Konstrukce Goldberg – Coxeter - Goldberg–Coxeter construction
The Konstrukce Goldberg – Coxeter nebo Provoz Goldberg – Coxeter (GC konstrukce nebo Provoz GC) je operace grafu definováno dne pravidelný polyedrické grafy s stupeň 3 nebo 4.[1][2] Platí také pro duální graf těchto grafů, tj. grafů s trojúhelníkovými nebo čtyřstrannými „plochami“. Konstrukci GC lze považovat za dělení ploch mnohostěnu s mřížkou trojúhelníkových, čtvercových nebo šestihranných mnohoúhelníků, které mohou být zkosené vzhledem k původní ploše: jedná se o rozšíření konceptů zavedených Goldbergova mnohostěna a geodetické mnohostěny. Konstrukce GC je primárně studována v organická chemie pro jeho aplikaci do fullereny,[1][2] ale bylo aplikováno na nanočástice,[3] počítačem podporovaný design,[4] pletení košíků,[5][6] a obecné studium teorie grafů a mnohostěn.[7]
Konstrukci Goldberg – Coxeter lze označit jako , kde je graf, na kterém se operuje, a jsou celá čísla, , a .
Dějiny
Michael Goldberg představil Goldbergův mnohostěn v roce 1937.[8] Buckminster Fuller vytvořil termín „geodetická kupole „ve 40. letech 20. století, i když z velké části udržoval matematiku za kopulemi obchodním tajemstvím.[9] Geodetické kopule jsou geometrickým dvojníkem (části) Goldbergova mnohostěnu: plnou geodetickou kupolu lze považovat za geodetický mnohostěn, duální na Goldbergův mnohostěn. V roce 1962 Donald Caspar a Aaron Klug publikoval článek o geometrii virové kapsidy které aplikovaly a rozšířily koncepty od Goldberga a Fullera.[10] H.S.M. Coxeter publikoval v roce 1971 článek pokrývající většinu stejných informací.[11] Caspar a Klug jako první zveřejnili nejobecnější správnou konstrukci geodetického mnohostěnu, díky čemuž byl název „Goldberg – Coxeterova konstrukce“ příkladem Stiglerův zákon eponymie.[12]
Objev Buckminsterfullerene v roce 1985 motivoval výzkum dalších molekul se strukturou Goldbergova mnohostěnu. Pojmy „Goldberg-Coxeterův fulleren“ a „Goldberg-Coxeterova konstrukce“ byly zavedeny Michel Deza v roce 2000.[13][14] Je to také poprvé, kdy byl zvažován případ 4. stupně.
Konstrukce
Tato část do značné míry navazuje na dva články Dezy a kol.[1][2]
Mistrovské polygony
n-normální | 3 | 4 |
---|---|---|
Doména | Eisenstein | Gaussian |
Spojené jednotka | ||
Norma | . | |
Hlavní mnohoúhelník |
Pravidelné mřížky nad složité letadlo lze použít k vytvoření „hlavních polygonů“. V geodetické kopulovité terminologii se jedná o „strukturu rozdělení“ nebo „hlavní polyhedrální trojúhelník“ (PPT). 4-pravidelný případ používá čtvercovou mřížku nad Gaussova celá čísla, a 3-regulární případ používá trojúhelníkovou mřížku nad Eisensteinova celá čísla. Pro větší pohodlí se používá alternativní parametrizace Eisensteinových celých čísel na základě šestého kořene jednoty místo třetího.[A] Obvyklá definice celých čísel Eisenstein používá prvek . Norma, , je definován jako čtverec absolutní hodnoty komplexního čísla. U 3 pravidelných grafů je tato norma T-číslo nebo triangulační číslo používá se ve virologii.
Hlavní polygon je rovnostranný trojúhelník nebo čtverec položený nad mřížkou. Tabulka vpravo uvádí vzorce pro vrcholy hlavních polygonů v komplexní rovině a v galerii níže je uveden (3,2) hlavní trojúhelník a čtverec. Aby bylo možné polygon popsat jediným komplexním číslem, je jeden vrchol fixován na 0. Existuje několik čísel, která mohou popsat stejný polygon: jedná se o spolupracovníci navzájem: pokud a jsou tedy společníci v Eisensteinech nebo v Gaussianech na celé číslo . Sada prvků, které jsou navzájem spolupracovníky, je třída ekvivalence a prvek každé třídy ekvivalence, která má a je normální forma.
