Grothendieckova nerovnost - Grothendieck inequality
v matematika, Grothendieckova nerovnost uvádí, že existuje univerzální konstanta s následující vlastností. Li Mi,j je n podle n (nemovitý nebo komplex ) matice s
pro všechna (reálná nebo komplexní) čísla si, tj absolutní hodnoty maximálně 1, pak
- ,
pro všechny vektory Si, Tj v jednotková koule B(H) (skutečného nebo komplexního) Hilbertův prostor Hkonstanta být nezávislý na n. Pro pevnou dimenzi prostoru Hilberta d, nejmenší konstanta, která splňuje tuto vlastnost pro všechny n podle n matice se nazývá a Grothendieckova konstanta a označil . Ve skutečnosti existují dvě Grothendieckovy konstanty, a , podle toho, zda se pracuje se skutečnými nebo komplexními čísly.[1]
Grothendieckova nerovnost a Grothendieckovy konstanty jsou pojmenovány podle Alexander Grothendieck, který prokázal existenci konstant v článku publikovaném v roce 1953.[2]
Hranice na konstantách
Sekvence a je snadno vidět, že rostou, a Grothendieckův výsledek uvádí, že jsou ohraničený,[2][3] tak mají limity.
S definováno jako [4] pak Grothendieck dokázal, že: .
Krivine (1979)[5] vylepšil výsledek prokázáním: , domnívajíce se, že horní mez je těsná. Tuto domněnku však vyvrátil Braverman a kol. (2011).[6]
Grothendieckova konstanta řádu d
Boris Tsirelson ukázal, že Grothendieckovy konstanty hrají zásadní roli v problému kvantová nelokalita: Tsirelson vázán jakékoli úplné korelace bipartitní zvonové nerovnosti pro kvantový systém dimenze d je ohraničen .[7][8]
Dolní hranice
Několik historických údajů o nejznámějších dolních mezích je shrnut v následující tabulce.
d | Grothendieck, 1953[2] | Krivine, 1979[5] | Davie, 1984[9] | Fishburn a kol., 1994[10] | Vértesi, 2008[11] | Briët et al., 2011[12] | Hua et al., 2015[13] | Diviánszky et al., 2017[14] |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | ≈ 1.41421 | |||||||
3 | 1.41724 | 1.41758 | 1.4359 | |||||
4 | 1.44521 | 1.44566 | 1.4841 | |||||
5 | ≈ 1.42857 | 1.46007 | 1.46112 | |||||
6 | 1.47017 | |||||||
7 | 1.46286 | 1.47583 | ||||||
8 | 1.47586 | 1.47972 | ||||||
9 | 1.48608 | |||||||
... | ||||||||
∞ | ≈ 1.57079 | 1.67696 |
Horní hranice
Několik historických údajů o nejznámějších horních mezích roku 2006 :
d | Grothendieck, 1953[2] | Rietz, 1974[15] | Krivine, 1979[5] | Braverman a kol., 2011[6] | Hirsch a kol., 2016[16] |
---|---|---|---|---|---|
2 | ≈ 1.41421 | ||||
3 | 1.5163 | 1.4644 | |||
4 | ≈ 1.5708 | ||||
... | |||||
8 | 1.6641 | ||||
... | |||||
∞ | ≈ 2.30130 | 2.261 | ≈ 1.78221 |
Viz také
Reference
- ^ Pisier, Gilles (Duben 2012), „Grothendieckova věta, minulost a současnost“, Bulletin of the American Mathematical Society, 49 (2): 237–323, arXiv:1101.4195, doi:10.1090 / S0273-0979-2011-01348-9.
