Bi-eliptický přenos - Bi-elliptic transfer

Bi-eliptický přenos z nízké kruhové počáteční oběžné dráhy (modrá) na vyšší kruhovou oběžnou dráhu (červená). Zvýšení na 1 způsobí, že plavidlo následuje zelenou napůl elipsu. Další podpora na 2 přináší oranžovou poloviční elipsu. Záporné zvýšení na 3 způsobí, že následuje červenou oběžnou dráhu.

v astronautika a letecké inženýrství, bi-eliptický přenos je orbitální manévr který se pohybuje a kosmická loď od jednoho obíhat do jiného a může v určitých situacích vyžadovat méně delta-v než a Hohmann převod manévr.

Bi-eliptický přenos se skládá ze dvoueliptické dráhy. Od počáteční dráhy obíhá první vypalování delta-v, aby posílila kosmickou loď na první oběžnou dráhu pomocí apoapse v určitém okamžiku ${ displaystyle r_ {b}}$ daleko od centrální orgán. V tomto bodě druhé vypalování vysílá kosmickou loď na druhou eliptickou dráhu s periapsis v poloměru konečné požadované oběžné dráhy, kde se provádí třetí popálení, vstřikováním kosmické lodi na požadovanou oběžnou dráhu.^[1]

I když vyžadují o jedno spálení motoru více než Hohmannův převod a obecně vyžadují delší dobu jízdy, některé bi-eliptické převody vyžadují menší množství celkové delta-v než Hohmannův převod, když je poměr mezi konečným a počátečním poloviční hlavní osa je 11,94 nebo vyšší, v závislosti na zvolené střední poloviční hlavní ose.^[2]

Myšlenka bi-eliptické přenosové trajektorie byla první^{[Citace je zapotřebí ]} publikováno Ary Sternfeld v roce 1934.^[3]

Výpočet

Delta-v

Tři požadované změny rychlosti lze získat přímo z vis-viva rovnice

{ displaystyle v ^ {2} = mu left ({ frac {2} {r}} - { frac {1} {a}} right),}

kde

${ displaystyle v}$ je rychlost obíhajícího tělesa,
${ displaystyle mu = GM}$ je standardní gravitační parametr primárního těla,
${ displaystyle r}$ je vzdálenost obíhajícího tělesa od primárního, tj. poloměr,
${ displaystyle a}$ je poloviční hlavní osa oběžné dráhy těla.

V tom, co následuje,

${ displaystyle r_ {1}}$ je poloměr počáteční kruhové dráhy,
${ displaystyle r_ {2}}$ je poloměr konečné kruhové dráhy,
${ displaystyle r_ {b}}$ je společný poloměr apoapsis dvou přenosových elips a je volným parametrem manévru,
${ displaystyle a_ {1}}$ a ${ displaystyle a_ {2}}$ jsou semimajorové osy dvou eliptických přenosových drah, které jsou dány vztahem
${ displaystyle a_ {1} = { frac {r_ {1} + r_ {b}} {2}}}$ ,
${ displaystyle a_ {2} = { frac {r_ {2} + r_ {b}} {2}}}$ .

Počínaje počátečním kruhová dráha s poloměrem ${ displaystyle r_ {1}}$ (tmavě modrý kruh na obrázku vpravo), a postupovat hoření (na obrázku značka 1) umístí kosmickou loď na první eliptickou oběžnou dráhu (aqua napůl elipsa). Velikost požadovaného delta-v pro toto vypálení je

{ displaystyle Delta v_ {1} = { sqrt {{ frac {2 mu} {r_ {1}}} - { frac { mu} {a_ {1}}}}} - { sqrt { frac { mu} {r_ {1}}}}.}

Když je apoapse první přenosové elipsy dosažena na dálku ${ displaystyle r_ {b}}$ z primárního pole druhé prográdní popálení (značka 2) zvedne periapsius tak, aby odpovídal poloměru kruhové oběžné dráhy cíle, čímž se kosmická loď dostane na druhou eliptickou trajektorii (oranžová poloelipa). Velikost požadovaného delta-v pro druhé vypálení je

{ displaystyle Delta v_ {2} = { sqrt {{ frac {2 mu} {r_ {b}}} - { frac { mu} {a_ {2}}}}} - { sqrt {{ frac {2 mu} {r_ {b}}} - { frac { mu} {a_ {1}}}}}.}

