Goodwin – Statonův integrál - Goodwin–Staton integral - Wikipedia

V matematice Goodwin – Statonův integrál je definován jako:^[1]

{ displaystyle G (z) = int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2}}} {t + z}} , dt}

Splňuje následující třetí řád nelineární diferenciální rovnice ：

{ displaystyle 4w (z) +8 , z { frac {d} {dz}} w (z) + (2 + 2 , z ^ {2}) { frac {d ^ {2}} { dz ^ {2}}} w (z) + z { frac {d ^ {3}} {dz ^ {3}}} w left (z right) = 0}

Vlastnosti

Symetrie:

{ displaystyle G (-z) = - G (z)}

Rozšíření pro malé z:

{ displaystyle { begin {aligned} G (z) = {} & { Big (} 1- gamma - ln (z ^ {2}) - i operatorname {csgn} (iz ^ {2}) pi + { frac {2i} { sqrt { pi}}} z [5pt] & qquad {} + (- 2+ gamma + ln (z ^ {2}) + i operatorname {csgn} (iz ^ {2}) pi { Big)} z ^ {2} - { frac {4i} {3 { sqrt { pi}}}} z ^ {3} [5 bodů ] & qquad {} + left ({ frac {5} {4}} - { frac {1} {2}} gamma - { frac {1} {2}} ln (z ^ { 2}) - { frac {1} {2}} i operatorname {csgn} (iz ^ {2}) pi right) z ^ {4} + O (z ^ {5}))) end { zarovnaný}}}

^ Frank William John Olver (ed.), N. M. Temme (contr. kapitoly), NIST Handbook of Mathematical Functions, kapitola 7, str. 160,Cambridge University Press 2010