Erdőovo číslo - Erdős number

Paul Erdős v roce 1992

The Erdőovo číslo (Maďarský:[ˈƐrdøːʃ]) popisuje „vzdálenost pro spolupráci“ mezi matematikem Paul Erdős a další osoba, měřeno autorstvím matematické práce. Stejný princip byl použit v jiných oblastech, kde konkrétní jednotlivec spolupracoval s velkým a širokým počtem vrstevníků.

Přehled

Paul Erdős (1913–1996) byl vlivný maďarský matematik, který v druhé polovině svého života strávil spoustu času psaním článků s velkým počtem kolegů a pracoval na řešení vynikajících matematických problémů.[1] Během svého života publikoval více prací (minimálně 1525[2]) než kterýkoli jiný matematik v historii.[1] (Leonhard Euler publikoval více stránek matematiky celkem, ale méně samostatných prací: asi 800.)[3] Erdős strávil velkou část svého pozdějšího života žijícím v kufru a navštívil svých více než 500 spolupracovníků po celém světě.

Myšlenka čísla Erdős byla původně vytvořena přáteli matematika jako pocta jeho obrovskému výkonu. Později se dostalo do popředí jako nástroj ke studiu spolupráce matematiků při hledání odpovědí na nevyřešené problémy. Několik projektů se věnuje studiu konektivity mezi výzkumnými pracovníky s využitím čísla Erdős jako zástupce.[4] Například Erdős grafy spolupráce nám může říci, jak se autoři shlukují, jak se v průběhu času vyvíjí počet spoluautorů na článek nebo jak se šíří nové teorie.[5]

Několik studií ukázalo, že přední matematici mívají zvláště nízká Erdősova čísla.[6] Střední Erdőův počet Polní medailisté je 3. Pouze 7 097 (asi 5% matematiků s cestou spolupráce) má Erdőův počet 2 nebo nižší.[7] Jak čas plyne, nejmenší Erdőovo číslo, kterého lze ještě dosáhnout, se bude nutně zvyšovat, protože matematici s nízkým Erdőovým počtem umírají a jsou pro spolupráci nedostupní. Přesto mohou mít historické postavy nízká čísla Erdős. Například renomovaný indický matematik Srinivasa Ramanujan má číslo Erdős pouze 3 (až G. H. Hardy, Erdős číslo 2), přestože Paulovi Erdősovi bylo pouhých 7 let, když zemřel Ramanujan.[8]

Definice a aplikace v matematice

Li Alice spolupracuje s Paulem Erdősem na jednom papíře a s Bobem na jiném, ale Bob nikdy nespolupracuje se samotným Erdősem, pak Alice dostane Erdősovo číslo 1 a Bob dostane Erdősovo číslo 2, protože je dva kroky od Erdős

Aby bylo možné přiřadit číslo Erdős, musí být někdo spoluautorem výzkumné práce s jinou osobou, která má konečné číslo Erdős. Paul Erdős má Erdőův počet nula. Erdőovo číslo někoho jiného je k + 1 kde k je nejnižší Erdőův počet ze všech spoluautorů. The Americká matematická společnost poskytuje bezplatný online nástroj k určení Erdősova čísla každého matematického autora uvedeného v seznamu Matematické recenze katalog.[8]

Erdős za svůj život napsal přibližně 1 500 matematických článků, většinou spoluautorů. Měl 512 přímých spolupracovníků;[4] to jsou lidé s Erdősovým číslem 1. Lidé, kteří s nimi spolupracovali (ale ne se samotným Erdősem), mají Erdősův počet 2 (k 12. srpnu 2020 12 600 lidí)[9]), ti, kteří spolupracovali s lidmi, kteří mají číslo Erdős 2 (ale ne s Erdősem nebo kýmkoli s číslem Erdős 1), mají číslo Erdős 3 atd. Osoba bez takového řetězce spoluautorství, který se připojuje k Erdős, má Erdőův počet nekonečno (nebo nedefinováno jeden). Od smrti Paula Erdőse je nejnižší počet Erdőů, který může nový výzkumník získat, 2.

