Úniková rychlost - Escape velocity

Část série na
Astrodynamika
Orbitální mechanika
Orbitální parametry Apsis Argument periapsis Azimut Excentricita Sklon Střední anomálie Orbitální uzly Poloviční hlavní osa Opravdová anomálie
Typy oběžné dráhy dvou těl tím, že excentricita Kruhová dráha Eliptická dráha Přeneste oběžnou dráhu (Oběžná dráha Hohmann Bi-eliptická přenosová dráha ) Parabolická dráha Hyperbolická oběžná dráha Radiální oběžná dráha Rozpadající se oběžná dráha
Rovnice Dynamické tření Úniková rychlost Keplerova rovnice Keplerovy zákony planetárního pohybu Oběžná doba Orbitální rychlost Povrchová gravitace Specifická orbitální energie Vis-viva rovnice
Nebeská mechanika
Gravitační vlivy Barycentrum Hill koule Poruchy Sféra vlivu
Oběžné dráhy N-těla Lagrangeovy body (Halo obíhá ) Lissajousovy dráhy Lyapunov obíhá
Inženýrství a efektivita
Předletová technika Hmotnostní poměr Frakce užitečného zatížení Hmotnostní podíl hnacího plynu Tsiolkovského raketová rovnice
Opatření pro účinnost Gravitační asistence Oberth účinek

v fyzika (konkrétně nebeská mechanika ), úniková rychlost je minimální rychlost potřebná pro bezplatnous pohonem objekt uniknout z gravitačního vlivu masivního těla, to znamená dosáhnout nekonečné vzdálenosti od něj. Úniková rychlost je funkcí hmotnosti těla a vzdálenosti od těžiště těla.

Raketa, neustále zrychlovaná výfukem, nemusí dosahovat balistické únikové rychlosti v žádné vzdálenosti, protože je dodávána s další kinetickou energií vypuzováním své reakční hmoty. Může dosáhnout úniku při jakékoli rychlosti, při vhodném režimu pohonu a dostatečném množství hnacího plynu, aby poskytlo zrychlovací sílu na únikový objekt.

Rychlost úniku z povrchu Země je asi 11 186 m / s (6 951 mil / s; 40 270 km / h; 36 700 ft / s; 25 020 mph; 21 744 kn).^[1] Obecněji řečeno, úniková rychlost je rychlost, při které je součet objektu Kinetická energie a jeho gravitační potenciální energie se rovná nule;^{[poznámka 1]} objekt, který dosáhl únikové rychlosti, není ani na povrchu, ani na uzavřené oběžné dráze (jakéhokoli poloměru). S únikovou rychlostí ve směru směřujícím od země mohutného tělesa se objekt vzdaluje od těla, navždy zpomalí a přiblíží se, ale nikdy nedosáhne nulové rychlosti. Jakmile je dosaženo únikové rychlosti, není třeba aplikovat žádný další impuls, aby mohl pokračovat v úniku. Jinými slovy, pokud je dána úniková rychlost, objekt se vzdaluje od druhého těla, neustále zpomaluje a bude asymptoticky s přiblížením vzdálenosti objektu se blíží nulové rychlosti nekonečno, nikdy se nevrátit.^[2] Rychlosti vyšší než úniková rychlost mají pozitivní rychlost v nekonečnu. Všimněte si, že minimální úniková rychlost předpokládá, že neexistuje žádné tření (např. Atmosférický odpor), které by zvýšilo požadovanou okamžitou rychlost k úniku z gravitačního vlivu, a že nebude docházet k žádnému budoucímu zrychlení nebo zpomalení (například z tah nebo gravitace z jiných objektů), což by změnilo požadovanou okamžitou rychlost.

U sféricky symetrického masivního tělesa, jako je hvězda nebo planeta, se úniková rychlost tohoto tělesa v dané vzdálenosti vypočítá podle vzorce^[3]

${displaystyle v_ {e} = {sqrt {frac {2GM} {r}}}}$

kde G je univerzální gravitační konstanta (G ≈ 6.67×10⁻¹¹ m³·kg⁻¹· S⁻²), M hmotnost těla, z níž se má uniknout, a r vzdálenost od těžiště těla k předmětu.^{[pozn. 2]} Vztah je nezávislý na hmotnosti objektu unikajícího z masivního těla. Naopak těleso, které spadá pod sílu gravitační přitažlivosti hmoty M, od nekonečna, počínaje nulovou rychlostí, zasáhne masivní objekt rychlostí rovnou jeho únikové rychlosti dané stejným vzorcem.

