Q-funkce - Q-function

Graf funkce Q.

v statistika, Q-funkce je funkce rozdělení ocasu z standardní normální rozdělení.^[1][2] Jinými slovy, ${ displaystyle Q (x)}$ je pravděpodobnost, že normální (Gaussian) náhodná proměnná získá hodnotu větší než ${ displaystyle x}$ standardní odchylky. Ekvivalentně ${ displaystyle Q (x)}$ je pravděpodobnost, že standardní normální náhodná proměnná má hodnotu větší než ${ displaystyle x}$.

Li ${ displaystyle Y}$ je Gaussova náhodná proměnná se střední hodnotou ${ displaystyle mu}$ a rozptyl ${ displaystyle sigma ^ {2}}$, pak ${ displaystyle X = { frac {Y- mu} { sigma}}}$ je standardní normální a

${ displaystyle P (Y> y) = P (X> x) = Q (x)}$

kde ${ displaystyle x = { frac {y- mu} { sigma}}}$.

Další definice Q-funkce, z nichž všechny jsou jednoduché transformace normálu kumulativní distribuční funkce, jsou také používány příležitostně.^[3]

Kvůli jeho vztahu k kumulativní distribuční funkce normálního rozdělení, Q-funkce může být také vyjádřena jako chybová funkce, což je důležitá funkce v aplikované matematice a fyzice.

Definice a základní vlastnosti

Formálně Q-funkce je definována jako

${ displaystyle Q (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {x} ^ { infty} exp left (- { frac {u ^ {2} } {2}} vpravo) , du.}$

Tím pádem,

${ displaystyle Q (x) = 1-Q (-x) = 1- Phi (x) , !,}$

kde ${ displaystyle Phi (x)}$ je kumulativní distribuční funkce standardního normálního Gaussova rozdělení.

The Q-funkce může být vyjádřena jako chybová funkce nebo doplňkovou chybovou funkci, jako^[2]

${ displaystyle { begin {aligned} Q (x) & = { frac {1} {2}} left ({ frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {x / { sqrt {2}}} ^ { infty} exp left (-t ^ {2} right) , dt right) & = { frac {1} {2}} - { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right) ~~ { text {-or -}} & = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right). End {aligned}}}$

Alternativní forma Q-funkce známá jako Craigův vzorec je po svém objeviteli vyjádřena jako:^[4]

${ displaystyle Q (x) = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} exp left (- { frac {x ^ { 2}} {2 sin ^ {2} theta}} right) d theta.}$

Tento výraz je platný pouze pro kladné hodnoty X, ale lze jej použít ve spojení s Q(X) = 1 − Q(−X) získat Q(X) pro záporné hodnoty. Tato forma je výhodná v tom, že rozsah integrace je pevný a konečný.

Craigův vzorec byl později rozšířen o Behnad (2020)^[5] pro Q-funkce součtu dvou nezáporných proměnných takto:

${ displaystyle Q (x + y) = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} exp left (- { frac {x ^ {2}} {2 sin ^ {2} theta}} - { frac {y ^ {2}} {2 cos ^ {2} theta}} right) d theta, quad x , y geqslant 0.}$

Hranice a aproximace

• The Q-funkce není základní funkce. Hranice však, kde ${ displaystyle phi (x)}$ je funkce hustoty standardního normálního rozdělení,^[6]

${ displaystyle left ({ frac {x} {1 + x ^ {2}}} right) phi (x) 0,}$

se stávají stále těsnějšími pro velké X, a jsou často užitečné.

Za použití substituce proti =u²/ 2, horní mez je odvozena takto:

${ displaystyle Q (x) = int _ {x} ^ { infty} phi (u) , du < int _ {x} ^ { infty} { frac {u} {x}} phi (u) , du = int _ { frac {x ^ {2}} {2}} ^ { infty} { frac {e ^ {- v}} {x { sqrt {2 pi }}}} , dv = - { biggl.} { frac {e ^ {- v}} {x { sqrt {2 pi}}}} { biggr |} _ { frac {x ^ {2}} {2}} ^ { infty} = { frac { phi (x)} {x}}.}$

Podobně pomocí ${ displaystyle phi '(u) = - u phi (u)}$ a pravidlo kvocientu,

${ displaystyle left (1 + { frac {1} {x ^ {2}}} right) Q (x) = int _ {x} ^ { infty} left (1 + { frac { 1} {x ^ {2}}} vpravo) phi (u) , du> int _ {x} ^ { infty} vlevo (1 + { frac {1} {u ^ {2} }} right) phi (u) , du = - { biggl.} { frac { phi (u)} {u}} { biggr |} _ {x} ^ { infty} = { frac { phi (x)} {x}}.}$

Řešení pro Q(X) poskytuje dolní mez.