A konečně, když konečná kruhová dráha s poloměrem ${ displaystyle r_ {2}}$ je dosaženo, a retrográdní hořet (značka 3) obíhá trajektorii na konečnou oběžnou dráhu cíle (červený kruh). Konečné retrográdní spálení vyžaduje delta-v velikosti

{ displaystyle Delta v_ {3} = { sqrt {{ frac {2 mu} {r_ {2}}} - { frac { mu} {a_ {2}}}}} - { sqrt { frac { mu} {r_ {2}}}}.}

Li ${ displaystyle r_ {b} = r_ {2}}$ , pak se manévr redukuje na Hohmannův převod (v tom případě ${ displaystyle Delta v_ {3}}$ lze ověřit na nulu). Bi-eliptický přenos tedy představuje obecnější třídu orbitálních přenosů, z nichž Hohmannův přenos je zvláštním případem se dvěma impulsy.

Bi-parabolický přenos z nízké kruhové počáteční oběžné dráhy (tmavě modrá) na vyšší kruhovou oběžnou dráhu (červená)

Maximální možné úspory lze vypočítat za předpokladu, že to ${ displaystyle r_ {b} = infty}$ , v tom případě celkem ${ displaystyle Delta v}$ zjednodušuje na ${ displaystyle { sqrt { mu / r_ {1}}} vlevo ({ sqrt {2}} - 1 vpravo) vlevo (1 + { sqrt {r_ {1} / r_ {2}} }že jo)}$ . V tomto případě se také hovoří o a biparabolický transfer, protože dvě trajektorie přenosu již nejsou elipsy, ale paraboly. Doba přenosu se také zvyšuje do nekonečna.

Čas přenosu

Stejně jako Hohmannův přenos tvoří obě přenosové dráhy použité při bi-eliptickém přenosu přesně jednu polovinu eliptické dráhy. To znamená, že doba potřebná k provedení každé fáze přenosu je polovina orbitální doby každé elipsy přenosu.

Použití rovnice pro oběžná doba a zápis shora,

{ displaystyle T = 2 pi { sqrt { frac {a ^ {3}} { mu}}}.}

Celková doba přenosu ${ displaystyle t}$ je součet časů potřebných pro každou poloviční oběžnou dráhu. Proto:

{ displaystyle t_ {1} = pi { sqrt { frac {a_ {1} ^ {3}} { mu}}} quad { text {a}} quad t_ {2} = pi { sqrt { frac {a_ {2} ^ {3}} { mu}}},}

a nakonec:

{ displaystyle t = t_ {1} + t_ {2}.}

Srovnání s převodem Hohmann

Delta-v

Delta-v požadováno pro Hohmann (silná černá křivka) a bi-eliptické převody (barevné křivky) mezi dvěma kruhovými drahami jako funkce poměru jejich poloměrů

Obrázek ukazuje součet ${ displaystyle Delta v}$ nutné k přenosu z kruhové oběžné dráhy o poloměru ${ displaystyle r_ {1}}$ na jinou kruhovou oběžnou dráhu o poloměru ${ displaystyle r_ {2}}$ . The ${ displaystyle Delta v}$ je zobrazen normalizovaný na orbitální rychlost na počáteční oběžné dráze, ${ displaystyle v_ {1}}$ , a je vyneseno jako funkce poměru poloměrů konečné a počáteční dráhy, ${ displaystyle R equiv r_ {2} / r_ {1}}$ ; to se děje tak, že srovnání je obecné (tj. není závislé na konkrétních hodnotách ${ displaystyle r_ {1}}$ a ${ displaystyle r_ {2}}$ , pouze na jejich poměru).^[2]

Tlustá černá křivka označuje ${ displaystyle Delta v}$ pro Hohmannův přenos, zatímco tenčí barevné křivky odpovídají bi-eliptickým přenosům s různými hodnotami parametru ${ displaystyle alpha equiv r_ {b} / r_ {1}}$ , definovaný jako poloměr apoapsis ${ displaystyle r_ {b}}$ eliptické pomocné dráhy se normalizoval na poloměr počáteční dráhy a označil se vedle křivek. Vložka ukazuje detail oblasti, kde bi-eliptické křivky poprvé procházejí Hohmannovou křivkou.