(3,2) hlavní trojúhelník nad trojúhelníkovou mřížkou
(3,2) hlavní čtverec nad čtvercovou mřížkou
Hlavní polygony a operátor , lze klasifikovat následovně:
- Třída I:
- Třída II:
- Třída III: všechny ostatní. Operátoři třídy III existují v chirálních párech: je chirální pár .
Níže jsou tabulky hlavních trojúhelníků a čtverců. Třída I odpovídá prvnímu sloupci a třída II odpovídá úhlopříčce s mírně tmavším pozadím.
Hlavní polygony pro trojúhelníky
Hlavní trojúhelníky skrz (8,8) | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
1 | |||||||||
2 | |||||||||
3 | |||||||||
4 | |||||||||
5 | |||||||||
6 | |||||||||
7 | |||||||||
8 |
Master polygony pro čtverce
Hlavní čtverce až (8,8) | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
1 | |||||||||
2 | |||||||||
3 | |||||||||
4 | |||||||||
5 | |||||||||
6 | |||||||||
7 | |||||||||
8 |
Složení operací Goldberg – Coxeter odpovídá znásobení komplexních čísel. Kdyby jen (tj. řada operací vlevo produkuje graf izomorfní s grafem vpravo), pak pro 3-pravidelný graf je ve třídě ekvivalence , a pro 4-pravidelný graf je ve třídě ekvivalence . To má některé užitečné důsledky:
- Aplikace opakovaných operací Goldberg – Coxeter je komutativní a asociativní.
- Složitá konjugace prvku nebo odpovídá odrazu vytvořeného grafu.
- Vzhledem k tomu, Gaussian celá čísla a Euclidean celá čísla jsou obě Euklidovské domény, prvky těchto domén lze jednoznačně zapracovat do prvočísel. Proto má také smysl rozložit operátor Goldberg – Coxeter na sekvenci „hlavních“ operátorů Goldberg – Coxeter a tato sekvence je jedinečná (až do nového uspořádání).
Provádění konstrukce GC
Kroky provedení konstrukce GC jsou následující:
- Určete hlavní polygon na základě , , a
- Pokud pracujete na 3 nebo 4 pravidelném grafu (místo grafu s trojúhelníkovými / čtyřstrannými plochami), vezměte jeho duální graf. Tento duální graf bude mít trojúhelníkové nebo čtyřstranné plochy.
- Nahraďte plochy trojúhelníkového / kvadrangulovaného grafu hlavním polygonem. Uvědomte si, že rovinné grafy mají „vnější“ plochu, kterou je také třeba vyměnit. V níže uvedeném příkladu se to provádí připojením k jedné straně grafu a připojením dalších stran podle potřeby. Tím se do grafu dočasně zavedou překrývající se hrany, ale výsledný graf je rovinný. Vrcholy lze přeskupit tak, aby nebyly překrývající se hrany.
- Pokud byl původní graf 3- nebo 4-pravidelný graf, vezměte duální výsledek z kroku 3. Jinak je výsledkem kroku 3 konstrukce GC.
Níže je uveden příklad, kde je postaven na kostra a krychle. V posledních dvou grafech jsou modré čáry hranami , zatímco černé čáry jsou okraje . (Tečkované čáry jsou normální hrany grafu, pouze nakreslené jinak, aby byly překrývající se hrany grafu viditelnější.) Červené vrcholy jsou uvnitř a zůstat uvnitř , zatímco modré vrcholy jsou nově vytvořeny konstrukcí a jsou pouze v .
Hlavní náměstí (1,1)
Počáteční mnohostěn (krychle)
, kostra kostky
Mezistupeň výstavby .
Výsledek , po přeskupení
Vložení výsledku (kosočtverečný dvanáctistěn )
Rozšíření
Konstrukci Goldberg – Coxeter lze snadno rozšířit na některé neplanární grafy, například toroidní grafy.[15] Provozovatelé třídy III kvůli své chirality vyžadují graf, který může být vložený na orientovatelný povrch, ale operátory třídy I a II lze použít na neorientovatelné grafy.
Viz také
Poznámky pod čarou
- ^ To zjednodušuje definici třídy ekvivalence, činí definici třídy stejnou pro 3 a 4 pravidelné grafy a odpovídá parametrizaci, která se tradičně používá pro geodetické dómy a Goldbergovy mnohostěny.
