Eulersův vzorec - Eulers formula - Wikipedia

Eulerův vzorec, pojmenoval podle Leonhard Euler, je matematický vzorec v komplexní analýza který stanoví základní vztah mezi trigonometrické funkce a komplex exponenciální funkce. Eulerův vzorec uvádí, že pro všechny reálné číslo $X$ :

{ displaystyle e ^ {ix} = cos x + i sin x,}

kde $E$ je základ přirozeného logaritmu, $i$ je imaginární jednotka, a $cos$ a $hřích$ jsou trigonometrické funkce kosinus a sinus resp. Tato složitá exponenciální funkce je někdy označována $cis X$ ("Cosine plus i svzorec je stále platný, pokud $X$ je komplexní číslo, a tak někteří autoři odkazují na obecnější komplexní verzi jako Eulerův vzorec.^[1]

Eulerův vzorec je všudypřítomný v matematice, fyzice a inženýrství. Fyzik Richard Feynman nazval rovnici „náš klenot“ a „nejpozoruhodnější vzorec v matematice“.^[2]

Když $X = π$ , Hodnotí Eulerův vzorec na $E iπ + 1 = 0$ , který je známý jako Eulerova identita.

Dějiny

Anglický matematik Roger Cotes (který zemřel v roce 1716, kdy bylo Eulerovi jen 9 let) byl první, kdo věděl o vzorci.^[3]

V roce 1714 představil geometrický argument, který lze interpretovat (po opravě ztraceného faktoru ${ displaystyle { sqrt {-1}}}$ ) tak jako:^[4]^[5]

{ displaystyle ix = ln ( cos x + i sin x).}

Exponováním této rovnice se získá Eulerův vzorec. Všimněte si, že logaritmický příkaz není univerzálně správný pro komplexní čísla, protože komplexní logaritmus může mít nekonečně mnoho hodnot, lišících se násobky $2 πi$ .

Kolem roku 1740 Euler namísto logaritmů obrátil pozornost na exponenciální funkci a získal vzorec, který je pojmenován po něm. Vzorec získal porovnáním řady expanzí exponenciálních a trigonometrických výrazů.^[6]^[5] To bylo vydáváno v roce 1748 v Introductio in analysin infinitorum^[7] a Euler mohl získat své znalosti prostřednictvím švýcarského krajana Johann Bernoulli.

Bernoulli to poznamenal^[8]

{ displaystyle { frac {1} {1 + x ^ {2}}} = { frac {1} {2}} left ({ frac {1} {1-ix}} + { frac { 1} {1 + ix}} vpravo).}

A od té doby

{ displaystyle int { frac {dx} {1 + sekera}} = { frac {1} {a}} ln (1 + sekera) + C,}

výše uvedená rovnice nám něco říká složité logaritmy vztahem přirozených logaritmů k imaginárním (komplexním) číslům. Bernoulli však nehodnotil integrál.

Bernoulliho korespondence s Eulerem (který také znal výše uvedenou rovnici) ukazuje, že Bernoulli plně nerozuměl složité logaritmy. Euler také navrhl, že složité logaritmy mohou mít nekonečně mnoho hodnot.

Pohled na komplexní čísla jako body v složité letadlo popsal asi o 50 let později Caspar Wessel.

Definice komplexní umocňování

Exponenciální funkce $E X$ pro skutečné hodnoty $X$ mohou být definovány několika různými ekvivalentními způsoby (viz Charakterizace exponenciální funkce ). Některé z těchto metod lze přímo rozšířit, aby poskytly definice $E z$ pro komplexní hodnoty $z$ jednoduše nahrazením $z$ namísto $X$ a pomocí složitých algebraických operací. Zejména můžeme použít kteroukoli ze tří následujících definic, které jsou ekvivalentní. Z pokročilejší perspektivy lze každou z těchto definic interpretovat tak, že dává jedinečnost analytické pokračování z $E X$ do složité roviny.

Definice diferenciální rovnice

Exponenciální funkce ${ displaystyle z mapsto e ^ {z}}$ je jedinečný diferencovatelná funkce a komplexní proměnná takhle

{ displaystyle { frac {de ^ {z}} {dz}} = e ^ {z}}

a

{ displaystyle e ^ {0} = 1.}

Definice mocninných řad

Pro složité $z$

{ displaystyle e ^ {z} = 1 + { frac {z} {1!}} + { frac {z ^ {2}} {2!}} + { frac {z ^ {3}} { 3!}} + Cdots = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n!}}.}

Za použití poměrový test, je možné ukázat, že toto výkonová řada má nekonečno poloměr konvergence a tak definuje $E z$ pro všechny složité $z$ .

