Seznam reprezentací e - List of representations of e

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Seznam reprezentací e"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosinec 2007) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Část série článků na
matematická konstanta E
Vlastnosti
Přirozený logaritmus Exponenciální funkce
Aplikace
složený úrok Eulerova identita Eulerův vzorec poločasy exponenciální růst a rozklad
Definování E
důkaz toho E je iracionální reprezentace E Lindemann – Weierstrassova věta
Lidé
John Napier Leonhard Euler
související témata
Schanuelův dohad

The matematická konstanta E mohou být reprezentovány různými způsoby jako a reálné číslo. Od té doby E je iracionální číslo (vidět důkaz, že e je iracionální ), nelze jej představovat jako kvocient ze dvou celá čísla, ale lze jej vyjádřit jako a pokračující zlomek. Použitím počet, E mohou být také reprezentovány jako nekonečná řada, nekonečný produkt nebo jiný druh limit posloupnosti.

Jako pokračující zlomek

Euler dokázal, že číslo E je reprezentován jako nekonečno jednoduchý pokračující zlomek^[1] (sekvence A003417 v OEIS ):

${displaystyle e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1, ldots, 1,2n, 1, ldots].}$

Jeho konvergence může být ztrojnásobena^{[je zapotřebí objasnění ][Citace je zapotřebí ]} povolením pouze jednoho zlomkového čísla:

${displaystyle e = [1; 1 / 2,12,5,28,9,44,13,60,17, ldots, 4 (4n-1), 4n + 1, ldots].}$

Zde je několik nekonečných zobecněný pokračující zlomek expanze E. Druhý je generován z prvního jednoduchým ekvivalenční transformace.

${displaystyle e = 2 + {cfrac {1} {1+ {cfrac {1} {2+ {cfrac {2} {3+ {cfrac {3} {4+ {cfrac {4} {5 + ddots}}} }}}}}}} = 2+ {cfrac {2} {2+ {cfrac {3} {3+ {cfrac {4} {4+ {cfrac {5} {5+ {cfrac {6} {6+ ddots,}}}}}}}}}}}$

${displaystyle e = 2 + {cfrac {1} {1+ {cfrac {2} {5+ {cfrac {1} {10+ {cfrac {1} {14+ {cfrac {1} {18 + ddots,}} }}}}}}}} = 1+ {cfrac {2} {1+ {cfrac {1} {6+ {cfrac {1} {10+ {cfrac {1} {14+ {cfrac {1} {18 + tečky,}}}}}}}}}}}$

Toto poslední, ekvivalentní [1; 0,5, 12, 5, 28, 9, ...], je speciální případ obecného vzorce pro exponenciální funkce:

${displaystyle e ^ {x / y} = 1 + {cfrac {2x} {2y-x + {cfrac {x ^ {2}} {6y + {cfrac {x ^ {2}} {10y + {cfrac {x ^ {2 }} {14y + {cfrac {x ^ {2}} {18y + ddots}}}}}}}}}}$

Dohady

Existují také pokračující zlomkové dohady pro E. Například počítačový program vyvinutý na Izraelský technologický institut přišel s:^[2]

${displaystyle e = 3 + {cfrac {-1} {4+ {cfrac {-2} {5+ {cfrac {-3} {6+ {cfrac {-4} {7 + ddots,}}}}}} }}}$

Jako nekonečná série

Číslo E lze vyjádřit jako součet následujících nekonečná řada:

${displaystyle e ^ {x} = součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac {x ^ {k}} {k!}}}$ pro jakékoli reálné číslo X.

V speciální případ kde X = 1 nebo -1, máme:

${displaystyle e = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} {k!}}}$,^[3] a

${displaystyle e ^ {- 1} = součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k}} {k!}}.}$

Mezi další řady patří:

${displaystyle e = left [sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1-2k} {(2k)!}} ight] ^ {- 1}}$ ^[4]

${displaystyle e = {frac {1} {2}} součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac {k + 1} {k!}}}$

${displaystyle e = 2sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {k + 1} {(2k + 1)!}}}$

${displaystyle e = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {3-4k ^ {2}} {(2k + 1)!}}}$

${displaystyle e = suma _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(3k) ^ {2} +1} {(3k)!}} = součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac { (3k + 1) ^ {2} +1} {(3k + 1)!}} = Součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(3k + 2) ^ {2} +1} {( 3k + 2)!}}}$

${displaystyle e = left [sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {4k + 3} {2 ^ {2k + 1}, (2k + 1)!}} včas] ^ {2}}$

${displaystyle e = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {k ^ {n}} {B_ {n} (k!)}}}$ kde ${displaystyle B_ {n}}$ je nth Bell číslo.