Reference
- ^ A b C Deza, M .; Dutour, M (2004). „Konstrukce Goldberg – Coxeter pro 3 a 4 valentní rovinné grafy“. Electronic Journal of Combinatorics. 11: # R20. doi:10.37236/1773.
- ^ A b C Deza, M.-M .; Sikirić, M. D .; Shtogrin, M. I. (2015). „Konstrukce a parametrizace Goldberg – Coxeteru“. Geometrická struktura grafů relevantních z chemického hlediska: cikcaky a centrální obvody. Springer. str. 131–148. ISBN 9788132224495.
- ^ Indelicato, G; Burkhard, P; Twarock, R (2017). „Klasifikace samo-sestavujících se architektur proteinových nanočástic pro aplikace v designu vakcín“. Royal Society Open Science. 4 (4): 161092. Bibcode:2017RSOS .... 461092I. doi:10.1098 / rsos.161092. PMC 5414263. PMID 28484626.
- ^ Kotani, M; Naito, H; Omori, T (2017). „Diskrétní teorie povrchů“. Počítačem podporovaný geometrický design. 58: 24–54. doi:10.1016 / j.cagd.2017.09.002.
- ^ Tarnai, T. (2006). Koše (PDF). IASS-APCS 2006 Int. Symp. Nová olympiáda Nová skořápka a prostorové struktury. Beijing University of Technology: International Assoc. pro skořepinové a prostorové struktury. str. IL09.
- ^ Tarnai, T .; Kovacs, F .; Fowler, P.W .; Host, S.D. (2012). „Zabalení kostky a dalších mnohostěnů“. Sborník královské společnosti A. 468 (2145): 2652. Bibcode:2012RSPSA.468.2652T. doi:10.1098 / rspa.2012.0116.
- ^ Nicodemos, Diego; Stehlík, Matěj (2018). "Sbalení a zakrytí lichých cyklů v grafech kubické roviny s malými plochami". European Journal of Combinatorics. 67: 208–221. arXiv:1701.07748. doi:10.1016 / j.ejc.2017.08.004. S2CID 27137740.
- ^ Goldberg, M. (1937). "Třída vícesymetrických mnohostěnů". Matematický deník Tohoku.
- ^ Kenner, H. (1976). Geodetická matematika a jak ji používat. University of California Press.
- ^ Caspar, D. L. D .; Klug, A. (1962). "Fyzikální principy při konstrukci pravidelných virů". Cold Spring Harb. Symp. Kvant. Biol. 27: 1–24. doi:10,1101 / sqb.1962.027.001.005. PMID 14019094.
- ^ Coxeter, H.S.M. (1971). "Virusové makromolekuly a geodetické dómy.". V Butcher, J.C. (ed.). Spektrum matematiky. Oxford University Press. 98–107.
- ^ Brinkmann, G .; Goetschalckx, P .; Schein, S. (2017). „Goldberg, Fuller, Caspar, Klug a Coxeter a obecný přístup k místním operacím zachovávajícím symetrii“. Sborník královské společnosti A. 473 (2206): 20170267. arXiv:1705.02848. Bibcode:2017RSPSA.47370267B. doi:10.1098 / rspa.2017.0267. S2CID 119171258.
- ^ Deza, M; Fowler, P. W; Rassat, A; Rogers, K.M (2000). "Fullereny jako obklady povrchů". Journal of Chemical Information and Computer Sciences. 40 (3): 550–8. CiteSeerX 10.1.1.105.5973. doi:10.1021 / ci990066h. PMID 10850758.
- ^ Hirsch, Andreas; Chen, Zhongfang; Jiao, Haijun (2000). "Sférická aromatičnost v No Symetrické fullereny: Pravidlo 2 (N + 1) 2 ". Angewandte Chemie. 39 (21): 3915–3917. doi:10.1002 / 1521-3773 (20001103) 39:21 <3915 :: AID-ANIE3915> 3.0.CO; 2-O. PMID 29711706.
- ^ Deza, Michel-Marie; Sikirić, Mathieu Dutour (2016). „Lego koule a tori“. Journal of Mathematical Chemistry. 55 (3): 752. doi:10.1007 / s10910-016-0706-8. S2CID 125087322.