Specifická orbitální energie - Specific orbital energy

Část série na
Astrodynamika
Orbitální mechanika
Orbitální parametry Apsis Argument periapsis Azimut Excentricita Sklon Střední anomálie Orbitální uzly Poloviční hlavní osa Opravdová anomálie
Typy oběžné dráhy dvou těl tím, že excentricita Kruhová dráha Eliptická dráha Přeneste oběžnou dráhu (Oběžná dráha Hohmann Bi-eliptická přenosová dráha ) Parabolická dráha Hyperbolická oběžná dráha Radiální oběžná dráha Rozpadající se oběžná dráha
Rovnice Dynamické tření Úniková rychlost Keplerova rovnice Keplerovy zákony planetárního pohybu Oběžná doba Orbitální rychlost Povrchová gravitace Specifická orbitální energie Vis-viva rovnice
Nebeská mechanika
Gravitační vlivy Barycentrum Hill koule Poruchy Sféra vlivu
Oběžné dráhy N-těla Lagrangeovy body (Halo obíhá ) Lissajousovy dráhy Lyapunov obíhá
Inženýrství a efektivita
Předletová technika Hmotnostní poměr Frakce užitečného zatížení Hmotnostní podíl hnacího plynu Tsiolkovského raketová rovnice
Opatření pro účinnost Gravitační asistence Oberth účinek

V gravitační problém dvou těl, specifická orbitální energie ${ displaystyle epsilon}$ (nebo vis-viva energie) ze dvou obíhající tělesa je konstantní součet jejich vzájemných potenciální energie (${ displaystyle epsilon _ {p}}$) a jejich součet Kinetická energie (${ displaystyle epsilon _ {k}}$), děleno snížená hmotnost. Podle rovnice pro zachování orbitální energie (také označovaná jako rovnice vis-viva), nemění se s časem:^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle { begin {aligned} epsilon & = epsilon _ {k} + epsilon _ {p} & = { frac {v ^ {2}} {2}} - { frac { mu} {r}} = - { frac {1} {2}} { frac { mu ^ {2}} {h ^ {2}}} vlevo (1-e ^ {2} vpravo) = - { frac { mu} {2a}} konec {zarovnáno}}}$

kde

• ${ displaystyle v}$ je relativní orbitální rychlost;
• ${ displaystyle r}$ je orbitální vzdálenost mezi těly;
• ${ displaystyle mu = {G} (m_ {1} + m_ {2})}$ je součet standardní gravitační parametry těl;
• ${ displaystyle h}$ je specifický relativní moment hybnosti ve smyslu relativní moment hybnosti děleno redukovanou hmotou;
• ${ displaystyle e}$ je orbitální výstřednost;
• ${ displaystyle a}$ je poloviční hlavní osa.

Vyjadřuje se v J / kg = m².S⁻² nebo MJ / kg = km².S⁻². Pro eliptická dráha specifická orbitální energie je záporem dodatečné energie potřebné k zrychlení hmotnosti jednoho kilogramu na úniková rychlost (parabolická dráha ). Pro hyperbolická oběžná dráha, se rovná přebytečné energii ve srovnání s parabolickou dráhou. V tomto případě se specifická orbitální energie označuje také jako charakteristická energie.

Rovnice pro různé oběžné dráhy

Pro eliptická dráha, rovnice specifické orbitální energie v kombinaci s zachování specifického momentu hybnosti na jedné z oběžných drah apsidy, zjednodušuje na:^[1]

${ displaystyle epsilon = - { frac { mu} {2a}}}$

kde

• ${ displaystyle mu = G vlevo (m_ {1} + m_ {2} vpravo)}$ je standardní gravitační parametr;
• ${ displaystyle a}$ je poloviční hlavní osa oběžné dráhy.

