Dawsonova funkce - Dawson function - Wikipedia

Funkce Dawson,

{ displaystyle F (x) = D _ {+} (x)}

, kolem původu

Funkce Dawson,

{ displaystyle D _ {-} (x)}

, kolem původu

v matematika, Dawsonova funkce nebo Dawsonův integrál^[1](pojmenoval podle H. G. Dawson^[2]) je jednostranný Fourier – Laplace sinusová transformace Gaussovy funkce.

Definice

Funkce Dawson je definována jako buď:

{ displaystyle D _ {+} (x) = e ^ {- x ^ {2}} int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} , dt,}

také označován jako F(X) nebo D(X), nebo alternativně

{ displaystyle D _ {-} (x) = e ^ {x ^ {2}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} , dt. !}

Funkce Dawson je jednostranný Fourier-Laplace sinusová transformace z Gaussova funkce,

{ displaystyle D _ {+} (x) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2} / 4} , sin (xt ) , dt.}

Úzce souvisí s chybová funkce erf, as

{ displaystyle D _ {+} (x) = {{ sqrt { pi}} přes 2} e ^ {- x ^ {2}} operatorname {erfi} (x) = - {i { sqrt { pi}} přes 2} e ^ {- x ^ {2}} operatorname {erf} (ix)}

kde erfi je funkce imaginární chyby, erfi (X) = −i ERF (ix). Podobně,

{ displaystyle D _ {-} (x) = { frac { sqrt { pi}} {2}} e ^ {x ^ {2}} operatorname {erf} (x)}

pokud jde o funkci skutečné chyby, erf.

Pokud jde o erfi nebo Faddeevova funkce w(z) lze funkci Dawson rozšířit na celou složité letadlo:^[3]

{ displaystyle F (z) = {{ sqrt { pi}} přes 2} e ^ {- z ^ {2}} operatorname {erfi} (z) = { frac {i { sqrt { pi}}} {2}} left [e ^ {- z ^ {2}} - w (z) right],}

což zjednodušuje na

{ displaystyle D _ {+} (x) = F (x) = { frac { sqrt { pi}} {2}} operatorname {Im} [w (x)]}

{ displaystyle D _ {-} (x) = iF (-ix) = - { frac { sqrt { pi}} {2}} vlevo [e ^ {x ^ {2}} - w (-ix )že jo]}

opravdu X.

Pro |X| téměř nula, F(X) ≈ X. Pro |X| velký, F(X) ≈ 1/(2X).Přesněji řečeno, v blízkosti původu má rozšíření série

{ displaystyle F (x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} , 2 ^ {k}} {(2k + 1) !!} } , x ^ {2k + 1} = x - { frac {2} {3}} x ^ {3} + { frac {4} {15}} x ^ {5} - cdots,}

zatímco pro velké X má asymptotickou expanzi

{ displaystyle F (x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(2k-1) !!} {2 ^ {k + 1} x ^ {2k + 1}}} = { frac {1} {2x}} + { frac {1} {4x ^ {3}}} + { frac {3} {8x ^ {5}}} + cdots,}

kde n!! je dvojitý faktoriál.

F(X) splňuje diferenciální rovnici

{ displaystyle { frac {dF} {dx}} + 2xF = 1 , !}

s původním stavemF(0) = 0. V důsledku toho má extrémy pro

{ displaystyle F (x) = { frac {1} {2x}},}

což má za následek X = ±0.92413887... (OEIS: A133841), F(X) = ±0.54104422... (OEIS: A133842).

Následují inflexní body

{ displaystyle F (x) = { frac {x} {2x ^ {2} -1}},}

což má za následek X = ±1.50197526... (OEIS: A133843), F(X) = ±0.42768661... (OEIS: A245262). (Kromě triviálního inflexního bodu v X = 0, F(X) = 0.)

Vztah k Hilbertově transformaci Gaussian

The Hilbertova transformace Gaussian je definován jako

{ displaystyle H (y) = pi ^ {- 1} operatorname {PV} int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {yx }} , dx}

P.V. označuje Hodnota Cauchyho jistiny a omezujeme se na skutečné ${ displaystyle y}$ . ${ displaystyle H (y)}$ může souviset s funkcí Dawson následujícím způsobem. Uvnitř integrálu hlavní hodnoty můžeme zacházet ${ displaystyle 1 / u}$ jako zobecněná funkce nebo distribuce a použijte Fourierovu reprezentaci

{ displaystyle {1 over u} = int _ {0} ^ { infty} dk , sin ku = int _ {0} ^ { infty} dk , operatorname {Im} e ^ { iku}}

S ${ displaystyle 1 / u = 1 / (y-x)}$ , použijeme exponenciální vyjádření ${ displaystyle sin (ku)}$ a vyplňte čtverec s ohledem na ${ displaystyle x}$ najít

{ displaystyle pi H (y) = operatorname {Im} int _ {0} ^ { infty} dk , exp [-k ^ {2} / 4 + iky] int _ {- infty } ^ { infty} dx , exp [- (x + ik / 2) ^ {2}]}

Můžeme přesunout integrál ${ displaystyle x}$ ke skutečné ose a dává ${ displaystyle pi ^ {1/2}}$ . Tím pádem