Existuje prostor pro nejednoznačnost ohledně toho, co představuje spojení mezi dvěma autory. Kalkulačka vzdálenosti pro spolupráci s Americkou matematickou společností využívá data z Matematické recenze, který zahrnuje většinu časopisů o matematice, ale jiným tématům se věnuje jen omezeně a který zahrnuje i některé nevýzkumné publikace[Citace je zapotřebí ]. Web Erdős Number Project říká:

... Naším kritériem pro zahrnutí hrany mezi vrcholy u a v je nějaká výzkumná spolupráce mezi nimi vedoucí k publikované práci. Je povolen libovolný počet dalších spoluautorů, ...

nezahrnují však publikace, které se netýkají výzkumu, jako jsou základní učebnice, společná vydavatelství, nekrology a podobně. „Erdősovo číslo druhého druhu“ omezuje přidělování Erdősových čísel na práce pouze se dvěma spolupracovníky.[10]

Erdőovo číslo s největší pravděpodobností poprvé definoval v tisku Casper Goffman, an analytik jehož vlastní Erdőovo číslo je 2.[9] Goffman publikoval své postřehy o plodné spolupráci Erdőse v článku z roku 1969 s názvem „A jaké je vaše číslo Erdős?"[11] Podívejte se také na několik komentářů v nekrologu Michaela Golomba.[12]

Medián Erdősova čísla mezi Polní medailisté je jen 3.[7] Mezi medailisty patří pole s Erdősem číslo 2 Atle Selberg, Kunihiko Kodaira, Klaus Roth, Alan Baker, Enrico Bombieri, David Mumford, Charles Fefferman, William Thurston, Shing-Tung Yau, Jean Bourgain, Richard Borcherds, Manjul Bhargava, Jean-Pierre Serre a Terence Tao. Neexistují žádní medailisté Fields s Erdősovým číslem 1;[13] nicméně, Endre Szemerédi je Abelova cena Laureát s Erdős číslo 1.[6]

Nejčastější spolupracovníci společnosti Erdős

Zatímco Erdős spolupracoval se stovkami spoluautorů, byli někteří jedinci, se kterými byl spoluautorem desítek článků. Toto je seznam deseti osob, které se spoluautorem s Erdősem nejčastěji podílely, a jejich počet příspěvků, které spoluautorem s Erdősem byly (tj. Počet jejich spoluprací).[14]

SpoluautorPočet
spolupráce
András Sárközy62
András Hajnal56
Ralph Faudree50
Richard Schelp42
Cecil C. Rousseau35
Vera T. Sós35
Alfréd Rényi32
Pál Turán30
Endre Szemerédi29
Ronald Graham28

Související pole

Od roku 2016, Všechno Polní medailisté mít konečné Erdősovo číslo s hodnotami v rozmezí 2 až 6 a medián 3. Naproti tomu mediánové číslo Erdős napříč všemi matematiky (s konečným Erdősovým číslem) je 5, s extrémní hodnotou 13.[15] Níže uvedená tabulka shrnuje statistiku čísel Erdős pro Nobelova cena laureáti ve fyzice, chemii, medicíně a ekonomii.[16] První sloupec počítá počet laureátů. Druhý sloupec počítá počet vítězů s konečným Erdősovým číslem. Třetí sloupec je procento vítězů s konečným Erdősovým číslem. Zbývající sloupce uvádějí minimální, maximální, průměrný a střední počet Erdőů mezi těmito laureáty.

Statistiky o matematické spolupráci, 1903-2016
# Laureáti# Erdős% ErdősMinMaxPrůměrnýMedián
Fields Medal5656100.0%263.363
Nobelova ekonomie764761.84%284.114
Nobelova chemie1724224.42%3105.485
Nobelova medicína2105827.62%3125.505
Nobelova fyzika20015979.50%2125.635

Fyzika

Mezi nositeli Nobelovy ceny za fyziku Albert Einstein a Sheldon Lee Glashow mít Erdőův počet 2. Laureáti Nobelovy ceny s Erdősovým počtem 3 zahrnují Enrico Fermi, Otto Stern, Wolfgang Pauli, Max Born, Willis E. Lamb, Eugene Wigner, Richard P. Feynman, Hans A. Bethe, Murray Gell-Mann, Abdus Salam, Steven Weinberg, Norman F. Ramsey, Frank Wilczek, a David Wineland. Fields Medal-vítězný fyzik Ed Witten má číslo Erdős 3.[7]

Biologie

Výpočetní biolog Lior Pachter má číslo Erdős 2.[17] Evoluční biolog Richard Lenski má Erdőův počet 3, spoluautorem publikace s Liorem Pachterem a matematikem Bernd Sturmfels, z nichž každý má Erdőovo číslo 2.[18]

Finance a ekonomika

Vítězové soutěže jsou nejméně dva Nobelova cena za ekonomii s Erdőovým číslem 2: Harry M. Markowitz (1990) a Leonid Kantorovič (1975). Mezi další finanční matematiky s Erdőovým počtem 2 patří David Donoho, Marc Yor, Henry McKean, Daniel Stroock, a Joseph Keller.