Definice limitu

Pro složité $z$

{ displaystyle e ^ {z} = lim _ {n rightarrow infty} left (1 + { frac {z} {n}} right) ^ {n}.}

Tady, n je omezeno na kladná celá čísla, takže není pochyb o tom, jaká je síla s exponentem n prostředek.

Důkazy

Animace důkazu pomocí Taylorovy řady.

Jsou možné různé důkazy o vzorci.

Používání výkonových řad

Zde je důkaz použití Eulerova vzorce expanze výkonových řad, jakož i základní fakta o pravomocích $i$ :^[9]

{ displaystyle { begin {aligned} i ^ {0} & = 1, & i ^ {1} & = i, & i ^ {2} & = - 1, & i ^ {3} & = - i, i ^ {4} & = 1, & i ^ {5} & = i, & i ^ {6} & = - 1, & i ^ {7} & = - i & vdots && vdots && vdots && vdots end {zarovnáno}}}

Nyní pomocí definice výkonové řady shora vidíme, že pro skutečné hodnoty $X$

{ displaystyle { begin {sladěno} e ^ {ix} & = 1 + ix + { frac {(ix) ^ {2}} {2!}} + { frac {(ix) ^ {3}} { 3!}} + { Frac {(ix) ^ {4}} {4!}} + { Frac {(ix) ^ {5}} {5!}} + { Frac {(ix) ^ { 6}} {6!}} + { Frac {(ix) ^ {7}} {7!}} + { Frac {(ix) ^ {8}} {8!}} + Cdots [ 8pt] & = 1 + ix - { frac {x ^ {2}} {2!}} - { frac {ix ^ {3}} {3!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} + { Frac {ix ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {6}} {6!}} - { frac {ix ^ {7}} {7 !}} + { frac {x ^ {8}} {8!}} + cdots [8pt] & = left (1 - { frac {x ^ {2}} {2!}} + { frac {x ^ {4}} {4!}} - { frac {x ^ {6}} {6!}} + { frac {x ^ {8}} {8!}} - cdots right) + i left (x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {7 }} {7!}} + Cdots right) [8pt] & = cos x + i sin x, end {zarovnáno}}}

kde v posledním kroku poznáme, že dva pojmy jsou Řada Maclaurin pro $cos X$ a $hřích X$ . Přeskupení termínů je oprávněné, protože každá řada je absolutně konvergentní.

Použití polárních souřadnic

Další důkaz^[10] je založen na skutečnosti, že všechna komplexní čísla mohou být vyjádřena v polárních souřadnicích. Proto pro nějaký $r$ a $θ$ záleží na $X$ ,

{ Displaystyle e ^ {ix} = r ( cos theta + i sin theta).}

Nedochází k žádným předpokladům $r$ a $θ$ ; budou stanoveny v průběhu dokladu. Z kterékoli z definic exponenciální funkce lze ukázat, že derivace $E ix$ je $tj ix$ . Proto rozlišování obou stran dává

{ displaystyle ie ^ {ix} = ( cos theta + i sin theta) { frac {dr} {dx}} + r (- sin theta + i cos theta) { frac { d theta} {dx}}.}

Střídání $r (cos θ + i hřích θ)$ pro $E ix$ a rovnice skutečných a imaginárních částí v tomto vzorci dává $.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} dr / dx = 0$ a $dθ / dx = 1$ . Tím pádem, $r$ je konstanta a $θ$ je $X + C$ pro nějakou konstantu $C$ . Počáteční hodnoty $r (0) = 1$ a $θ (0) = 0$ pocházet z $E 0 i = 1$ dávat $r = 1$ a $θ = X$ . To dokazuje vzorec

{ Displaystyle e ^ {ix} = 1 ( cos x + i sin x) = cos x + i sin x.}

Použití diferenciálních rovnic

Další důkaz je založen na diferenciální rovnice uspokojeno exponenciálními a trigonometrickými funkcemi. Vidět Trigonometrické funkce § Vztah k exponenciální funkci (Eulerův vzorec).

Aplikace

Aplikace v teorii komplexních čísel

Trojrozměrná vizualizace Eulerova vzorce. Viz také kruhová polarizace.