- ^ A b C d Grothendieck, Alexander (1953), „Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques“, Bol. Soc. Rohož. Sao Paulo, 8: 1–79, PAN 0094682
- ^ Blei, Ron C. (1987), „Elementární důkaz Grothendieckovy nerovnosti“, Proceedings of the American Mathematical Society Americká matematická společnost, 100 (1): 58–60, doi:10.2307/2046119, ISSN 0002-9939, JSTOR 2046119, PAN 0883401
- ^ Finch, Steven R. (2003), Matematické konstanty, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-81805-6
- ^ A b C Krivine, J.-L. (1979), „Constantes de Grothendieck et fonctions de type positif sur les sphères“, Pokroky v matematice, 31 (1): 16–30, doi:10.1016/0001-8708(79)90017-3, ISSN 0001-8708, PAN 0521464
- ^ A b Braverman, Mark; Makarychev, Konstantin; Makarychev, Yury; Naor, Assaf (2011), „The Grothendieck Constant is Strictly Men than Krivine's Bound“, 52. výroční sympozium IEEE o základech informatiky (FOCS), str. 453–462, arXiv:1103.6161, doi:10.1109 / FOCS.2011.77
- ^ Boris Tsirelson (1987). „Kvantové analogy Bellových nerovností. Případ dvou prostorově oddělených domén.“ (PDF). Journal of Soviet Mathematics. 36 (4): 557–570. doi:10.1007 / BF01663472.
- ^ Acín, Antonio; Gisin, Nicolas; Toner, Benjamin (2006), „Grothendieckovy konstantní a lokální modely pro hlučné zapletené kvantové stavy“, Fyzický přehled A, 73 (6): 062105, arXiv:quant-ph / 0606138, Bibcode:2006PhRvA..73f2105A, doi:10.1103 / PhysRevA.73.062105
- ^ Davie, A. M. (1984), Nepublikovaný
- ^ Fishburn, P. C .; Reeds, J. A. (1994), „Bell Nerovnosti, Grothendieckova konstanta a kořen dva“, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 7 (1): 48–56, doi:10.1137 / S0895480191219350
- ^ Vértesi, Tamás (2008), „Efektivnější Bellovy nerovnosti pro státy Werner“, Fyzický přehled A, 78 (3): 032112, arXiv:0806.0096, Bibcode:2008PhRvA..78c2112V, doi:10.1103 / PhysRevA.78.032112
- ^ Briët, Jop; Buhrman, Harry; Toner, Ben (2011), „Zobecněná Grothendieckova nerovnost a nelokální korelace, které vyžadují vysoké zapletení“, Komunikace v matematické fyzice, 305 (3): 827, Bibcode:2011CMaPh.305..827B, doi:10.1007 / s00220-011-1280-3
- ^ Hua, Bobo; Li, Ming; Zhang, Tinggui; Zhou, Chunqin; Li-Jost, Xianqing; Fei, Shao-Ming (2015), „Směrem k Grothendieckovým konstantám a modelům LHV v kvantové mechanice“, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, Journal of Physics A, 48 (6): 065302, arXiv:1501.05507, Bibcode:2015JPhA ... 48f5302H, doi:10.1088/1751-8113/48/6/065302
- ^ Diviánszky, Péter; Bene, Erika; Vértesi, Tamás (2017), „Qutritský svědek z Grothendieckovy konstanty řádu čtyři“, Fyzický přehled A, 96 (1): 012113, arXiv:1707.04719, Bibcode:2017PhRvA..96a2113D, doi:10.1103 / PhysRevA.96.012113
- ^ Rietz, Ronald E. (1974), „Důkaz Grothendieckovy nerovnosti“, Israel Journal of Mathematics, 19 (3): 271–276, doi:10.1007 / BF02757725
- ^ Hirsch, Flavien; Quintino, Marco Túlio; Vértesi, Tamás; Navascués, Miguel; Brunner, Nicolas (2017), „Lepší lokální skryté proměnné modely pro dva qubitové Wernerovy státy a horní hranice Grothendieckovy konstanty“, Kvantové, 1: 3, arXiv:1609.06114, Bibcode:2016arXiv160906114H, doi:10.22331 / q-2017-04-25-3
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. „Grothendieckova konstanta“. MathWorld. (Poznámka: historická část zde není přesná.)