Mezi laureáty Nobelovy ceny za ekonomii patří Erdőův počet 3 Kenneth J. Arrow (1972), Milton Friedman (1976), Herbert A. Simon (1978), Gerard Debreu (1983), John Forbes Nash, Jr. (1994), James Mirrlees (1996), Daniel McFadden (2000), Daniel Kahneman (2002), Robert J. Aumann (2005), Leonid Hurwicz (2007), Roger Myerson (2007), Alvin E. Roth (2012) a Lloyd S. Shapley (2012) a Jean Tirole (2014).[19]

Některé investiční firmy byly založeny matematiky, mezi nimiž je i nízký Erdőův počet James B. Axe z Axcom Technologies, a James H. Simons z Renaissance Technologies, oba s Erdőovým číslem 3.[20][21]

Filozofie

Vzhledem k tomu, že formálnější verze filozofie sdílejí uvažování se základy matematiky, tato pole se značně překrývají a Erdősova čísla jsou k dispozici mnoha filozofům.[22] Filozof John P. Burgess má číslo Erdős 2.[17] Jon Barwise a Joel David Hamkins, oba s Erdős číslo 2, také významně přispěli k filozofii, ale jsou primárně popisováni jako matematici.

Zákon

Soudce Richard Posner poté, co spoluautorem s Alvin E. Roth, má Erdőův počet maximálně 4. Roberto Mangabeira Unger, politik, filozof a právní teoretik, který vyučuje na Harvardské právnické fakultě, má Erdőův počet nejvýše 4, spoluautorem Lee Smolin.

Politika

Angela Merkelová, Kancléř Německa od roku 2005 do současnosti má Erdőův počet nejvýše 5.[13]

Inženýrství

Zejména některé oblasti strojírenství teorie komunikace a kryptografie, přímo využijte diskrétní matematiku prosazovanou Erdősem. Není proto divu, že odborníci v těchto oborech mají nízký Erdőův počet. Například, Robert McEliece, profesor elektrotechnika na Caltech, měl číslo Erdős 1, když spolupracoval se samotným Erdősem.[23] Kryptografové Ron Rivest, Adi Shamir, a Leonard Adleman, vynálezci RSA kryptosystém, všechny mají Erdőovo číslo 2.[17]

Analýza sociálních sítí

Antropolog Douglas R. White má podle teoretika grafů Erdőův počet 2 Frank Harary.[24][25] Sociolog Barry Wellman má číslo Erdős 3 prostřednictvím sociální síť analytik a statistik Ove Frank,[26] další Hararyho spolupracovník.[27]

Lingvistika

Rumunský matematik a výpočetní lingvista Solomon Marcus měl Erdős číslo 1 pro papír v Acta Mathematica Hungarica že byl spoluautorem s Erdősem v roce 1957.[28]

Dopad

Paul Erdős v roce 1985 na University of Adelaide výuka Terence Tao, kterému bylo tehdy 10 let. Tao se stal profesorem matematiky na UCLA, obdržel Fields Medal v roce 2006 a byl zvolen a Člen Královské společnosti v roce 2007. Jeho číslo Erdős je 2

Erdőova čísla jsou součástí folklór matematiků po celém světě po mnoho let. Mezi všemi pracujícími matematiky na přelomu tisíciletí, kteří mají konečné Erdősovo číslo, se čísla pohybují až do 15, medián je 5 a průměr je 4,65;[4] téměř každý s konečným Erdősovým číslem má číslo menší než 8. Kvůli velmi vysoké frekvenci mezioborové spolupráce ve vědě dnes má konečná Erdősova čísla také velmi velké množství nematematiků v mnoha dalších vědních oborech.[29] Například politolog Steven Brams má Erdőův počet 2. V biomedicínském výzkumu je běžné, že statistici jsou mezi autory publikací, a mnoho statistiků může být spojeno s Erdősem prostřednictvím John Tukey, který má Erdőův počet 2. Podobně prominentní genetik Eric Lander a matematik Daniel Kleitman spolupracovali na papírech,[30][31] a protože Kleitman má Erdőův počet 1,[32] velká část genetické a genomické komunity může být propojena prostřednictvím Landera a jeho mnoha spolupracovníků. Podobně spolupráce s Gustavus Simmons otevřel dveře Erdőova čísla v rámci kryptografické výzkumná komunita a mnoho dalších lingvisté mají konečná Erdősova čísla, mnohá kvůli řetězcům spolupráce s tak významnými učenci jako Noam Chomsky (Erdős číslo 4),[33] William Labov (3),[34] Mark Liberman (3),[35] Geoffrey Pullum (3),[36] nebo Ivan Sag (4).[37] Existují také spojení s umění pole.[38]