Jeden vidí, že Hohmannův přenos je vždy účinnější, pokud je poměr poloměrů ${ displaystyle R}$ je menší než 11,94. Na druhou stranu, pokud je poloměr konečné oběžné dráhy více než 15,58krát větší než poloměr počáteční oběžné dráhy, pak jakýkoli bi-eliptický přenos, bez ohledu na jeho poloměr apoapse (pokud je větší než poloměr konečné orbita), vyžaduje méně ${ displaystyle Delta v}$ než převod Hohmann. Mezi poměry 11,94 a 15,58, který přenos je nejlepší, závisí na vzdálenosti apoapse ${ displaystyle r_ {b}}$ . Pro všechny dané ${ displaystyle R}$ v tomto rozsahu je hodnota ${ displaystyle r_ {b}}$ nad nímž je bi-eliptický přenos lepší a pod nímž je lepší Hohmannův přenos. V následující tabulce je uvedena hodnota ${ displaystyle alpha equiv r_ {b} / r_ {1}}$ což má za následek lepší bi-eliptický přenos pro některé vybrané případy.^[4]

Minimální ${ displaystyle alpha equiv r_ {b} / r_ {1}}$ tak, že bi-eliptický přenos potřebuje méně ${ displaystyle Delta v}$ ^[5]
Poměr poloměrů, ${ displaystyle { frac {r_ {2}} {r_ {1}}}}$	Minimální ${ displaystyle alpha equiv { frac {r_ {b}} {r_ {1}}}}$	Komentáře
<11.94	N / A	Přenos Hohmann je vždy lepší
11.94	${ displaystyle infty}$	Bi-parabolický přenos
12	815.81
13	48.90
14	26.10
15	18.19
15.58	15.58
>15.58	${ displaystyle> { frac {r_ {2}} {r_ {1}}}}$	Jakýkoli bi-eliptický přenos je lepší

Čas přenosu

Dlouhá doba přenosu bi-eliptického přenosu,

{ displaystyle t = pi { sqrt { frac {a_ {1} ^ {3}} { mu}}} + pi { sqrt { frac {a_ {2} ^ {3}} { mu}}},}

je hlavní nevýhodou tohoto manévru. Pro případ bi-parabolického přenosu se stává dokonce nekonečným.

Přenos Hohmann trvá méně než polovinu času, protože existuje pouze jedna přenosová půl elipsa, abych byl přesný,

{ displaystyle t = pi { sqrt { frac {a ^ {3}} { mu}}}.}

Všestrannost při kombinovaných manévrech

Zatímco bi-eliptický přenos má malé okno parametrů, kde je striktně lepší než Hohmannův převod, pokud jde o delta V pro rovinný přenos mezi kruhovými oběžnými drahami, úspory jsou poměrně malé a bi-eliptický přenos je mnohem větší pomoc, když používá se v kombinaci s určitými dalšími manévry.

Při apoapsi se kosmická loď pohybuje nízkou orbitální rychlostí a lze dosáhnout významných změn v periapsi za malé delta V náklady. Převody, které se podobají bi-eliptice, ale které při apoapsi zahrnují manévr změny roviny, mohou dramaticky ušetřit delta-V na misích, kde je třeba upravit rovinu i nadmořskou výšku, ve srovnání s provedením změny roviny na nízké kruhové dráze nad převod Hohmann.

Podobně je pád periapsis do atmosféry planetárního tělesa pro aerobreaking levný při rychlosti apoapse, ale umožňuje použití „volného“ tažení na pomoc při konečné cirkularizaci popálení na pokles apoapse; Ačkoli to přidává další fázi mise periapsis zvyšující se zpět z atmosféry, za určitých parametrů to může stát podstatně méně delta V než pouhé upuštění periapsis v jednom popálení z kruhové oběžné dráhy.

Příklad

Přenést z kruhové nízké oběžné dráhy Země pomocí r₀ = 6700 km na novou oběžnou dráhu s r₁ = 93 800 km používat Oběžná dráha Hohmann vyžaduje Δproti z 2825,02 + 1308,70 = 4133,72 m / s. Nicméně proto r₁ = 14r₀ > 11.94r₀, je možné to udělat lépe s bi-eliptickým přenosem. Pokud kosmická loď nejprve zrychlila na 3061,04 m / s, čímž dosáhla eliptické dráhy s apogee na r₂ = 40r₀ = 268 000 km, pak na apogee zrychlil dalších 608,825 m / s na novou oběžnou dráhu s perigeem na r₁ = 93 800 kma nakonec na perigeu této druhé oběžné dráhy se zpomalil o 447,662 m / s a vstoupil na závěrečnou kruhovou oběžnou dráhu, pak by celková Δv byla pouze 4 117,73 m / s, což je o 16,19 m / s (0,4%) méně.

