Radiální trajektorie - Radial trajectory

v astrodynamika a nebeská mechanika A radiální trajektorie je Keplerova dráha s nulou moment hybnosti. Dva objekty v radiální trajektorii se pohybují přímo k sobě nebo od sebe v přímce.

Část série na
Astrodynamika
Orbitální mechanika
Orbitální parametry Apsis Argument periapsis Azimut Excentricita Sklon Střední anomálie Orbitální uzly Poloviční hlavní osa Opravdová anomálie
Typy oběžné dráhy dvou těl tím, že excentricita Kruhová dráha Eliptická dráha Přeneste oběžnou dráhu (Oběžná dráha Hohmann Bi-eliptická přenosová dráha ) Parabolická dráha Hyperbolická oběžná dráha Radiální oběžná dráha Rozpadající se oběžná dráha
Rovnice Dynamické tření Úniková rychlost Keplerova rovnice Keplerovy zákony planetárního pohybu Oběžná doba Orbitální rychlost Povrchová gravitace Specifická orbitální energie Vis-viva rovnice
Nebeská mechanika
Gravitační vlivy Barycentrum Hill koule Poruchy Sféra vlivu
Oběžné dráhy N-těla Lagrangeovy body (Halo obíhá ) Lissajousovy dráhy Lyapunov obíhá
Inženýrství a efektivita
Předletová technika Hmotnostní poměr Frakce užitečného zatížení Hmotnostní podíl hnacího plynu Tsiolkovského raketová rovnice
Opatření pro účinnost Gravitační asistence Oberth účinek

Klasifikace

Existují tři typy radiálních trajektorií (oběžných drah).^[1]

• Radiální eliptická trajektorie: oběžná dráha odpovídající části zdegenerované elipsy od okamžiku, kdy se těla navzájem dotýkají a pohybují se od sebe, dokud se navzájem nedotknou. Relativní rychlost obou objektů je menší než úniková rychlost. Toto je eliptická oběžná dráha s polo-menší osou = 0 a výstředností = 1. Ačkoli je výstřednost 1, nejde o parabolickou oběžnou dráhu. Pokud koeficient restituce ze dvou těles je 1 (dokonale elastická) je tato dráha periodická. Pokud je restituční koeficient menší než 1 (nepružný), je tato dráha neperiodická.
• Radiální parabolická trajektorie, neperiodická oběžná dráha, kde je relativní rychlost obou objektů vždy stejná jako úniková rychlost. Existují dva případy: těla se pohybují od sebe nebo k sobě.
• Radiální hyperbolická trajektorie: neperiodická oběžná dráha, kde relativní rychlost obou objektů vždy překračuje únikovou rychlost. Existují dva případy: těla se pohybují od sebe nebo k sobě. Toto je hyperbolická oběžná dráha s polo-menší osou = 0 a výstředností = 1. Ačkoli je výstřednost 1, nejedná se o parabolickou oběžnou dráhu.

Na rozdíl od standardních drah, které jsou klasifikovány podle orbitální výstřednost, radiální dráhy jsou klasifikovány podle specifická orbitální energie, konstantní součet celkové kinetické a potenciální energie vydělený snížená hmotnost:

${ displaystyle epsilon = { frac {v ^ {2}} {2}} - { frac { mu} {x}}}$

kde X je vzdálenost mezi středy mas, proti je relativní rychlost a ${ displaystyle mu = {G} vlevo (m_ {1} + m_ {2} vpravo)}$ je standardní gravitační parametr.

Další konstanta je dána vztahem:

${ displaystyle w = { frac {1} {x}} - { frac {v ^ {2}} {2 mu}} = { frac {- epsilon} { mu}}}$

• Pro eliptické trajektorie je w kladné. Je to inverzní k vzdálenost apoapse (maximální vzdálenost).
• Pro parabolické trajektorie je w nula.
• Pro hyperbolické trajektorie je w záporné, to je ${ displaystyle textstyle { frac {-v _ { infty} ^ {2}} {2 mu}}}$ kde ${ displaystyle textstyle v _ { infty}}$ je rychlost v nekonečné vzdálenosti.

Čas jako funkce vzdálenosti

Vzhledem k separaci a rychlosti kdykoli a celkové hmotnosti je možné polohu určit kdykoli jindy.

Prvním krokem je určení konstanty w. Pomocí znaménka w určete typ oběžné dráhy.

${ displaystyle w = { frac {1} {x_ {0}}} - { frac {v_ {0} ^ {2}} {2 mu}}}$

kde ${ displaystyle textstyle x_ {0}}$ a ${ displaystyle textstyle v_ {0}}$ jsou separace a relativní rychlost kdykoli.

Parabolická trajektorie

${ displaystyle t (x) = { sqrt { frac {2x ^ {3}} {9 mu}}}}$

kde t je čas od nebo do času, kdy by se obě hmoty, pokud by byly hmotami bodovými, shodovaly, a X je oddělení.

Tato rovnice platí pouze pro radiální parabolické trajektorie, viz obecné parabolické trajektorie Barkerova rovnice.

Eliptická trajektorie

${ displaystyle t (x, w) = { frac { arcsin vlevo ({ sqrt {w , x}} vpravo) - { sqrt {w , x (1-w , x) }}} { sqrt {2 mu , w ^ {3}}}}}$

kde t je čas od nebo do času, kdy by se obě hmoty, pokud by byly hmotami bodovými, shodovaly, a X je oddělení.