Když je dána počáteční rychlost ${displaystyle V}$ větší než úniková rychlost ${displaystyle v_ {e},}$ objekt se asymptoticky přiblíží k hyperbolická nadměrná rychlost ${displaystyle v_ {infty},}$ splňující rovnici:^[4]

${displaystyle {v_ {infty}} ^ {2} = V ^ {2} - {v_ {e}} ^ {2}.}$

V těchto rovnicích atmosférické tření (odpor vzduchu ) není brána v úvahu.

Přehled

Luna 1, který byl zahájen v roce 1959, byl prvním člověkem vytvořeným objektem, který dosáhl únikové rychlosti ze Země (viz tabulka níže).^[5]

Existence únikové rychlosti je důsledkem uchování energie a energetické pole konečné hloubky. Pro objekt s danou celkovou energií, který se pohybuje předmětem konzervativní síly (například statické gravitační pole) je možné, aby objekt dosáhl pouze kombinací míst a rychlostí, které mají tuto celkovou energii; a míst, která mají vyšší potenciální energii, než je tato, nelze vůbec dosáhnout. Přidáním rychlosti (kinetické energie) k objektu rozšiřuje možná místa, kterých lze dosáhnout, dokud se s dostatkem energie nestanou nekonečnými.

Za dané gravitační potenciál energie v dané poloze je úniková rychlost minimální Rychlost objekt bez pohon musí být schopen „uniknout“ z gravitace (tj. aby ji gravitace nikdy nedokázala stáhnout zpět). Úniková rychlost je ve skutečnosti rychlost (ne rychlost), protože neurčuje směr: bez ohledu na směr jízdy může objekt uniknout z gravitačního pole (za předpokladu, že jeho dráha neprotíná planetu).

Elegantním způsobem, jak odvodit vzorec únikové rychlosti, je použít princip zachování energie. Kvůli jednoduchosti, pokud není uvedeno jinak, předpokládáme, že objekt unikne z gravitačního pole jednotné sférické planety tím, že se od ní vzdálí a že jedinou významnou silou působící na pohybující se objekt je gravitace planety. V původním stavu i, představte si tu vesmírnou loď hmoty m je na dálku r od středu hmoty planety, jehož hmotnost je M. Jeho počáteční rychlost se rovná jeho únikové rychlosti, ${displaystyle v_ {e}}$. V konečném stavu F, bude to nekonečná vzdálenost od planety a její rychlost bude zanedbatelně malá a předpokládá se, že bude 0. Kinetická energie K. a gravitační potenciál energie U_G jsou jedinými druhy energie, s nimiž se budeme zabývat, takže zachováním energie,

${displaystyle (K + U_ {g}) _ {i} = (K + U_ {g}) _ {f},}$

K._ƒ = 0, protože konečná rychlost je nula, a U_gƒ = 0, protože jeho konečná vzdálenost je nekonečno, takže

${displaystyle {egin {aligned} Rightarrow {} & {frac {1} {2}} mv_ {e} ^ {2} + {frac {-GMm} {r}} = 0 + 0 [3pt] Rightarrow {} & v_ {e} = {sqrt {frac {2GM} {r}}} = {sqrt {frac {2mu} {r}}} konec {zarovnáno}}}$

kde μ je standardní gravitační parametr.

Stejného výsledku dosáhne a relativistické výpočet, v takovém případě proměnná r představuje radiální souřadnice nebo zmenšený obvod z Schwarzschildova metrika.^[6][7]

Definováno trochu formálněji, „úniková rychlost“ je počáteční rychlost potřebná k přechodu z počátečního bodu v poli gravitačního potenciálu do nekonečna a ukončení v nekonečnu se zbytkovou rychlostí nula bez dalšího zrychlení.^[8] Všechny rychlosti a rychlosti se měří s ohledem na pole. Úniková rychlost v bodě v prostoru se navíc rovná rychlosti, kterou by měl objekt, kdyby začal v klidu z nekonečné vzdálenosti a byl do tohoto bodu tažen gravitací.

Při běžném používání je počáteční bod na povrchu a planeta nebo měsíc. Na povrchu Země je úniková rychlost asi 11,2 km / s, což je přibližně 33krát více rychlost zvuku (Mach 33) a několikrát Úsťová rychlost střely z pušky (až 1,7 km / s). Ve výšce 9 000 km v „vesmíru“ je to však o něco méně než 7,1 km / s.

