlnovody.[3] Ačkoli se někdy používají v takových praktických problémech, jsou stále zřídka zmiňovány ve většině kurzů elektromagnetické teorie, a když jsou, často nejsou praktikovány způsobem, který ukazuje, kdy mohou být užitečné nebo poskytují jednodušší metodu řešení problému než běžněji praktikované metody.[Citace je zapotřebí ]
Přehled
Hertzovy vektory mohou být výhodné při řešení elektrických a magnetických polí v určitých scénářích, protože poskytují alternativní způsob definování skalárního potenciálu
a vektorový potenciál
které se používají k vyhledání polí, jak se to běžně dělá.
 | | (1) |
 | | (2) |
Vezmeme-li v úvahu případy elektrické a magnetické polarizace zvlášť pro jednoduchost, každý z nich může být definován z hlediska skalárního a vektorového potenciálu, což umožňuje nalezení elektrického a magnetického pole. Pro případy pouhé elektrické polarizace se používají následující vztahy.
 | | (3) |
 | | (4) |
A pro případy výhradně magnetické polarizace jsou definovány jako:
 | | (5) |
 | | (6) |
Pro jejich použití je třeba definovat polarizace, aby bylo možné získat formu Hertzových vektorů. Zvažování případu jednoduché elektrické polarizace poskytuje cestu k nalezení této formy pomocí vlnové rovnice. Za předpokladu, že prostor je jednotný a nevodivý, a distribuce náboje a proudu jsou dány vztahem
, definovat vektor
takhle
a
. Pomocí těchto řešení pro
vektory je podobné tomu, jak fungují pomocná pole
a
lze nalézt, avšak zde Hertzovy vektory považují elektrickou a magnetickou polarizaci za zdroje. Hertzovy vektorové potenciály z těchto zdrojů,
pro elektrický Hertzův potenciál a
pro magnetický Hertzův potenciál lze odvodit pomocí vlnové rovnice pro každou z nich.
 | | (7) |
 | | (8) |
To se jednoduše provádí použitím operátoru d'Alembert
na oba vektory, pamatujte na to
, a výsledek je nenulový kvůli přítomným polarizacím. To poskytuje přímou cestu mezi snadno určitelnými vlastnostmi, jako je hustota proudu
na pole pomocí Hertzových vektorů a jejich vztahů ke skalárním a vektorovým potenciálům. Tyto vlnové rovnice poskytují následující řešení pro Hertzovy vektory:
![{ displaystyle mathbf { Pi} _ {e} = { frac {1} {4 pi epsilon}} int limity _ {V} { frac { left [ mathbf {P} left ( mathbf {r} ' right) right]} {| mathbf {r} - mathbf {r}' |}} d ^ {3} mathbf {r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71748731880622770092e4ea4eeb1f34fa5a9ff4) | | (9) |
![{ displaystyle mathbf { Pi} _ {m} = { frac { mu} {4 pi}} int limity _ {V} { frac { vlevo [ mathbf {M} vlevo ( mathbf {r} ' right) right]} {| mathbf {r} - mathbf {r}' |}} d ^ {3} mathbf {r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef9c373025c1ee8a3692d8beb14eac9b094fec5) | | (10) |
Kde
a
by měly být hodnoceny v retardovaném čase
.[1] Elektrické a magnetické pole lze poté najít pomocí Hertzových vektorů. Pro zjednodušení pozorování vztahu mezi polarizací, Hertzovými vektory a poli bude uvažován vždy pouze jeden zdroj polarizace (elektrický nebo magnetický). Při absenci magnetické polarizace se
vektor se používá k vyhledání polí takto:
 | | (11) |
 | | (12) |
Podobně v případě, že je přítomna pouze magnetická polarizace, jsou pole určena prostřednictvím dříve uvedených vztahů ke skalárním a vektorovým potenciálům.
