Banach – Mazur compactum - Banach–Mazur compactum - Wikipedia

V matematický studie funkční analýza, Vzdálenost Banach – Mazur je způsob, jak definovat a vzdálenost na scéně Q(n) z n-dimenzionální normované prostory. S touto vzdáleností je množina izometrie třídy n-dimenzionální normované prostory se stanou a kompaktní metrický prostor, nazvaný Banach – Mazur compactum.

Definice

Li X a Y jsou dva konečně-dimenzionální normované prostory se stejnou dimenzí, ať GL (X,Y) označují soubor všech lineárních izomorfismů T : X → Y. S || T || označujeme norma operátora takové lineární mapy - maximální faktor, o který "prodlužuje" vektory. Vzdálenost Banach – Mazur mezi X a Y je definováno

${ displaystyle delta (X, Y) = log { Bigl (} inf { | T | | T ^ {- 1} |: T v operatorname {GL} (X, Y ) } { Bigr)}.}$

Máme δ (X, Y) = 0, pokud a pouze pokud mezery X a Y jsou izometricky izomorfní. Vybaveno metrikou δ, prostor izometrických tříd n-dimenzionální normované prostory se stanou a kompaktní metrický prostor, nazvaný Banach – Mazur compactum.

Mnoho autorů dává přednost práci s multiplikativní vzdálenost Banach – Mazur

${ displaystyle d (X, Y): = mathrm {e} ^ { delta (X, Y)} = inf { | T | | T ^ {- 1} |: T v operatorname {GL} (X, Y) },}$

pro který d(X, Z) ≤ d(X, Y) d(Y, Z) a d(X, X) = 1.

Vlastnosti

Věta F. Johna na maximálním elipsoidu obsaženém v konvexním těle dává odhad:

${ displaystyle d (X, ell _ {n} ^ {2}) leq { sqrt {n}}, ,}$ ^[1]

kde ℓ_n² označuje Rⁿ s euklidovskou normou (viz článek na L^p mezery Z toho vyplývá, že d(X, Y) ≤ n pro všechny X, Y ∈ Q(n). U klasických prostorů však tato horní mez pro průměr Q(n) zdaleka není osloven. Například vzdálenost mezi ℓ_n¹ a ℓ_n^∞ je (pouze) objednávky n^1/2 (až do multiplikativní konstanty nezávislé na dimenzi n).

Hlavní úspěch ve směru odhadu průměru Q(n) je způsoben E. Gluskinem, který v roce 1981 dokázal, že (multiplikativní) průměr Banach – Mazurského kompaktu je níže ohraničen C n, pro některé univerzální C > 0.

Gluskinova metoda zavádí třídu náhodných symetrických polytopů P(ω) v Rⁿa normované prostory X(ω) mít P(ω) jako jednotková koule (vektorový prostor je Rⁿ a normou je měřidlo z P(ω)). Důkaz spočívá v prokázání, že požadovaný odhad je pravdivý s velkou pravděpodobností u dvou nezávislých kopií normovaného prostoru X(ω).

Q(2) je absolutní extenzor.^[2] Na druhou stranu, Q(2) není homeomorfní s a Hilbertova kostka.

Poznámky

Reference

• Giannopoulos, A.A. (2001) [1994], „Banach – Mazur compactum“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Gluskin, Efim D. (1981). „Průměr Minkowského kompaktu je zhruba stejný n (v Rusku)". Funkční. Anální. i Prilozhen. 15 (1): 72–73. PAN  0609798.
• Tomczak-Jaegermann, Nicole (1989). Vzdálenosti Banach-Mazura a ideály konečného trojrozměrného operátora. Pitmanovy monografie a průzkumy v čisté a aplikované matematice 38. Longman Scientific & Technical, Harlow; publikováno ve Spojených státech se společností John Wiley & Sons, Inc., New York. str. xii + 395. ISBN  0-582-01374-7. PAN  0993774.
• https://planetmath.org/BanachMazurCompactum
• Poznámka o vzdálenosti Banach-Mazura ke kostce
• Banach-Mazur compactum je Alexandroffovo zhutnění potrubí Hilbertovy krychle