Úniková rychlost je nezávislá na hmotnosti unikajícího objektu. Nezáleží na tom, zda je hmotnost 1 kg nebo 1 000 kg; liší se množství potřebné energie. Pro objekt hmoty ${displaystyle m}$ energie potřebná k úniku z gravitačního pole Země je GMm / r, funkce hmotnosti objektu (kde r je poloměr Země, G je gravitační konstanta, a M je hmotnost Země, M = 5.9736 × 10²⁴ kg). Související množství je specifická orbitální energie což je v podstatě součet kinetické a potenciální energie dělený hmotou. Objekt dosáhl únikové rychlosti, když je konkrétní orbitální energie větší nebo rovna nule.

Scénáře

Z povrchu těla

Alternativní výraz pro únikovou rychlost ${displaystyle v_ {e}}$ zvláště užitečné na povrchu těla je:

${displaystyle v_ {e} = {sqrt {2gr,}}}$

kde r je vzdálenost mezi středem těla a bodem, ve kterém se počítá úniková rychlost, a G je gravitační zrychlení v této vzdálenosti (tj povrchová gravitace ).^[9]

U tělesa se sféricky symetrickým rozložením hmoty je úniková rychlost ${displaystyle v_ {e}}$ z povrchu je úměrný poloměru za předpokladu konstantní hustoty a úměrný druhé odmocnině průměrné hustoty ρ.

${displaystyle v_ {e} = Kr {sqrt {ho}}}$

kde ${displaystyle K = {sqrt {{frac {8} {3}} pi G}} přibližně 2,364 obrázků 10 ^ {- 5} {ext {m}} ^ {1,5} {ext {kg}} ^ {- 0,5} {ext {s}} ^ {- 1}}$

Z rotujícího těla

Úniková rychlost vzhledem k povrchu rotujícího tělesa závisí na směru, kterým se unikající těleso pohybuje. Například, protože rychlost rotace Země je 465 m / s na rovník, raketa vypuštěná tangenciálně ze zemského rovníku na východ vyžaduje počáteční rychlost asi 10 735 km / s vzhledem k Zemi k útěku, zatímco raketa odpálená tangenciálně ze zemského rovníku na západ vyžaduje počáteční rychlost asi 11,665 km / s vzhledem k Zemi. Rychlost povrchu klesá s kosinus zeměpisné šířky, takže kosmická zařízení jsou často umístěna co nejblíže k rovníku, jak je to možné, např. Američan Mys Canaveral (zeměpisná šířka 28 ° 28 ′ s. š.) a Francouzi Guyanské vesmírné středisko (zeměpisná šířka 5 ° 14 ′ s. š.).

Praktické úvahy

Ve většině situací je nepraktické dosáhnout únikové rychlosti téměř okamžitě, a to z důvodu předpokládaného zrychlení a také proto, že pokud existuje atmosféra, zahrnovaly by hypersonické rychlosti (na Zemi rychlost 11,2 km / s neboli 40 320 km / h). způsobit spálení většiny předmětů v důsledku aerodynamické vytápění nebo být roztrhán atmosférický odpor. Pro skutečnou únikovou dráhu bude kosmická loď plynule zrychlovat z atmosféry, dokud nedosáhne únikové rychlosti odpovídající její výšce (která bude menší než na povrchu). V mnoha případech může být kosmická loď nejprve umístěna do a parkovací dráha (např nízká oběžná dráha Země na 160–2 000 km) a poté zrychlil na únikovou rychlost v této výšce, která bude o něco nižší (asi 11,0 km / s při nízké oběžné dráze Země 200 km). Požadované další změna rychlosti, je však mnohem méně, protože kosmická loď již má významný orbitální rychlost (při nízké rychlosti oběžné dráhy Země je přibližně 7,8 km / s nebo 28 080 km / h).

Z oběžné dráhy

Úniková rychlost v dané výšce je ${displaystyle {sqrt {2}}}$ krát rychlost na kruhové oběžné dráze ve stejné výšce (porovnejte to s rovnicí rychlosti v kruhová dráha ). To odpovídá skutečnosti, že potenciální energie s ohledem na nekonečno objektu na takové oběžné dráze je mínus dvojnásobek jeho kinetické energie, zatímco k úniku musí být součet potenciální a kinetické energie alespoň nula. Rychlost odpovídající kruhové dráze se někdy nazývá první kosmická rychlost, zatímco v této souvislosti se úniková rychlost označuje jako druhá kosmická rychlost.^[10]

Pro tělo na eliptické oběžné dráze, které si přeje zrychlit na únikovou oběžnou dráhu, se bude požadovaná rychlost lišit a bude nejvyšší při periapsi, když je tělo nejblíže k centrálnímu tělu. V tomto bodě však bude také nejvyšší orbitální rychlost tělesa a požadovaná změna rychlosti bude nejnižší, jak vysvětluje Oberth účinek.