Podle Alexe Lopeze-Ortize vše Pole a Cena Nevanlinna vítězové během tří cyklů v letech 1986 až 1994 mají Erdőův počet nejvýše 9.

Dříve matematici publikovali méně článků než moderní a vzácněji publikovali společně písemné práce. Nejstarší osoba, o které je známo, že má konečné Erdőovo číslo, je buď Antoine Lavoisier (narozen 1743, Erdős číslo 13), Richard Dedekind (narozen 1831, Erdős číslo 7), nebo Ferdinand Georg Frobenius (narozen 1849, Erdős číslo 3), v závislosti na standardu způsobilosti publikace.[39]

Martin Tompa[40] navrhl a řízený graf verze problému s číslem Erdős, orientací okrajů grafu spolupráce od abecedně dřívějšího autora k abecedně pozdějšímu autorovi a definováním monotónní Erdőovo číslo autora o délce a nejdelší cesta od Erdőse k autorovi v tomto orientovaném grafu. Najde cestu tohoto typu o délce 12.

Taky, Michael Barr navrhuje „racionální Erdősova čísla“, zobecňující myšlenku, že osobě, která s Erdősem napsala společné dokumenty, by mělo být přiřazeno Erdősovo číslo 1 / p. Z multigrafu spolupráce druhého druhu (i když má také způsob, jak se vypořádat s případem prvního druhu) - s jednou hranou mezi dvěma matematiky pro každý společný papír, který vyrobili - tvoří elektrickou síť s odporem 1 ohm na každém okraji. Celkový odpor mezi dvěma uzly vypovídá o tom, jak „blízké“ jsou tyto dva uzly.

Tvrdilo se, že „u jednotlivého výzkumného pracovníka opatření, jako je Erdősovo číslo, zachycuje strukturální vlastnosti sítě, zatímco h-index zachycuje citační dopad publikací “a že„ Lze snadno přesvědčit, že hodnocení v sítích spoluautorství by mělo zohledňovat obě opatření, aby bylo možné vytvořit realistické a přijatelné hodnocení. “[41]

V roce 2004 William Tozier, matematik s Erdőovým počtem 4, vydražil spoluautorství na eBay, a proto poskytl kupujícímu Erdősovo číslo 5. Vítěznou nabídku 1031 $ zveřejnil španělský matematik, který však neměl v úmyslu zaplatit, ale pouze umístil nabídku, aby zastavil to, co považoval za výsměch.[42][43]

Variace

Bylo navrženo několik variant konceptu, které lze použít v jiných oblastech.

Nejznámější je Slaninové číslo (jako ve hře Šest stupňů Kevina Bacona ), spojující herce, kteří se objevili ve filmu, k herci Kevin Bacon. Byl vytvořen v roce 1994, 25 let po Goffmanově článku o Erdőově čísle.

Malý počet lidí je napojen na Erdőse i Bacona, a proto mají Erdős – slaninové číslo, který kombinuje dvě čísla tím, že vezme jejich součet. Jedním z příkladů je herečka-matematička Danica McKellar, nejlépe známý pro hraní Winnie Cooper v televizním seriálu Zázračná léta. Její číslo Erdős je 4,[44] a její Baconovo číslo je 2.[45]

Další prodloužení je možné. Například „číslo Erdős – Bacon – Sabbath“ je součet čísla Erdős – Bacon a vzdálenosti ke spolupráci od kapely Black Sabbath z hlediska zpěvu na veřejnosti. Fyzik Stephen Hawking měl číslo Erdős – Bacon – Sabbath 8,[46] a herečka Natálie Portmanová má jednu z 11 (její Erdőovo číslo je 5).[47]