Důkaz:

Pro eliptickou dráhu s specifický moment hybnosti h dána

${ displaystyle h ^ {2} = mu p = mu a vlevo (1-e ^ {2} vpravo)}$

používáme obecný tvar specifické rovnice orbitální energie,

${ displaystyle epsilon = { frac {v ^ {2}} {2}} - { frac { mu} {r}}}$

s relací, při které je relativní rychlost periapsis je

${ displaystyle v_ {p} ^ {2} = {h ^ {2} nad r_ {p} ^ {2}} = {h ^ {2} nad a ^ {2} (1-e) ^ { 2}} = { mu a left (1-e ^ {2} right) over a ^ {2} (1-e) ^ {2}} = { mu left (1-e ^ { 2} vpravo) nad (1-e) ^ {2}}}$

Tak se stane naše specifická rovnice orbitální energie

${ displaystyle epsilon = { mu nad a} { vlevo [{1-e ^ {2} nad 2 (1-e) ^ {2}} - {1 nad 1-e} vpravo] } = { mu nad a} { left [{(1-e) (1 + e) ​​ nad 2 (1-e) ^ {2}} - {1 nad 1-e} vpravo]} = { mu over a} { left [{1 + e over 2 (1-e)} - {2 over 2 (1-e)} right]} = { mu over a} { left [{e-1 over 2 (1-e)} right]}}$

a nakonec s posledním zjednodušením získáme:

${ displaystyle epsilon = - { mu nad 2a}}$

Pro parabolická dráha tato rovnice se zjednodušuje na

${ displaystyle epsilon = 0.}$

Pro hyperbolická trajektorie tato specifická orbitální energie je dána buď

${ displaystyle epsilon = { mu nad 2a}.}$

nebo stejné jako u elipsy, v závislosti na konvenci pro znaménko A.

V tomto případě se specifická orbitální energie označuje také jako charakteristická energie (nebo ${ displaystyle C_ {3}}$) a rovná se přebytku specifické energie ve srovnání s parabolickou dráhou.

Souvisí to s hyperbolická nadměrná rychlost ${ displaystyle v _ { infty}}$ (dále jen orbitální rychlost v nekonečnu)

${ displaystyle 2 epsilon = C_ {3} = proti _ { infty} ^ {2}.}$

Je to relevantní pro meziplanetární mise.

Pokud tedy vektor orbitální polohy (${ displaystyle mathbf {r}}$) a vektor orbitální rychlosti (${ displaystyle mathbf {v}}$) jsou známy na jednom místě a ${ displaystyle mu}$ je známo, pak lze vypočítat energii az ní pro jakoukoli jinou polohu orbitální rychlost.

Rychlost změny

Pro eliptickou dráhu je rychlost změny specifické orbitální energie vzhledem ke změně v polohlavní ose

${ displaystyle { frac { mu} {2a ^ {2}}}}$

kde

• ${ displaystyle mu = {G} (m_ {1} + m_ {2})}$ je standardní gravitační parametr;
• ${ displaystyle a , !}$ je poloviční hlavní osa oběžné dráhy.

V případě kruhových oběžných drah je tato rychlost polovinou gravitace na oběžné dráze. To odpovídá skutečnosti, že na takových drahách je celková energie polovinou potenciální energie, protože kinetická energie je minus jedna polovina potenciální energie.

Dodatečná energie

Pokud má centrální tělo poloměr R, pak je další specifická energie eliptické oběžné dráhy ve srovnání se stacionárním povrchem

${ displaystyle - { frac { mu} {2a}} + { frac { mu} {R}} = { frac { mu (2a-R)} {2aR}}}$

• Množství ${ displaystyle 2a-R}$ je výška, kterou elipsa zasahuje nad povrch, plus vzdálenost periapsis (vzdálenost, kterou elipsa přesahuje za střed Země). Pro Zemi a ${ displaystyle a}$ jen o málo víc než ${ displaystyle R}$ dodatečná specifická energie je ${ displaystyle (gR / 2)}$; což je kinetická energie horizontální složky rychlosti, tj. ${ displaystyle { frac {V ^ {2}} {2}} = { frac {gR} {2}}}$, ${ displaystyle V = { sqrt {gR}}}$.

Příklady

ISS

The Mezinárodní vesmírná stanice má oběžnou dobu 91,74 minut (5504 s), tedy poloviční hlavní osa je 6 738 km.

Energie je -29,6 MJ / kg: potenciální energie je -59,2 MJ / kg a kinetická energie 29.6 MJ / kg. Porovnejte s potenciální energií na povrchu, která je −62,6 MJ / kg. Další potenciální energie je 3,4 MJ / kg, celková energie navíc je 33,0 MJ / kg. Průměrná rychlost je 7,7 km / s, síť delta-v dosáhnout této oběžné dráhy je 8,1 km / s (skutečná delta-v je obvykle 1,5–2,0 km / s více pro atmosférický odpor a gravitační odpor ).