Barycentrická úniková rychlost

Technicky úniková rychlost může být měřena jako relativní k druhému, centrálnímu tělu nebo relativní k těžiště nebo barycentrum soustavy těl. Pro systémy dvou těles tedy termín úniková rychlost může být nejednoznačný, ale obvykle to znamená barycentrickou únikovou rychlost méně hmotného tělesa. V gravitačních polích úniková rychlost označuje únikovou rychlost nulové hmotnosti zkušební částice vzhledem k barycentru hmot generujících pole. Ve většině situací zahrnujících kosmické lodě je rozdíl zanedbatelný. Pro hmotnost rovnou a Saturn V raketa, úniková rychlost vzhledem k odpalovací rampě je 253,5 dopoledne / s (8 nanometrů za rok) rychlejší než úniková rychlost vzhledem ke vzájemnému těžišti.^{[Citace je zapotřebí ]}

Výška trajektorií nižší rychlosti

Ignorování všech faktorů jiných než gravitační síly mezi tělem a objektem, objekt promítnutý svisle rychlostí ${displaystyle v}$ z povrchu sférického tělesa s únikovou rychlostí ${displaystyle v_ {e}}$ a poloměr ${displaystyle R}$ dosáhne maximální výšky ${displaystyle h}$ splnění rovnice^[11]

${displaystyle v = v_ {e} {sqrt {frac {h} {R + h}}},}$

který, řešení pro h výsledky v

${displaystyle h = {frac {x ^ {2}} {1-x ^ {2}}} R,}$

kde ${extstyle x = v / v_ {e}}$ je poměr původní rychlosti ${displaystyle v}$ na únikovou rychlost ${displaystyle v_ {e}.}$

Na rozdíl od únikové rychlosti je pro dosažení maximální výšky důležitý směr (svisle nahoru).

Trajektorie

Pokud objekt dosáhne přesně únikové rychlosti, ale není namířen přímo z planety, bude následovat zakřivenou cestu nebo trajektorii. Ačkoli tato trajektorie netvoří uzavřený tvar, lze ji označit jako oběžnou dráhu. Za předpokladu, že gravitace je jedinou významnou silou v systému, bude rychlost tohoto objektu v kterémkoli bodě trajektorie rovna únikové rychlosti v tom bodě kvůli zachování energie musí být její celková energie vždy 0, což znamená, že má vždy únikovou rychlost; viz odvození výše. Tvar trajektorie bude a parabola jehož ohnisko je umístěno ve středu hmoty planety. Skutečný únik vyžaduje kurz s trajektorií, která neprotíná planetu nebo její atmosféru, protože by to způsobilo havárii objektu. Když se vzdalujete od zdroje, tato cesta se nazývá uniknout z oběžné dráhy. Únikové dráhy jsou známé jako C3 = 0 oběžných drah. C3 je charakteristická energie, = −GM/2A, kde A je poloviční hlavní osa, který je nekonečný pro parabolické trajektorie.

Pokud má tělo rychlost větší než úniková, pak jeho dráha vytvoří a hyperbolická trajektorie a bude mít přebytečnou hyperbolickou rychlost, ekvivalentní extra energii, kterou tělo má. Poměrně malý přírůstek delta-proti nad to, co je potřeba ke zrychlení na únikovou rychlost, může mít za následek relativně velkou rychlost v nekonečnu. Některé orbitální manévry využít této skutečnosti. Například na místě, kde je úniková rychlost 11,2 km / s, přidání 0,4 km / s přinese hyperbolickou nadměrnou rychlost 3,02 km / s:

${displaystyle v_ {infty} = {sqrt {V ^ {2} - {v_ {e}} ^ {2}}} = {sqrt {(11,6 {ext {km / s}}) ^ {2} - (11,2 {ext {km / s}}) ^ {2}}} přibližně 3,02 {ext {km / s}}.}$

Pokud těleso na kruhové oběžné dráze (nebo na periapsi eliptické oběžné dráhy) zrychlí ve svém směru jízdy na únikovou rychlost, bude bod zrychlení tvořit periapsu únikové dráhy. Případný směr jízdy bude 90 stupňů ke směru v bodě zrychlení. Pokud tělo zrychlí na únikovou rychlost, bude konečný směr jízdy pod menším úhlem a bude indikován jedním z asymptot hyperbolické dráhy, kterou nyní bere. To znamená, že načasování zrychlení je zásadní, pokud je záměrem uniknout určitým směrem.