Viz také

Reference

  1. ^ A b Newman, Mark E. J. (2001). „Struktura sítí vědecké spolupráce“. Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických. 98 (2): 404–409. doi:10.1073 / pnas.021544898. PMC  14598. PMID  11149952.
  2. ^ Grossman, Jerry. „Publikace Paula Erdőse“. Citováno 1. února 2011.
  3. ^ "Často kladené otázky". Archiv Euler. Dartmouth College.
  4. ^ A b C „Erdösův číselný projekt“. Oakland University.
  5. ^ „Fakta o číslech Erdöse a grafu spolupráce“. Erdösův číselný projekt. Oakland University.
  6. ^ A b De Castro, Rodrigo; Grossman, Jerrold W. (1999). „Slavné stezky k Paulu Erdősovi“ (PDF). Matematický zpravodaj. 21 (3): 51–63. doi:10.1007 / BF03025416. PAN  1709679. S2CID  120046886. Archivovány od originál (PDF) dne 24. 09. 2015. Původní španělská verze v Rev. Acad. Colombiana Cienc. Přesný. Fís. Natur. 23 (89) 563–582, 1999, PAN1744115.
  7. ^ A b C „Někteří slavní lidé s konečnými čísly Erdős“. oakland.edu. Citováno 4. dubna 2014.
  8. ^ A b „Spolupráce Vzdálenost“. MathSciNet. Americká matematická společnost.
  9. ^ A b Erdos2, Verze 2020, 7. srpna 2020.
  10. ^ Grossman et al. "Erdőova čísla druhého druhu," v Fakta o číslech Erdős a graf spolupráce. Erdőův číselný projekt, Oakland University, USA. Citováno 25. července 2009.
  11. ^ Goffman, Casper (1969). „A jaké je vaše Erdőovo číslo?“. Americký matematický měsíčník. 76 (7): 791. doi:10.2307/2317868. JSTOR  2317868.
  12. ^ „Erdős'obituary od Michaela Golomba“.
  13. ^ A b „Stezky do Erdösu“. Erdösův číselný projekt. Oakland University.
  14. ^ Grossman, Jerry, Erdos0p, Verze 2010, Erdőův číselný projekt, Oakland University, USA, 20. října 2010.
  15. ^ „Fakta o číslech Erdös a graf spolupráce - projekt Erdös Number - Oakland University“. wwwp.oakland.edu. Citováno 2016-10-27.
  16. ^ López de Prado, Marcos (2016). "Matematika a ekonomie: kontrola reality". The Journal of Portfolio Management. 43 (1): 5–8. doi:10.3905 / jpm.2016.43.1.005.
  17. ^ A b C "Seznam všech lidí s Erdosovým číslem menším nebo rovným 2". Erdösův číselný projekt. Oakland University. 14. července 2015. Citováno 25. srpna 2015.
  18. ^ Richard Lenski (28. května 2015). „Erdös s nekošer stranou Bacona“.
  19. ^ Grossman, J. (2015): „Erdős Number Project.“ http://wwwp.oakland.edu/enp/erdpaths/
  20. ^ Kishan, Saijel (11.11.2016). „Six Degrees of Quant: Kevin Bacon and the Erdős Number Mystery“. Bloomberg.com. Citováno 2016-11-12.
  21. ^ Bailey, David H. (06.11.2016). „Erdősova čísla: skutečný„ příběh „Princ a chudák“. Matematický investor. Citováno 2016-11-12.
  22. ^ Toby Handfield. „Filozofické výzkumné sítě“.
  23. ^ Erdős, Paul, Robert McEliece a Herbert Taylor (1971). „Ramseyho hranice pro produkty grafů“ (PDF). Pacific Journal of Mathematics. 37 (1): 45–46. doi:10,2140 / pjm.1971,37.45.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
  24. ^ White, Douglas R .; Harary, Frank (2001). „Soudržnost bloků v sociálních sítích: konektivita uzlů a podmíněná hustota“. Sociologická metodologie. 31: 305–59. doi:10.1111/0081-1750.00098.
  25. ^ „VITA: Douglas R. White, profesor antropologie a sociálních věd, UC-Irvine“. Citováno 14. prosince 2017.
  26. ^ Barry Wellman, Ove Frank, Vicente Espinoza, Staffan Lundquist a Craig Wilson. "Integrace individuální, relační a strukturální analýzy". 1991. Sociální sítě 13. (září): 223-50.
  27. ^ Ove Frank; Frank Harary, „Klastrová inference pomocí indexů přechodnosti v empirických grafech.“ Journal of the American Statistical Association77, 380 (prosinec 1982), s. 835–840.