Δproti úsporu lze dále zlepšit zvýšením mezilehlé apogee na úkor delší doby přenosu. Například apogee o 75.8r₀ = 507 688 km (1,3násobek vzdálenosti k Měsíci) by vedlo k 1% Δproti úspora při převodu Hohmann, ale vyžaduje dobu přepravy 17 dnů. Jako nepraktický extrémní příklad, apogee z 1757r₀ = 11 770 000 km (30násobek vzdálenosti k Měsíci) by vedlo k 2% Δproti úspora přes Hohmannův přenos, ale přenos by vyžadoval 4,5 roku (a v praxi by byl narušen gravitačními účinky jiných těles sluneční soustavy). Pro srovnání, převod Hohmann vyžaduje 15 hodin a 34 minut.

Δ*proti* pro různé orbitální převody
Typ		Hohmann	Bi-eliptické
Apogee (km)		93 800	268 000	507 688	11 770 000	∞
Hořet (slečna)	1	2825.02	3061.04	3123.62	3191.79	3194.89
	2	1308.70	608.825	351.836	16.9336	0
	3	0	447.662	616.926	842.322	853.870
Celkem (m / s)		4133.72	4117.53	4092.38	4051.04	4048.76
Hohmanna		100%	99.6%	99.0%	98.0%	97.94%

Δproti aplikovaný postupovat
Δproti aplikovaný retrográdní

Je zřejmé, že bi-eliptická oběžná dráha utrácí více své delta-v brzy (v prvním popálení). Tím se získá vyšší příspěvek k specifická orbitální energie a kvůli Oberth účinek, je zodpovědný za čisté snížení požadované delta-v.

Viz také

Reference

^ Curtis, Howard (2005). Orbitální mechanika pro studenty inženýrství. Elsevier. str. 264. ISBN 0-7506-6169-0.
^ ^A ^b Vallado, David Anthony (2001). Základy astrodynamiky a aplikací. Springer. str. 318. ISBN 0-7923-6903-3.
^ Sternfeld, Ary J. [sic ] (1934-02-12), „Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps atraktivní centrální nebo partir d'une orbite keplérienne donnée“ [O povolených trajektoriích pro přiblížení se k centrálnímu atraktivnímu tělesu z dané oběžné dráhy Keplerian], Comptes rendus de l'Académie des sciences (ve francouzštině), Paříž, 198 (1): 711–713CS1 maint: extra interpunkce (odkaz).
^ Gobetz, F. W .; Doll, J. R. (květen 1969). „Průzkum impulzivních trajektorií“. AIAA Journal. Americký institut pro letectví a astronautiku. 7 (5): 801–834. Bibcode:1969AIAAJ ... 7..801D. doi:10.2514/3.5231.
^ Escobal, Pedro R. (1968). Metody astrodynamiky. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-24528-5.

[Curtis-1] Curtis, Howard (2005). Orbitální mechanika pro studenty inženýrství. Elsevier. str. 264. ISBN 0-7506-6169-0.

[Vallado-2] A ^b Vallado, David Anthony (2001). Základy astrodynamiky a aplikací. Springer. str. 318. ISBN 0-7923-6903-3.

[sternfeld1934-3] Sternfeld, Ary J. [sic ] (1934-02-12), „Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps atraktivní centrální nebo partir d'une orbite keplérienne donnée“ [O povolených trajektoriích pro přiblížení se k centrálnímu atraktivnímu tělesu z dané oběžné dráhy Keplerian], Comptes rendus de l'Académie des sciences (ve francouzštině), Paříž, 198 (1): 711–713CS1 maint: extra interpunkce (odkaz).

[4] Gobetz, F. W .; Doll, J. R. (květen 1969). „Průzkum impulzivních trajektorií“. AIAA Journal. Americký institut pro letectví a astronautiku. 7 (5): 801–834. Bibcode:1969AIAAJ ... 7..801D. doi:10.2514/3.5231.

[5] Escobal, Pedro R. (1968). Metody astrodynamiky. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-24528-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]