Nárůst na metr by byl 4,4 J / kg; tato míra odpovídá polovině místní gravitace 8,8 slečna².

Pro nadmořskou výšku 100 km (poloměr je 6471 km):

Energie je -30,8 MJ / kg: potenciální energie je -61,6 MJ / kg a kinetická energie 30.8 MJ / kg. Porovnejte s potenciální energií na povrchu, která je −62,6 MJ / kg. Další potenciální energie je 1,0 MJ / kg, celková energie navíc je 31,8 MJ / kg.

Nárůst na metr by byl 4,8 J / kg; tato míra odpovídá polovině místní gravitace 9,5 slečna². Rychlost je 7,8 km / s, čistá delta-v k dosažení této oběžné dráhy je 8,0 km / s.

Při zohlednění rotace Země je delta-v až 0,46 km / s méně (počínaje rovníkem a směrem na východ) nebo více (pokud jedete na západ).

Voyager 1

Pro Voyager 1, s ohledem na Slunce:

• ${ displaystyle mu = GM}$ = 132 712 440 018 km³.S⁻² je standardní gravitační parametr slunce
• r = 17 miliarda kilometrů
• v = 17,1 km / s

Proto:

${ displaystyle epsilon = epsilon _ {k} + epsilon _ {p} = { frac {v ^ {2}} {2}} - { frac { mu} {r}}}$ = 146 km².S⁻² - 8 km².S⁻² = 138 km².S⁻²

Tedy hyperbolická nadměrná rychlost (teoretická orbitální rychlost v nekonečnu) je dán vztahem

${ displaystyle v _ { infty} =}$ 16.6 km / s

Nicméně, Voyager 1 nemá dostatečnou rychlost k opuštění mléčná dráha. Vypočítaná rychlost platí daleko od Slunce, ale v takové poloze, že se potenciální energie vzhledem k Mléčné dráze jako celku změnila zanedbatelně, a to pouze v případě, že nedochází k silné interakci s nebeskými tělesy jinými než Sluncem.

Použití tahu

Převzít:

• A je zrychlení kvůli tah (časová sazba, při které delta-v je utraceno)
• G je síla gravitačního pole
• proti je rychlost rakety

Pak je časová rychlost změny specifické energie rakety ${ displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {a}}$: částka ${ displaystyle mathbf {v} cdot ( mathbf {a} - mathbf {g})}$ pro kinetickou energii a množství ${ displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {g}}$ pro potenciální energii.

Změna měrné energie rakety na jednotku změny delta-v je

${ displaystyle { frac { mathbf {v cdot a}} {| mathbf {a} |}}}$

což je |proti| krát kosinus úhlu mezi proti a A.

Při aplikaci delta-v ke zvýšení specifické orbitální energie se tak děje nejúčinněji, pokud A se aplikuje ve směru protia kdy |proti| je velký. Pokud je úhel mezi proti a G je tupý, například při startu a při přenosu na vyšší oběžnou dráhu, to znamená použít delta-v co nejdříve a při plné kapacitě. Viz také gravitační odpor. Když procházíte nebeským tělesem, znamená to použití tahu, když je nejblíže k tělu. Když se postupně zvětšuje eliptická dráha, znamená to použití tahu pokaždé, když se blíží periapsi.

Při použití delta-v na pokles specifické orbitální energie, to se děje nejúčinněji, pokud A se aplikuje ve směru opačném ke směru protia znovu, když |proti| je velký. Pokud je úhel mezi proti a G je akutní, například při přistání (na nebeském tělese bez atmosféry) a při přenosu na kruhovou oběžnou dráhu kolem nebeského tělesa při příletu zvenčí, to znamená použít delta-v co nejpozději. Když projíždíte kolem planety, znamená to použití tahu, když je nejbližší planetě. Když se postupně zmenšuje eliptická dráha, znamená to použití tahu pokaždé, když se blíží periapsi.

Li A je ve směru proti:

${ displaystyle Delta epsilon = int v , d ( Delta v) = int v , adt}$

Tangenciální rychlosti ve výšce

Viz také

• Specifická energetická změna raket
• Charakteristická energie C3 (zdvojnásobte specifickou orbitální energii)

Reference