Úvaha o tom, jak stanovit horní hranice E vede k této sestupné řadě:

${displaystyle e = 3-sum _ {k = 2} ^ {infty} {frac {1} {k! (k-1) k}} = 3- {frac {1} {4}} - {frac {1 } {36}} - {frac {1} {288}} - {frac {1} {2400}} - {frac {1} {21600}} - {frac {1} {211680}} - {frac {1 } {2257920}} - cdots}$

což dává alespoň jednu správnou (nebo zaokrouhlenou) číslici na termín. To znamená, že pokud 1 ≤ n, pak

${displaystyle e <3-součet _ {k = 2} ^ {n} {frac {1} {k! (k-1) k}}$

Obecněji, pokud X potom není v {2, 3, 4, 5, ...}

${displaystyle e ^ {x} = {frac {2 + x} {2-x}} + součet _ {k = 2} ^ {infty} {frac {-x ^ {k + 1}} {k! (kx ) (k + 1-x)}} ,.}$

Jako nekonečný produkt

Číslo E je také dán několika nekonečný produkt formuláře včetně Pippenger produkt

${displaystyle e = 2left ({frac {2} {1}} ight) ^ {1/2} vlevo ({frac {2} {3}}; {frac {4} {3}} ight) ^ {1 / 4} vlevo ({frac {4} {5}}; {frac {6} {5}}; {frac {6} {7}}; {frac {8} {7}} ight) ^ {1/8 } cdots}$

a produkt společnosti Guillera ^[5][6]

${displaystyle e = left ({frac {2} {1}} ight) ^ {1/1} left ({frac {2 ^ {2}} {1cdot 3}} ight) ^ {1/2} left ({ frac {2 ^ {3} cdot 4} {1cdot 3 ^ {3}}} ight) ^ {1/3} vlevo ({frac {2 ^ {4} cdot 4 ^ {4}} {1cdot 3 ^ {6 } cdot 5}} ight) ^ {1/4} cdots,}$

Kde nth faktor je nkořen produktu

${displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n} (k + 1) ^ {(- 1) ^ {k + 1} {n vyberte k}},}$

stejně jako nekonečný produkt

${displaystyle e = {frac {2cdot 2 ^ {(ln (2) -1) ^ {2}} cdots} {2 ^ {ln (2) -1} cdot 2 ^ {(ln (2) -1) ^ {3}} cdots}}.}$

Obecněji, pokud 1 < B < E² (který zahrnuje B = 2, 3, 4, 5, 6 nebo 7)

${displaystyle e = {frac {Bcdot B ^ {(ln (B) -1) ^ {2}} cdots} {B ^ {ln (B) -1} cdot B ^ {(ln (B) -1) ^ {3}} cdots}}.}$

Jako limit posloupnosti

Číslo E se rovná omezit několika nekonečné sekvence:

${displaystyle e = lim _ {n o infty} ncdot left ({frac {sqrt {2pi n}} {n!}} ight) ^ {1 / n}}$ a

${displaystyle e = lim _ {n o infty} {frac {n} {sqrt [{n}] {n!}}}}$ (oba Stirlingův vzorec ).

Symetrický limit,^[7]

${displaystyle e = lim _ {n o infty} left [{frac {(n + 1) ^ {n + 1}} {n ^ {n}}} - {frac {n ^ {n}} {(n- 1) ^ {n-1}}} hned]}$

lze získat manipulací se základní definicí limitu E.

Další dvě definice jsou přímými důsledky věta o prvočísle^[8]

${displaystyle e = lim _ {n o infty} (p_ {n} #) ^ {1 / p_ {n}}}$

kde ${displaystyle p_ {n}}$ je nth primární a ${displaystyle p_ {n} #}$ je primitivní z nth prime.

${displaystyle e = lim _ {n o infty} n ^ {pi (n) / n}}$

kde ${displaystyle pi (n)}$ je funkce počítání prvočísel.

Taky:

${displaystyle e ^ {x} = lim _ {n o infty} left (1+ {frac {x} {n}} ight) ^ {n}.}$

Ve zvláštním případě ${displaystyle x = 1}$, výsledkem je slavné prohlášení:

${displaystyle e = lim _ {n o infty} left (1+ {frac {1} {n}} ight) ^ {n}.}$

Poměr faktoriál ${displaystyle n!}$, to se počítá vše obměny sady objednávek S s mohutnost ${displaystyle n}$a vykolejení funkce ${displaystyle! n}$, který počítá množství permutací, kde se žádný prvek neobjeví na své původní pozici, má tendenci ${displaystyle e}$ tak jako ${displaystyle n}$ roste.

${displaystyle e = lim _ {n o infty} {frac {n!} {! n}}.}$

V trigonometrii

Trigonometricky, E lze napsat jako součet dvou hyperbolické funkce,

${displaystyle e ^ {x} = sinh (x) + cosh (x),}$

na X = 1.

Poznámky