{ displaystyle pi ^ {1/2} H (y) = operatorname {Im} int _ {0} ^ { infty} dk , exp [-k ^ {2} / 4 + iky]}

Dokončujeme náměstí s ohledem na ${ displaystyle k}$ a získat

{ displaystyle pi ^ {1/2} H (y) = e ^ {- y ^ {2}} operatorname {Im} int _ {0} ^ { infty} dk , exp [- ( k / 2-iy) ^ {2}]}

Proměnné měníme na ${ displaystyle u = ik / 2 + y}$ :

{ displaystyle pi ^ {1/2} H (y) = - 2e ^ {- y ^ {2}} operatorname {Im} i int _ {y} ^ {i infty + y} du e ^ {u ^ {2}}}

Integrál lze provést jako obrysový integrál kolem obdélníku v komplexní rovině. Převzetí imaginární části výsledku dává

{ displaystyle H (y) = 2 pi ^ {- 1/2} F (y)}

kde ${ displaystyle F (y)}$ je Dawsonova funkce, jak je definována výše.

Hilbertova transformace ${ displaystyle x ^ {2n} e ^ {- x ^ {2}}}$ souvisí také s funkcí Dawson. Vidíme to s technikou diferenciace uvnitř integrálního znaménka. Nechat

{ displaystyle H_ {n} = pi ^ {- 1} operatorname {PV} int _ {- infty} ^ { infty} { frac {x ^ {2n} e ^ {- x ^ {2 }}} {yx}} , dx}

Představit

{ displaystyle H_ {a} = pi ^ {- 1} operatorname {PV} int _ {- infty} ^ { infty} {e ^ {- ax ^ {2}} přes yx} , dx}

The nth derivát je

{ displaystyle { částečné ^ {n} H_ {a} nad částečné a ^ {n}} = (- 1) ^ {n} pi ^ {- 1} operatorname {PV} int _ {- infty} ^ { infty} { frac {x ^ {2n} e ^ {- ax ^ {2}}} {yx}} , dx}

My tedy nacházíme

{ displaystyle left.H_ {n} = (- 1) ^ {n} { frac { částečné ^ {n} H_ {a}} { částečné a ^ {n}}} pravé | _ {a = 1}}

Nejprve se provedou derivace, poté se výsledek vyhodnotí v ${ displaystyle a = 1}$ . Změna proměnné také dává ${ displaystyle H_ {a} = 2 pi ^ {- 1/2} F (y { sqrt {a}})}$ . Od té doby ${ displaystyle F '(y) = 1-2yF (y)}$ , můžeme psát ${ displaystyle H_ {n} = P_ {1} (y) + P_ {2} (y) F (y)}$ kde ${ displaystyle P_ {1}}$ a ${ displaystyle P_ {2}}$ jsou polynomy. Například, ${ displaystyle H_ {1} = - pi ^ {- 1/2} y + 2 pi ^ {- 1/2} y ^ {2} F (y)}$ . Alternativně, ${ displaystyle H_ {n}}$ lze vypočítat pomocí relace opakování (pro ${ displaystyle n geq 0}$ )

{ displaystyle H_ {n + 1} (y) = y ^ {2} H_ {n} (y) - { frac {(2n-1) !!} {{ sqrt { pi}} 2 ^ { n}}} y.}

Reference

^ Temme, N. M. (2010), „Chybové funkce, Dawsonova a Fresnelova integrace“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, PAN 2723248
^ Dawson, H. G. (1897). "Na číselnou hodnotu ${ displaystyle textstyle int _ {0} ^ {h} exp (x ^ {2}) , dx}$ ". Proceedings of the London Mathematical Society. s1-29 (1): 519–522. doi:10.1112 / plms / s1-29.1.519.
^ Mofreh R. Zaghloul a Ahmed N. Ali, "Algoritmus 916: Výpočet funkcí Faddeyeva a Voigt," ACM Trans. Matematika. Měkký. 38 (2), 15 (2011). Předtisk k dispozici na arXiv: 1106.0151.

externí odkazy

gsl_sf_dawson v Vědecká knihovna GNU
libcerf, numerická knihovna C pro komplexní chybové funkce, poskytuje funkci voigt (x, sigma, gama) s přesností přibližně 13–14 číslic. Je založen na Faddeevova funkce jak je implementováno v Balíček MIT Faddeeva
Dawsonův integrál (na Mathworld)
Chybové funkce

[1] Temme, N. M. (2010), „Chybové funkce, Dawsonova a Fresnelova integrace“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, PAN 2723248

[2] Dawson, H. G. (1897). "Na číselnou hodnotu ${ displaystyle textstyle int _ {0} ^ {h} exp (x ^ {2}) , dx}$ ". Proceedings of the London Mathematical Society. s1-29 (1): 519–522. doi:10.1112 / plms / s1-29.1.519.

[3] Mofreh R. Zaghloul a Ahmed N. Ali, "Algoritmus 916: Výpočet funkcí Faddeyeva a Voigt," ACM Trans. Matematika. Měkký. 38 (2), 15 (2011). Předtisk k dispozici na arXiv: 1106.0151.

[1]

[2]

[3]