The geometrický průměr horní a dolní meze poskytuje vhodnou aproximaci pro ${ displaystyle Q (x)}$:

${ displaystyle Q (x) přibližně { frac { phi (x)} { sqrt {1 + x ^ {2}}}}, qquad x geq 0.}$

• Přísnější hranice a aproximace ${ displaystyle Q (x)}$ lze také získat optimalizací následujícího výrazu ^[6]

${ displaystyle { tilde {Q}} (x) = { frac { phi (x)} {(1-a) x + a { sqrt {x ^ {2} + b}}}}.}$

Pro ${ displaystyle x geq 0}$, nejlepší horní mez je dána ${ displaystyle a = 0,344}$ a ${ displaystyle b = 5,334}$ s maximální absolutní relativní chybou 0,44%. Nejlepší aproximace je dána také ${ displaystyle a = 0,339}$ a ${ displaystyle b = 5,510}$ s maximální absolutní relativní chybou 0,27%. Nakonec je nejlepší dolní mez dána vztahem ${ displaystyle a = 1 / pi}$ a ${ displaystyle b = 2 pi}$ s maximální absolutní relativní chybou 1,17%.

• The Černoff svázán z Q-funkce je

${ displaystyle Q (x) leq e ^ {- { frac {x ^ {2}} {2}}}, qquad x> 0}$

• Vylepšené exponenciální hranice a čistá exponenciální aproximace jsou ^[7]

${ displaystyle Q (x) leq { tfrac {1} {4}} e ^ {- x ^ {2}} + { tfrac {1} {4}} e ^ {- { frac {x ^ {2}} {2}}} leq { tfrac {1} {2}} e ^ {- { frac {x ^ {2}} {2}}}, qquad x> 0}$

${ displaystyle Q (x) přibližně { frac {1} {12}} e ^ {- { frac {x ^ {2}} {2}}} + { frac {1} {4}} e ^ {- { frac {2} {3}} x ^ {2}}, qquad x> 0}$

• Výše uvedené zobecnily Tanash & Riihonen (2020)^[8], který to ukázal ${ displaystyle Q (x)}$ lze přesně přiblížit nebo ohraničit

${ displaystyle { tilde {Q}} (x) = součet _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} e ^ {- b_ {n} x ^ {2}}.}$

Zejména představili systematickou metodiku řešení numerických koeficientů ${ displaystyle {(a_ {n}, b_ {n}) } _ {n = 1} ^ {N}}$ že výnos a minimax přibližné nebo vázané: ${ displaystyle Q (x) přibližně { tilde {Q}} (x)}$, ${ displaystyle Q (x) leq { tilde {Q}} (x)}$nebo ${ displaystyle Q (x) geq { tilde {Q}} (x)}$ pro ${ displaystyle x geq 0}$. S příkladem koeficientů uvedených v tabulce pro ${ displaystyle N = 20}$, chyby relativní a absolutní aproximace jsou menší než ${ displaystyle 2.831 cdot 10 ^ {- 6}}$ a ${ displaystyle 1.416 cdot 10 ^ {- 6}}$, resp. Koeficienty ${ displaystyle {(a_ {n}, b_ {n}) } _ {n = 1} ^ {N}}$ pro mnoho variací exponenciálních aproximací a hranic až ${ displaystyle N = 25}$ byly uvolněny pro otevřený přístup jako komplexní datová sada.^[9]

• Další přiblížení ${ displaystyle Q (x)}$ pro ${ displaystyle x v [0, infty)}$ je dán Karagiannidis & Lioumpas (2007)^[10] který ukázal vhodnou volbu parametrů ${ displaystyle {A, B }}$ že

${ displaystyle f (x; A, B) = { frac { vlevo (1-e ^ {- Axe} vpravo) e ^ {- x ^ {2}}} {B { sqrt { pi} } x}} přibližně operatorname {erfc} vlevo (x vpravo).}$

Absolutní chyba mezi ${ displaystyle f (x; A, B)}$ a ${ displaystyle operatorname {erfc} (x)}$ přes rozsah ${ displaystyle [0, R]}$ je minimalizován hodnocením