Více těl

Při úniku ze složeného systému, jako je měsíc obíhající kolem planety nebo planeta obíhající kolem slunce, raketa, která odlétá únikovou rychlostí (${displaystyle v_ {e1}}$) pro první (obíhající) těleso (např. Země) nepůjde na nekonečnou vzdálenost, protože potřebuje ještě vyšší rychlost, aby uniklo gravitaci druhého tělesa (např. Slunce). V blízkosti Země bude trajektorie rakety vypadat parabolicky, ale bude stále gravitačně vázána na druhé těleso a vstoupí na eliptickou dráhu kolem tohoto tělesa s orbitální rychlostí podobnou prvnímu tělesu.

Aby unikla gravitaci druhého těla, jakmile unikla z prvního těla, bude muset raketa cestovat únikovou rychlostí pro druhé tělo (${displaystyle v_ {e2}}$) (v orbitální vzdálenosti prvního těla). Když však raketa unikne prvnímu tělesu, bude mít stále stejnou orbitální rychlost kolem druhého tělesa, jakou má první těleso (${displaystyle v_ {o}}$). Takže jeho nadměrná rychlost při útěku z prvního těla bude muset být rozdílem mezi orbitální rychlostí a únikovou rychlostí. Při kruhové dráze je úniková rychlost √2 krát orbitální rychlost. Tedy celková úniková rychlost ${displaystyle v_ {te}}$ když opouští jedno tělo obíhající kolem sekundy a snaží se oběma uniknout, je za zjednodušených předpokladů:^[12]

${displaystyle v_ {te} = {sqrt {(v_ {e2} -v_ {o}) ^ {2} + v_ {e1} ^ {2}}} = {sqrt {left (kv_ {e2} ight) ^ { 2} + v_ {e1} ^ {2}}}}$

kde ${displaystyle k = 1- {frac {1} {sqrt {2}}} přibližně 0,2929}$ pro kruhové dráhy.

Seznam únikových rychlostí

Poslední dva sloupce budou přesně záviset na tom, kde je dosažena úniková rychlost na oběžné dráze, protože oběžné dráhy nejsou přesně kruhové (zejména Merkur a Pluto).

Odvození únikové rychlosti pomocí kalkulu

Nechat G být gravitační konstanta a nechte M být hmota Země (nebo jiné gravitační těleso) a m být hmotou unikajícího těla nebo střely. Na dálku r z těžiště cítí tělo přitažlivou sílu^[16]

${displaystyle F = G {frac {Mm} {r ^ {2}}}.}$

Práce vyžadovala pohyb těla na malou vzdálenost dr proti této síle je tedy dáno

${displaystyle dW = F, dr = -G {frac {Mm} {r ^ {2}}}, dr,}$

kde znaménko mínus označuje, že síla působí v opačném smyslu ${displaystyle dr}$.

Celková práce potřebná k pohybu těla z povrchu r₀ gravitačního těla do nekonečna je pak

${displaystyle W = int _ {r_ {0}} ^ {infty} -G {frac {Mm} {r ^ {2}}}, dr = -G {frac {Mm} {r_ {0}}} = - mgr_ {0}.}$

Toto je minimální požadovaná kinetická energie, aby bylo možné dosáhnout nekonečna, tedy úniková rychlost proti₀ splňuje

${displaystyle W + K = 0Rightarrow {frac {1} {2}} mv_ {0} ^ {2} = G {frac {Mm} {r_ {0}}},}$

což má za následek

${displaystyle v_ {0} = {sqrt {frac {2GM} {r_ {0}}}} = {sqrt {2gr_ {0}}}.}$

Viz také

Poznámky

Reference

• Roger R. Bate; Donald D. Mueller; Jerry E. White (1971). Základy astrodynamiky. New York: Dover Publications. ISBN  978-0-486-60061-1.

externí odkazy

• Kalkulačka únikové rychlosti
• Webová numerická kalkulačka únikové rychlosti