Výklad vzorce

Tento vzorec lze interpretovat tak, že říká, že funkce $E iφ$ je komplexní číslo jednotky, tj. vysleduje jednotkový kruh v složité letadlo tak jako $φ$ se pohybuje přes reálná čísla. Tady $φ$ je úhel že čára spojující počátek s bodem na jednotkové kružnici tvoří s pozitivní skutečná osa, měřeno proti směru hodinových ručiček a dovnitř radiány.

Původní důkaz je založen na Taylor série expanze exponenciální funkce $E z$ (kde $z$ je komplexní číslo) a $hřích X$ a $cos X$ pro reálná čísla $X$ (viz. níže). Stejný důkaz ve skutečnosti ukazuje, že Eulerův vzorec platí dokonce pro všechny komplex čísla $X$ .

Bod v složité letadlo může být reprezentován komplexním číslem napsaným v Kartézské souřadnice. Eulerův vzorec poskytuje prostředek pro převod mezi kartézskými souřadnicemi a polární souřadnice. Polární forma zjednodušuje matematiku při násobení nebo mocninách komplexních čísel. Jakékoli komplexní číslo $z = X + iy$ a jeho komplexní konjugát, $z = X - iy$ , lze psát jako

{ displaystyle { begin {zarovnáno} z & = x + iy = | z | ( cos varphi + i sin varphi) = re ^ {i varphi}, { bar {z}} & = x-iy = | z | ( cos varphi -i sin varphi) = re ^ {- i varphi}, end {zarovnáno}}}

kde

X = Re z

je skutečná část,

y = Im z

je imaginární část,

r = | z | = \sqrt X 2 + y 2

je velikost z

z

a

φ = arg z = atan2 (y, X)

.

$φ$ je argument z $z$ , tj. úhel mezi X osa a vektor z měřeno proti směru hodinových ručiček dovnitř radiány, který je definován až do přidání $2π$ . Mnoho textů píše $φ = opálení -1 y / X$ namísto $φ = atan2 (y, X)$ , ale první rovnici je třeba upravit, když $X \leq 0$ . Je to proto, že pro všechny skutečné $X$ a $y$ , ne oba nula, úhly vektorů $(X, y)$ a $(- X, - y)$ se liší o $π$ radiány, ale mají stejnou hodnotu $opálení φ = y / X$ .

Použití vzorce k definování logaritmu komplexních čísel

Když vezmeme tento odvozený vzorec, můžeme použít Eulerův vzorec k definování logaritmus komplexního čísla. K tomu také používáme definici logaritmu (jako inverzní operátor umocňování):

{ displaystyle a = e ^ { ln a},}

a to

{ displaystyle e ^ {a} e ^ {b} = e ^ {a + b},}

obě platí pro libovolná komplexní čísla $A$ a $b$ . Proto lze napsat:

{ displaystyle z = | z | e ^ {i varphi} = e ^ { ln | z |} e ^ {i varphi} = e ^ { ln | z | + i varphi}}

pro všechny $z \neq 0$ . Logaritmus obou stran to ukazuje

{ displaystyle ln z = ln | z | + i varphi,}

a ve skutečnosti to lze použít jako definici pro komplexní logaritmus. Logaritmus komplexního čísla je tedy a funkce s více hodnotami, protože $φ$ má více hodnot.

Nakonec další exponenciální zákon

{ displaystyle left (e ^ {a} right) ^ {k} = e ^ {ak},}

které lze vidět, že platí pro všechna celá čísla $k$ , spolu s Eulerovým vzorcem, znamená několik trigonometrické identity, stejně jako de Moivreův vzorec.

Vztah ke trigonometrii

Vztah mezi sinusem, kosinem a exponenciální funkcí

Eulerův vzorec poskytuje silné spojení mezi analýza a trigonometrie, a poskytuje interpretaci sinusových a kosinových funkcí jako vážené částky exponenciální funkce:

{ displaystyle { begin {aligned} cos x & = operatorname {Re} left (e ^ {ix} right) = { frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} }, sin x & = operatorname {Im} left (e ^ {ix} right) = { frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}}. end { zarovnaný}}}

Dvě výše uvedené rovnice lze odvodit přidáním nebo odečtením Eulerových vzorců:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} e ^ {ix} & = cos x + i sin x, e ^ {- ix} & = cos (-x) + i sin (-x) = cos xi sin x end {zarovnáno}}}

a řešení pro kosinus nebo sinus.