To je radiální Keplerova rovnice.^[2]

Viz také rovnice pro padající těleso.

Hyperbolická trajektorie

${ displaystyle t (x, w) = { frac {{ sqrt {(| w | x) ^ {2} + | w | x}} - ln left ({ sqrt {| w | x} } + { sqrt {1+ | w | x}} vpravo)} { sqrt {2 mu , | w | ^ {3}}}}}$

kde t je čas od nebo do času, kdy by se obě hmoty, pokud by byly hmotami bodovými, shodovaly, a X je oddělení.

Univerzální forma (libovolná trajektorie)

Radiální Keplerovu rovnici lze učinit „univerzální“ (platí pro všechny trajektorie):

${ displaystyle t (x, w) = lim _ {u to w} { frac { arcsin left ({ sqrt {u , x}} right) - { sqrt {u , x (1-u , x)}}} { sqrt {2 mu , u ^ {3}}}}}$

nebo rozšířením o výkonovou řadu:

${ displaystyle t (x, w) = { frac {1} { sqrt {2 mu}}} vlevo. left ({ frac {2} {3}} x ^ { frac {3} {2}} + { frac {1} {5}} wx ^ { frac {5} {2}} + { frac {3} {28}} w ^ {2} x ^ { frac {7 } {2}} + { frac {5} {72}} w ^ {3} x ^ { frac {9} {2}} + { frac {35} {704}} w ^ {4} x ^ { frac {11} {2}} cdots right) right | _ {- 1$

Radiální Keplerův problém (vzdálenost jako funkce času)

Problém nalezení oddělení dvou těles v daném čase, vzhledem k jejich oddělení a rychlosti v jiném čase, je známý jako Keplerův problém. Tato část řeší Keplerův problém pro radiální oběžné dráhy.

Prvním krokem je určení konstanty w. Pomocí znaménka w určete typ oběžné dráhy.

${ displaystyle w = { frac {1} {x_ {0}}} - { frac {v_ {0} ^ {2}} {2 mu}}}$

Kde ${ displaystyle textstyle x_ {0}}$ a ${ displaystyle textstyle v_ {0}}$ jsou separace a rychlost kdykoli.

Parabolická trajektorie

${ displaystyle x (t) = left ({ frac {9} {2}} mu t ^ {2} right) ^ { frac {1} {3}}}$

Viz také poloha jako funkce času na přímé únikové dráze.

Univerzální forma (libovolná trajektorie)

Používají se dvě mezilehlé veličiny: w a separace v čase t, která by těla měla, kdyby byla na parabolické trajektorii, str.

${ displaystyle w = { frac {1} {x_ {0}}} - { frac {v_ {0} ^ {2}} {2 mu}} quad { text {and}} quad p = left ({ frac {9} {2}} mu t ^ {2} right) ^ { frac {1} {3}}}$

Kde je čas, ${ displaystyle x_ {0}}$ je počáteční poloha, ${ displaystyle v_ {0}}$ je počáteční rychlost a ${ displaystyle mu = {G} vlevo (m_ {1} + m_ {2} vpravo)}$.

The inverzní radiální Keplerova rovnice je řešením radiálního Keplerova problému:

${ displaystyle x (t) = součet _ {n = 1} ^ { infty} left ( lim _ {r to 0} left [{ frac {w ^ {n-1} p ^ { n}} {n!}} { frac { mathrm {d} ^ {n-1}} { mathrm {d} r ^ {n-1}}} left (r ^ {n} left [ { frac {3} {2}} left ( arcsin left [{ sqrt {r}} right] - { sqrt {rr ^ {2}}} right) right] ^ {- { frac {2} {3}} n} doprava) doprava] doprava)}$

Vyhodnocení tohoto výnosu:

${ displaystyle x (t) = p - { frac {1} {5}} wp ^ {2} - { frac {3} {175}} w ^ {2} p ^ {3} - { frac {23} {7875}} w ^ {3} p ^ {4} - { frac {1894} {3931875}} w ^ {4} p ^ {5} - { frac {3293} {21896875}} w ^ {5} p ^ {6} - { frac {2418092} {62077640625}} w ^ {6} p ^ {7} cdots}$

Mocninné řady lze snadno rozlišovat po jednotlivých termínech. Opakovaná diferenciace dává vzorce pro rychlost, zrychlení, trhnutí, prasknutí atd.

Oběžná dráha uvnitř radiální hřídele

Dráha uvnitř radiální hřídele v jednotném sférickém tělese^[3] by bylo jednoduchý harmonický pohyb, protože gravitace uvnitř takového tělesa je úměrná vzdálenosti do středu. Pokud malé tělo vstoupí a / nebo opustí velké tělo na svém povrchu, oběžná dráha se změní z nebo na jednu z výše diskutovaných. Například, pokud se hřídel rozprostírá od povrchu k povrchu, je možná uzavřená oběžná dráha sestávající z částí dvou cyklů jednoduchého harmonického pohybu a částí dvou různých (ale symetrických) radiálních eliptických drah.

Viz také

• Keplerova rovnice
• Keplerův problém
• Seznam oběžných drah

Reference

• Cowell, Peter (1993), Řešení Keplerovy rovnice během tří století, William Bell.

externí odkazy

• Keplerova rovnice v Mathworld [1]