 | | (13) |
 | | (14) |
V případě přítomnosti elektrické i magnetické polarizace se pole stávají
 | | (15) |
 | | (16) |
Příklady
Oscilační dipól
Zvažte jednorozměrný, rovnoměrně oscilační proud. Proud je zarovnán podél z- osa v určité délce vodivého materiálu l s oscilační frekvencí
. Definujeme vektor polarizace
![{ displaystyle mathbf {P} = (- Il / omega) cos left [ omega t right] _ {t '} mathbf { hat {z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5ddd67d26a9197da5a7aa7ae620d465e10e9f1) | | (17) |
Kde t se hodnotí v retardovaném čase
. Vložení tohoto do elektrické Hertzovy vektorové rovnice s vědomím, že délka l je malá a polarizace je v jedné dimenzi, lze ji aproximovat ve sférických souřadnicích následujícím způsobem
![{ displaystyle mathbf { Pi} _ {e} = { frac {1} {4 pi epsilon}} { frac { left (-Il / omega right) cos left [ omega t right] _ {t '}} {| mathbf {r} - mathbf {r}' |}} left [ cos left ( theta right) mathbf { hat {r}} - sin left ( theta right) mathbf { hat { theta}} right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9822fc2455308cdeda2612401c9850c9c97ac1ca) | | (18) |
Přímé pokračování v přijímání divergence se rychle stává chaotickým kvůli
jmenovatel. To lze snadno vyřešit pomocí Legendární polynomy pro rozšíření a
potenciál:
 | | (19) |
Je důležité si uvědomit, že ve výše uvedené rovnici
a
jsou vektory, zatímco
a
jsou délky těchto vektorů.
je úhel mezi vektory
a
. Hertzův vektor je nyní zapsán následovně.
![{ displaystyle mathbf { Pi} _ {e} = { frac { left (-Il / omega right) cos left [ omega t right] _ {t '}} {4 pi epsilon}} sum _ {l = 0} ^ { infty} { frac {r '^ {l}} {r ^ {l + 1}}} P_ {l} vlevo (cos gamma vpravo ) left [ cos left ( theta right) mathbf { hat {r}} - sin left ( theta right) mathbf { hat { theta}} right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6ea4d54f5146b35e7947d028a78c2335c80af6) | | (20) |
Vezmeme-li divergenci
![{ displaystyle nabla cdot mathbf { Pi} _ {e} = { frac { doleva (Il / omega doprava) cos doleva [ omega t doprava] _ {t '} cos left ( theta right)} {4 pi epsilon}} sum _ {l = 0} ^ { infty} { frac {r '^ {l} left (l + 1 right)} {r ^ {l + 2}}} P_ {l} left ( cos gamma right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ac1db7830cf959fcc1cd843688de200860d695) | | (21) |
Poté gradient výsledku
![{ displaystyle nabla left ( nabla cdot mathbf { Pi} _ {e} right) = { frac { left (-Il / omega right) cos left [ omega t right] _ {t '}} {4 pi epsilon}} sum _ {l = 0} ^ { infty} { frac {r' ^ {l} left (l + 1 right) P_ { l} left ( cos gamma right)} {r ^ {l + 3}}} left [ left (l + 2 right) cos left ( theta right) mathbf { hat {r}} + sin left ( theta right) mathbf { hat { theta}} right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109eab4e3c615695708c8ed00d7bfdecf4b9c813) | | (22) |
Konečně zjištění druhého dílčího s ohledem na čas
![{ displaystyle mu epsilon { frac { částečné ^ {2} mathbf { Pi} _ {e}} { částečné t ^ {2}}} = { frac { mu Il omega cos left [ omega t right] _ {t '}} {4 pi}} sum _ {l = 0} ^ { infty} { frac {r' ^ {l}} {r ^ {l +1}}} P_ {l} vlevo (cos gamma vpravo) vlevo [ cos vlevo ( theta vpravo) mathbf { hat {r}} - sin vlevo ( theta vpravo ) mathbf { hat { theta}} vpravo]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7de364d15530d82f53dff3431675662318e9ef) | | (23) |
Umožňuje vyhledání elektrického pole