Tyto vzorce mohou dokonce sloužit jako definice trigonometrických funkcí pro složité argumenty $X$ . Například pronájem $X = iy$ , my máme:

{ displaystyle { begin {zarovnaný} cos (iy) & = { frac {e ^ {- y} + e ^ {y}} {2}} = cosh (y), sin (iy ) & = { frac {e ^ {- y} -e ^ {y}} {2i}} = i left ({ frac {e ^ {y} -e ^ {- y}} {2}} right) = i sinh (y). end {zarovnáno}}}

Složité exponenciály mohou zjednodušit trigonometrii, protože se s nimi manipuluje snáze než s jejich sinusovými složkami. Jednou z technik je jednoduše převést sinusoidy na ekvivalentní výrazy, pokud jde o exponenciály. Po manipulacích je zjednodušený výsledek stále reálný. Například:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} cos x cdot cos y & = { frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}} cdot { frac {e ^ {iy} + e ^ {- iy}} {2}} & = { frac {1} {2}} cdot { frac {e ^ {i (x + y)} + e ^ {i (xy) } + e ^ {i (-x + y)} + e ^ {i (-xy)}} {2}} & = { frac {1} {2}} { bigg (} underbrace { frac {e ^ {i (x + y)} + e ^ {- i (x + y)}} {2}} _ { cos (x + y)} + podprsenka { frac {e ^ { i (xy)} + e ^ {- i (xy)}} {2}} _ { cos (xy)} { bigg)}. end {zarovnáno}}}

Další technikou je reprezentace sinusoidů ve smyslu skutečná část komplexního výrazu a provádět manipulace s komplexním výrazem. Například:

{ displaystyle { begin {aligned} cos (nx) & = operatorname {Re} left (e ^ {inx} right) & = operatorname {Re} left (e ^ {i (n -1) x} cdot e ^ {ix} right) & = operatorname {Re} { Big (} e ^ {i (n-1) x} cdot { big (} underbrace { e ^ {ix} + e ^ {- ix}} _ {2 cos x} -e ^ {- ix} { big)} { Big)} & = operatorname {Re} vlevo (e ^ {i (n-1) x} cdot 2 cos xe ^ {i (n-2) x} vpravo) & = cos [(n-1) x] cdot [2 cos ( x)] - cos [(n-2) x]. end {zarovnáno}}}

Tento vzorec se používá pro rekurzivní generování $cos nx$ pro celočíselné hodnoty $n$ a svévolné $X$ (v radiánech).

Viz také Fázorová aritmetika.

Topologická interpretace

V jazyce topologie Eulerův vzorec uvádí, že imaginární exponenciální funkce ${ displaystyle t mapsto e ^ {it}}$ je (surjektivní ) morfismus z topologické skupiny ze skutečné linie ${ displaystyle mathbb {R}}$ do jednotkového kruhu ${ displaystyle mathbb {S} ^ {1}}$ . Ve skutečnosti to vykazuje ${ displaystyle mathbb {R}}$ jako pokrývající prostor z ${ displaystyle mathbb {S} ^ {1}}$ . Podobně, Eulerova identita říká, že jádro této mapy je ${ displaystyle tau mathbb {Z}}$ , kde ${ displaystyle tau = 2 pi}$ . Tato pozorování lze kombinovat a shrnout v dokumentu komutativní diagram níže:

Další aplikace

v diferenciální rovnice, funkce $E ix$ se často používá ke zjednodušení řešení, i když konečnou odpovědí je skutečná funkce zahrnující sinus a kosinus. Důvodem je to, že exponenciální funkcí je vlastní funkce provozu diferenciace.

v elektrotechnika, zpracování signálu a podobná pole jsou signály, které se periodicky mění v čase, často popsány jako kombinace sinusových funkcí (viz Fourierova analýza ), a ty jsou výhodněji vyjádřeny jako součet exponenciálních funkcí s imaginární exponenty pomocí Eulerova vzorce. Taky, fázorová analýza obvodů může zahrnovat Eulerův vzorec představující impedanci kondenzátoru nebo induktoru.

V čtyřrozměrný prostor z čtveřice, tady je koule z imaginární jednotky. Pro jakýkoli bod r v této oblasti a X skutečné číslo, platí Eulerův vzorec:

{ displaystyle exp (xr) = cos x + r sin x,}

a prvek se nazývá a versor v čtveřicích. Sada všech veršů tvoří a 3 koule ve 4prostoru.