${ displaystyle {A, B } = { podmnožina { {A, B }} { arg min}} { frac {1} {R}} int _ {0} ^ {R} | f (x; A, B) - operatorname {erfc} (x) | dx.}$

Použitím ${ displaystyle R = 20}$ a numericky integrovat, zjistili, že došlo k minimální chybě, když ${ displaystyle {A, B } = {1.98,1.135 },}$ což poskytlo dobrou aproximaci pro ${ displaystyle forall x geq 0.}$

Nahrazení těchto hodnot a použití vztahu mezi ${ displaystyle Q (x)}$ a ${ displaystyle operatorname {erfc} (x)}$ shora dává

${ displaystyle Q (x) přibližně { frac { vlevo (1-e ^ {- 1,98x} vpravo) e ^ {- { frac {x ^ {2}} {2}}}} {1,135 { sqrt {2 pi}} x}}, x geq 0.}$

• Těsnější a přitažlivější aproximace ${ displaystyle Q (x)}$ pro pozitivní argumenty ${ displaystyle x v [0, infty)}$ je dáno López-Benítez & Casadevall (2011)^[11] na základě exponenciální funkce druhého řádu:

${ displaystyle Q (x) přibližně e ^ {- ax ^ {2} -bx-c}, qquad x geq 0.}$

Přizpůsobovací koeficienty ${ displaystyle (a, b, c)}$ lze optimalizovat v libovolném požadovaném rozsahu argumentů, aby se minimalizoval součet čtvercových chyb (${ displaystyle a = 0,3842}$, ${ displaystyle b = 0,7640}$, ${ displaystyle c = 0,6964}$ pro ${ displaystyle x v [0,20]}$) nebo minimalizovat maximální absolutní chybu (${ displaystyle a = 0,4920}$, ${ displaystyle b = 0,2887}$, ${ displaystyle c = 1,1893}$ pro ${ displaystyle x v [0,20]}$). Tato aproximace nabízí některé výhody, jako je dobrý kompromis mezi přesností a analytickou použitelností (například rozšíření libovolné síly ${ displaystyle Q (x)}$ je triviální a nemění algebraickou formu aproximace).

Inverzní Q

Inverzní Q-funkce může souviset s inverzní chybové funkce:

${ displaystyle Q ^ {- 1} (y) = { sqrt {2}} mathrm {erf} ^ {- 1} (1–2 roky) = { sqrt {2}} mathrm {erfc} ^ {- 1} (2r)}$

Funkce ${ displaystyle Q ^ {- 1} (y)}$ nachází uplatnění v digitální komunikaci. Obvykle se vyjadřuje v dB a obecně volané Q-faktor:

${ displaystyle mathrm {Q { text {-}} faktor} = 20 log _ {10} ! left (Q ^ {- 1} (y) right) ! ~ mathrm {dB}}$

kde y je bitová chybovost (BER) digitálně modulovaného analyzovaného signálu. Například pro QPSK v aditivním bílém gaussovském šumu se výše definovaný Q-faktor shoduje s hodnotou v dB odstup signálu od šumu která poskytuje bitovou chybovost rovnou y.

Faktor Q vs. bitová chybovost (BER).

Hodnoty

The Q-funkce je dobře uvedena v tabulce a lze ji vypočítat přímo ve většině matematických softwarových balíčků, jako je R a ty, které jsou k dispozici v Krajta, MATLAB a Mathematica. Některé hodnoty Q-funkce jsou uvedeny níže pro referenci.

Zobecnění na vysoké dimenze

The Q-funkce lze zobecnit na vyšší rozměry:^[12]

${ displaystyle Q ( mathbf {x}) = mathbb {P} ( mathbf {X} geq mathbf {x}),}$

kde ${ displaystyle mathbf {X} sim { mathcal {N}} ( mathbf {0}, , Sigma)}$ následuje vícerozměrné normální rozdělení s kovariancí ${ displaystyle Sigma}$ a prahová hodnota má formu${ displaystyle mathbf {x} = gama Sigma mathbf {l} ^ {*}}$ pro nějaký pozitivní vektor ${ displaystyle mathbf {l} ^ {*}> mathbf {0}}$ a pozitivní konstanta ${ displaystyle gamma> 0}$. Stejně jako v jednorozměrném případě neexistuje žádný jednoduchý analytický vzorec pro Q-funkce. Nicméně Q-funkce může být arbitrárně dobře tak jako ${ displaystyle gamma}$ se zvětšuje a zvětšuje.^[13][14]

Reference