![{ displaystyle mathbf {E} = nabla left ( nabla cdot mathbf { Pi} _ {e} right) - mu epsilon { frac { částečné ^ {2} mathbf { Pi} _ {e}} { částečné t ^ {2}}} = { frac {Il cos vlevo [ omega t vpravo] _ {t '}} {4 pi}} součet _ { l = 0} ^ { infty} { frac {r '^ {l} P_ {l} left ( cos left ( gamma right) right)} {r ^ {l + 1}}} left [ left ({ frac {- left (l + 1 right) left (l + 2 right)} {r ^ {2} epsilon omega}} - mu omega right) cos left ( theta right) mathbf { hat {r}} + left ({ frac {- left (l + 1 right)} {r ^ {2} epsilon omega}} + mu omega right) sin left ( theta right) mathbf { hat { theta}} right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad753232d570005896997868b98d45057fb286c3) | | (24) |
Simulace
Pomocí příslušných převodů na kartézské souřadnice lze toto pole simulovat ve 3D mřížce. Prohlížení roviny X-Y na počátku ukazuje pole se dvěma laloky v jedné rovině, kterou očekáváme od dipólu, a osciluje v čase. Obrázek níže ukazuje tvar tohoto pole a to, jak se polarita v čase obrátí v důsledku kosinového výrazu, avšak v současné době neukazuje změnu amplitudy v důsledku časově proměnlivé síly proudu. Bez ohledu na to jeho samotný tvar ukazuje účinnost použití elektrického Hertzova vektoru v tomto scénáři. Tento přístup je výrazně přímočařejší než hledání elektrického pole, pokud jde o náboje v nekonečně tenkém drátu, zejména proto, že se mění s časem. Toto je jen jeden z několika příkladů, kdy je použití Hertzových vektorů výhodné ve srovnání s běžnějšími metodami.
Elektrické pole způsobené dipólem indukovaným oscilačním proudem podél kolmice

osa. Pole se vyvíjí v čase, jak se polarita mění v důsledku kosinu, což způsobí přepnutí tmavé barvy na polovinu periody oscilace.
Proudová smyčka
Zvažte malou smyčku oblasti
nesoucí časově proměnný proud
. S proudovým tokem bude magnetické pole kolmé ke směru toku v důsledku pravidla pravé ruky. Vzhledem k tomu, že se toto pole generuje ve smyčce, očekává se, že pole bude vypadat podobně jako pole elektrického dipólu. To lze rychle dokázat pomocí Hertzových vektorů. Nejprve je magnetická polarizace určena jejím vztahem k magnetickému momentu
. Magnetický moment proudové smyčky je definován jako
, takže pokud smyčka leží v rovině x-y a má dříve definovaný časově proměnný proud, magnetický moment je
. Vkládání do
, a pak do rovnice (10), magnetický Hertzův vektor se nachází v jednoduché formě.
 | | (25) |
Stejně jako v příkladu elektrického dipólu lze použít legendy Polynomials ke zjednodušení derivací nezbytných k získání
a
. Elektrické pole je poté nalezeno skrz
 | | (26) |
Kvůli závislosti na
, je výrazně jednodušší vyjádřit Hertzův vektor ve sférických souřadnicích transformací z podešve
složkový vektor do
a
komponenty.
![{ displaystyle mathbf {E} = - { frac { částečné} { částečné t}} doleva ( nabla krát { frac { mu IA sin doleva ( omega t doprava)} { 4 pi}} sum _ {l = 0} ^ { infty} { frac {r '^ {l}} {r ^ {l + 1}}} P_ {l} left ( cos gamma right) left [ cos left ( theta right) mathbf { hat {r}} - sin left ( theta right) mathbf { hat { theta}} right] že jo)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8054bda295a50f2e43319ce43f0671258ada124d) | | (27) |
 | | (28) |
Simulace
Toto pole bylo simulováno pomocí Pythonu převedením sférické komponenty na komponenty xay. Výsledek je podle očekávání. V důsledku měnícího se proudu existuje časově závislé magnetické pole, které indukuje elektrické pole. Díky tvaru se pole jeví, jako by šlo o dipól.
Elektrické pole kolem proudové smyčky. Ukazuje tvar dipólu a rozdíl polarity lze vidět nad a pod smyčkou, jak se aktuální směr mění s časem.
Viz také
Reference
- ^ A b E.A. Essex, „Hertzovy vektorové potenciály elektromagnetické teorie“, American Journal of Physics 451099 (1977); doi: 10,1119 / 1,10955
- ^ J. Galejs, Antennas in Inhomogeneous Media, (Pregamon, Oxford, 1969).
- ^ H. R. L. Lamont, Wave Guides, (Metheun, London, 1963).