Viz také

Reference

^ Moskowitz, Martin A. (2002). Kurz komplexní analýzy v jedné proměnné. World Scientific Publishing Co. str. 7. ISBN 981-02-4780-X.
^ Feynman, Richard P. (1977). Feynmanovy přednášky z fyziky, sv. Já. Addison-Wesley. str. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
^ Sandifer, C. Edward (2007), Eulerovy největší hity, Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-563-8
^
Cotes napsal: „Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, rádio CE descriptus, sinun habeat CX sinumqueplementi ad quadrantem XE ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus erit rationis inter ${ displaystyle EX + XC { sqrt {-1}}}$ & CE mensura ducta v ${ displaystyle { sqrt {-1}}}$ ." (Tedy pokud jakýkoli oblouk kvadrantu kruhu, popsaný poloměrem CE, má sinus CX a sinus doplňku kvadrantu XE ; přičemž poloměr CE jako modul bude oblouk měřítkem poměru mezi ${ displaystyle EX + XC { sqrt {-1}}}$ $EX + XC { sqrt {-1}}$ & CE vynásobeno ${ displaystyle { sqrt {-1}}}$ ${ sqrt {-1}}$ .) To znamená, zvažte kruh, který má střed E (na počátku roviny (x, y)) a poloměr CE. Zvažte úhel θ s jeho vrcholem v E mající kladnou osu x jako jednu stranu a poloměr CE jako druhá strana. Kolmo od bodu C na kružnici k ose x je „sinus“ CX ; čára mezi středem kruhu E a pointa X na úpatí kolmice je XE, což je „sinus komplementu do kvadrantu“ nebo „kosinus“. Poměr mezi ${ displaystyle EX + XC { sqrt {-1}}}$ $EX + XC { sqrt {-1}}$ a CE je tedy ${ displaystyle cos theta + { sqrt {-1}} sin theta }$ $cos theta + { sqrt {-1}} sin theta$ . V terminologii Cotes je „míra“ veličiny jejím přirozeným logaritmem a „modul“ je převodní faktor, který transformuje míru úhlu na délku kruhového oblouku (zde je modulem poloměr (CE) kruhu). Podle Cotese součin modulu a míry (logaritmu) poměru, když se vynásobí ${ displaystyle { sqrt {-1}}}$ ${ sqrt {-1}}$ , se rovná délce kruhového oblouku podřízeného θ, což pro jakýkoli úhel měřený v radiánech je CE • θ. Tím pádem, ${ displaystyle { sqrt {-1}} CE ln { left ( cos theta + { sqrt {-1}} sin theta right) } = (CE) theta}$ ${ sqrt {-1}} CE ln { left ( cos theta + { sqrt {-1}} sin theta right) } = (CE) theta$ . Tato rovnice má nesprávné znaménko: faktor ${ displaystyle { sqrt {-1}}}$ ${ sqrt {-1}}$ by měla být na pravé straně rovnice, ne na levé straně. Pokud dojde k této změně, po rozdělení obou stran na CE a umocnění obou stran je výsledkem: ${ displaystyle cos theta + { sqrt {-1}} sin theta = e ^ {{ sqrt {-1}} theta}}$ $cos theta + { sqrt {-1}} sin theta = e ^ {{ sqrt {-1}} theta}$ , což je Eulerův vzorec.
Vidět:
- Roger Cotes (1714) „Logometria“ Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně, 29 (338): 5-45; viz zejména strana 32. Dostupné online na: Hathi Trust
- Roger Cotes s Robertem Smithem, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, Anglie: 1722), kapitola: „Logometria“, str. 28.
^ ^A ^b John Stillwell (2002). Matematika a její historie. Springer.
^ Leonard Euler (1748) Kapitola 8: O překračování veličin vznikajících z kruhu z Úvod do analýzy nekonečna, strana 214, část 138 (překlad Iana Bruce, odkaz na pdf z matematiky 17. století).
^ Conway & Guy, str. 254–255
^ Bernoulli, Johann (1702). „Řešení problému s problémem integrálního počtu, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul“ [Řešení problému v integrálním počtu s několika poznámkami týkajícími se tohoto výpočtu]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 1702: 289–297.
^ Ricardo, Henry J. Moderní úvod do diferenciálních rovnic. str. 428.
^ Strang, Gilbert (1991). Počet. Wellesley-Cambridge. str. 389. ISBN 0-9614088-2-0. Druhý důkaz na stránce.

externí odkazy

Prvky algebry

[1] Moskowitz, Martin A. (2002). Kurz komplexní analýzy v jedné proměnné. World Scientific Publishing Co. str. 7. ISBN 981-02-4780-X.