  28. ^ Erdős, Paul; Marcus, Solomon (1957). „Sur la décomposition de l'espace euclidien en ensembles homogènes“ [O rozkladu euklidovského prostoru na homogenní množiny]. Acta Mathematica Hungarica. 8 (3–4): 443–452. doi:10.1007 / BF02020326. PAN  0095456. S2CID  121671198.
  29. ^ Grossman, Jerry. „Někteří slavní lidé s konečnými čísly Erdős“. Citováno 1. února 2011.
  30. ^ Pachter, L; Batzoglou, S; Spitkovsky, VI; Banky, E; Lander, ES; Kleitman, DJ; Berger, B (1999). "Slovníkový přístup k anotaci genů". J Comput Biol. 6 (3–4): 419–30. doi:10.1089/106652799318364. PMID  10582576.
  31. ^ Kleitman, Daniel. „Publikace od roku 1980 víceméně“. Massachusetts Institute of Technology.
  32. ^ Erdős, Paul; Kleitman, Daniel (Duben 1971). „U sbírek podmnožin neobsahujících 4člennou booleovskou algebru“ (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 28 (1): 87–90. doi:10.2307/2037762. JSTOR  2037762.
  33. ^ von Fintel, Kai (2004). „Moje číslo Erdös je 8“. Semantics, Inc. Archivovány od originál dne 23. srpna 2006.
  34. ^ „Aaron Dinkin má web?“. Ling.upenn.edu. Citováno 2010-08-29.
  35. ^ „Domovská stránka Marka Libermana“. Ling.upenn.edu. Citováno 2010-08-29.
  36. ^ „Christopher Potts: Miscellany“. Stanford.edu. Citováno 2010-08-29.
  37. ^ „Bobovo číslo Erdős“. Lingo.stanford.edu. Citováno 2010-08-29.
  38. ^ Bowen, Jonathan P.; Wilson, Robin J. (10. – 12. Července 2012). „Vizualizace virtuálních komunit: od Erdős k umění“. V Dunn, Stuart; Bowen, Jonathan P .; Ng, Kia (eds.). EVA London 2012: Electronic Visualization and the Arts. Elektronické dílny ve výpočetní technice. Britská počítačová společnost. 238–244.
  39. ^ „Paths to Erdös - The Erdös Number Project- Oakland University“. oakland.edu.
  40. ^ Tompa, Martin (1989). "Hodnoty za zásluhy". Novinky ACM SIGACT. 20 (1): 62–71. doi:10.1145/65780.65782. S2CID  34277380. Tompa, Martin (1990). "Údaje za zásluhy: pokračování". Novinky ACM SIGACT. 21 (4): 78–81. doi:10.1145/101371.101376. S2CID  14144008.
  41. ^ Kashyap Dixit, S Kameshwaran, Sameep Mehta, Vinayaka Pandit, N Viswanadham, Směrem k současně využívající struktuře a výsledkům v interakčních sítích pro hodnocení uzlů, IBM Research Report R109002, únor 2009; také se objevil jako Kameshwaran, S .; Pandit, V .; Mehta, S .; Viswanadham, N .; Dixit, K. (2010). „Výsledné hodnocení v interakčních sítích“ (PDF). Sborník z 19. mezinárodní konference ACM o řízení informací a znalostí (CIKM '10): 229–238. doi:10.1145/1871437.1871470. ISBN  978-1-4503-0099-5. S2CID  16370569.
  42. ^ Clifford A. Pickover: Vášeň pro matematiku: čísla, hádanky, šílenství, náboženství a hledání reality. Wiley, 2011, ISBN  9781118046074, S. 33 (výňatek, str. 33, v Knihy Google )
  43. ^ Klarreich, Erica (2004). "Věta na prodej". Vědecké zprávy. 165 (24): 376–377. doi:10.2307/4015267. JSTOR  4015267.
  44. ^ Publikoval McKellarův spoluautor Lincoln Chayes papír s Elliott H. Lieb, který je zase spoluautorem papír s Daniel Kleitman, spoluautor Paula Erdőse.
  45. ^ Danica McKellar byla uvnitř Rok, který se třásl (2002) s Jamesem Kisickim, který byl v Říká lži v Americe (1997) s Kevinem Baconem.
  46. ^ Fisher, Len (2016-02-17). „Jaké je vaše číslo Erdős – Bacon – Sabbath?“. Times Higher Education. Citováno 2018-07-29.
  47. ^ Sear, Richard (2012-09-15). „Erdős – Bacon – Sabbath numbers“. Katedra fyziky, University of Surrey. Citováno 2018-07-29.

externí odkazy