[2] Feynman, Richard P. (1977). Feynmanovy přednášky z fyziky, sv. Já. Addison-Wesley. str. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.

[3] Sandifer, C. Edward (2007), Eulerovy největší hity, Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-563-8

[4] Cotes napsal: „Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, rádio CE descriptus, sinun habeat CX sinumqueplementi ad quadrantem XE ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus erit rationis inter ${ displaystyle EX + XC { sqrt {-1}}}$ & CE mensura ducta v ${ displaystyle { sqrt {-1}}}$ ." (Tedy pokud jakýkoli oblouk kvadrantu kruhu, popsaný poloměrem CE, má sinus CX a sinus doplňku kvadrantu XE ; přičemž poloměr CE jako modul bude oblouk měřítkem poměru mezi ${ displaystyle EX + XC { sqrt {-1}}}$ & CE vynásobeno ${ displaystyle { sqrt {-1}}}$ .) To znamená, zvažte kruh, který má střed E (na počátku roviny (x, y)) a poloměr CE. Zvažte úhel θ s jeho vrcholem v E mající kladnou osu x jako jednu stranu a poloměr CE jako druhá strana. Kolmo od bodu C na kružnici k ose x je „sinus“ CX ; čára mezi středem kruhu E a pointa X na úpatí kolmice je XE, což je „sinus komplementu do kvadrantu“ nebo „kosinus“. Poměr mezi ${ displaystyle EX + XC { sqrt {-1}}}$ a CE je tedy ${ displaystyle cos theta + { sqrt {-1}} sin theta }$ . V terminologii Cotes je „míra“ veličiny jejím přirozeným logaritmem a „modul“ je převodní faktor, který transformuje míru úhlu na délku kruhového oblouku (zde je modulem poloměr (CE) kruhu). Podle Cotese součin modulu a míry (logaritmu) poměru, když se vynásobí ${ displaystyle { sqrt {-1}}}$ , se rovná délce kruhového oblouku podřízeného θ, což pro jakýkoli úhel měřený v radiánech je CE • θ. Tím pádem, ${ displaystyle { sqrt {-1}} CE ln { left ( cos theta + { sqrt {-1}} sin theta right) } = (CE) theta}$ . Tato rovnice má nesprávné znaménko: faktor ${ displaystyle { sqrt {-1}}}$ by měla být na pravé straně rovnice, ne na levé straně. Pokud dojde k této změně, po rozdělení obou stran na CE a umocnění obou stran je výsledkem: ${ displaystyle cos theta + { sqrt {-1}} sin theta = e ^ {{ sqrt {-1}} theta}}$ , což je Eulerův vzorec.
Vidět:
Roger Cotes (1714) „Logometria“ Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně, 29 (338): 5-45; viz zejména strana 32. Dostupné online na: Hathi Trust
Roger Cotes s Robertem Smithem, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, Anglie: 1722), kapitola: „Logometria“, str. 28.

[5] Roger Cotes (1714) „Logometria“ Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně, 29 (338): 5-45; viz zejména strana 32. Dostupné online na: Hathi Trust

[6] Roger Cotes s Robertem Smithem, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, Anglie: 1722), kapitola: „Logometria“, str. 28.

[Stillwell-5] A ^b John Stillwell (2002). Matematika a její historie. Springer.

[6] Leonard Euler (1748) Kapitola 8: O překračování veličin vznikajících z kruhu z Úvod do analýzy nekonečna, strana 214, část 138 (překlad Iana Bruce, odkaz na pdf z matematiky 17. století).

[7] Conway & Guy, str. 254–255

[8] Bernoulli, Johann (1702). „Řešení problému s problémem integrálního počtu, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul“ [Řešení problému v integrálním počtu s několika poznámkami týkajícími se tohoto výpočtu]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 1702: 289–297.

[9] Ricardo, Henry J. Moderní úvod do diferenciálních rovnic. str. 428.

[Strang-10] Strang, Gilbert (1991). Počet. Wellesley-Cambridge. str. 389. ISBN 0-9614088-2-0. Druhý důkaz na stránce.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]