Obálka (vlny) - Envelope (waves) - Wikipedia

Funkce horní a dolní obálky pro modulovanou sinusovou vlnu.

v fyzika a inženýrství, obálka z oscilační signál je hladká křivka popisující její extrémy.^[1] Obálka tak zobecňuje pojem konstanty amplituda do okamžitá amplituda. Obrázek ilustruje modulovaný sinusoida pohybující se mezi horní a dolní obálkou. Funkce obálky může být funkcí času, prostoru, úhlu nebo dokonce jakékoli proměnné.

Příklad: bití vln

Modulovaná vlna vznikající přidáním dvou sinusových vln téměř stejné vlnové délky a frekvence.

Běžná situace, která vede k funkci obálky v obou prostorech X a čas t je superpozice dvou vln téměř stejné vlnové délky a frekvence:^[2]

{ displaystyle { begin {zarovnáno} F (x, t) & = sin left [2 pi left ({ frac {x} { lambda - Delta lambda}} - (f + Delta f) t right) right] + sin left [2 pi left ({ frac {x} { lambda + Delta lambda}} - (f- Delta f) t right) vpravo] [6 bodů] & přibližně 2 cos vlevo [2 pi vlevo ({ frac {x} { lambda _ { rm {mod}}}} - Delta f t vpravo) right] sin left [2 pi left ({ frac {x} { lambda}} - f t right) right] end {zarovnáno}}}

který používá trigonometrický vzorec pro přidání dvou sinusových vln a aproximace Δλ ≪ λ:

{ displaystyle { frac {1} { lambda pm Delta lambda}} = { frac {1} { lambda}} { frac {1} {1 pm Delta lambda / lambda }} přibližně { frac {1} { lambda}} mp { frac { Delta lambda} { lambda ^ {2}}}.}

Tady modulační vlnová délka λ_mod darováno:^[2]^[3]

{ displaystyle lambda _ { rm {mod}} = { frac { lambda ^ {2}} { Delta lambda}} .}

Modulační vlnová délka je dvojnásobná než vlnová délka samotné obálky, protože každá poloviční vlnová délka modulační kosinové vlny řídí pozitivní i negativní hodnoty modulované sinusové vlny. Podobně frekvence úderů je obálka, dvakrát větší než modulační vlna, nebo 2ΔF.^[4]

Pokud je tato vlna zvukovou vlnou, ucho uslyší přidruženou frekvenci F a amplituda tohoto zvuku se mění s frekvencí rytmu.^[4]

Fázová a skupinová rychlost

Rudý čtverec se pohybuje s fázová rychlost a zelené kruhy se množí s skupinová rychlost.

Argument sinusoidů výše kromě faktoru 2 $π$ jsou:

{ displaystyle xi _ {C} = vlevo ({ frac {x} { lambda}} - f t vpravo) ,}

{ displaystyle xi _ {E} = left ({ frac {x} { lambda _ { rm {mod}}}} - Delta f t right) ,}

s indexy C a E s odkazem na dopravce a obálka. Stejná amplituda F vlny vyplývá ze stejných hodnot ξ_C a ξ_E, z nichž každý se může sám vrátit na stejnou hodnotu při různých, ale správně souvisejících volbách X a t. Tato invariance znamená, že je možné sledovat tyto vlnové křivky v prostoru a najít rychlost polohy pevné amplitudy, jak se šíří v čase; aby argument nosné vlny zůstal stejný, je podmínka:

{ displaystyle left ({ frac {x} { lambda}} - f t right) = left ({ frac {x + Delta x} { lambda}} - f (t + Delta t) že jo) ,}

který ukazuje udržovat konstantní amplitudu vzdálenost ΔX souvisí s časovým intervalem Δt tzv fázová rychlost proti_p

{ displaystyle v _ { rm {p}} = { frac { Delta x} { Delta t}} = lambda f .}

Na druhou stranu stejné úvahy ukazují, že se obálka šíří na tzv skupinová rychlost proti_G:^[5]

{ displaystyle v _ { rm {g}} = { frac { Delta x} { Delta t}} = lambda _ { rm {mod}} Delta f = lambda ^ {2} { frac { Delta f} { Delta lambda}} .}

Běžnější výraz pro rychlost skupiny se získá zavedením vlnovodič k:

{ displaystyle k = { frac {2 pi} { lambda}} .}

Všimli jsme si, že pro malé změny Δλ, velikost odpovídající malé změny vlnového vektoru, řekněme Δk, je:

{ displaystyle Delta k = vlevo | { frac {dk} {d lambda}} vpravo | Delta lambda = 2 pi { frac { Delta lambda} { lambda ^ {2}} } ,}

takže rychlost skupiny lze přepsat jako:

{ displaystyle v _ { rm {g}} = { frac {2 pi Delta f} { Delta k}} = { frac { Delta omega} { Delta k}} ,}

kde ω je frekvence v radiánech / s: ω = 2 $π$ F. Ve všech médiích jsou frekvence a vlnový spoj spojeny a disperzní vztah, ω = ω(k) a lze napsat rychlost skupiny:

{ displaystyle v _ { rm {g}} = { frac {d omega (k)} {dk}} .}

Disperzní vztah ω = ω (k) pro některé vlny odpovídající mřížkovým vibracím v GaAs.^[6]

V médiu, jako je klasické vakuum disperzní vztah pro elektromagnetické vlny je:

{ displaystyle omega = c_ {0} k}

kde C₀ je rychlost světla v klasickém vakuu. V tomto případě jsou fázové i skupinové rychlosti C₀.

V tzv disperzní média the disperzní vztah může být komplikovanou funkcí vlnovodu a fázové a skupinové rychlosti nejsou stejné. Například pro několik typů vln vystavených atomovým vibracím (fonony ) v GaAs jsou disperzní vztahy zobrazeny na obrázku pro různými směry wavevector k. Obecně mohou mít fázové a skupinové rychlosti různé směry.^[7]

Příklad: aproximace funkce obálky

Pravděpodobnosti elektronů ve dvou nejnižších kvantových stavech kvantové jamky 160Ǻ GaAs v GaAs-GaAlAs heterostruktura jak se počítá z funkcí obálky.^[8]

v fyzika kondenzovaných látek energie vlastní funkce pro mobilní nosič náboje v krystalu lze vyjádřit jako a Bloch vlna:

{ displaystyle psi _ {n mathbf {k}} ( mathbf {r}) = e ^ {i mathbf {k} cdot mathbf {r}} u_ {n mathbf {k}} ( mathbf {r}) ,}

kde n je index pro pásmo (například pásmo vodivosti nebo valence) r je prostorové umístění a k je vlnovodič. Exponenciální je sinusově se měnící funkce odpovídající pomalu se měnící obálce modulující rychle se měnící část vlnové funkce u_n,k popisující chování vlnové funkce v blízkosti jader atomů mřížky. Obálka je omezena na k-hodnoty v rozsahu omezeném Brillouinova zóna krystalu, a to omezuje, jak rychle se může měnit v závislosti na umístění r.

Při určování chování dopravců pomocí kvantová mechanika, aproximace obálky obvykle se používá, ve kterém Schrödingerova rovnice je zjednodušeno, aby odkazovalo pouze na chování obálky, a okrajové podmínky se aplikují na funkci obálky přímo, spíše než na celou vlnovou funkci.^[9] Například vlnová funkce nosiče zachyceného v blízkosti nečistoty se řídí funkcí obálky F který řídí superpozici Blochových funkcí:

{ displaystyle psi ( mathbf {r}) = součet _ { mathbf {k}} F ( mathbf {k}) e ^ {i mathbf {k cdot r}} u _ { mathbf {k }} ( mathbf {r}) ,}

kde Fourierovy složky obálky F(k) se nacházejí z přibližné Schrödingerovy rovnice.^[10] V některých aplikacích periodická část u_k je nahrazen jeho hodnotou blízko hrany pásma, řekněme k=k₀, a pak:^[9]

{ displaystyle psi ( mathbf {r}) přibližně vlevo ( součet _ { mathbf {k}} F ( mathbf {k}) e ^ {i mathbf {k cdot r}} vpravo ) u _ { mathbf {k} = mathbf {k} _ {0}} ( mathbf {r}) = F ( mathbf {r}) u _ { mathbf {k} = mathbf {k} _ { 0}} ( mathbf {r}) .}

Příklad: difrakční vzory

Difrakční obrazec dvojité štěrbiny má obálku s jednou štěrbinou.

Difrakční vzorce z více štěrbin mají obálky určené difrakčním vzorem jedné štěrbiny. Pro jednu štěrbinu je vzor dán vztahem:^[11]

{ displaystyle I_ {1} = I_ {0} sin ^ {2} left ({ frac { pi d sin alpha} { lambda}} right) / left ({ frac { pi d sin alpha} { lambda}} right) ^ {2} ,}

kde α je difrakční úhel, d je šířka štěrbiny a λ je vlnová délka. U více štěrbin je vzor ^[11]

{ displaystyle I_ {q} = I_ {1} sin ^ {2} left ({ frac {q pi g sin alpha} { lambda}} right) / sin ^ {2} vlevo ({ frac { pi g sin alpha} { lambda}} vpravo) ,}

kde q je počet štěrbin a G je mřížková konstanta. První faktor, výsledek jedné štěrbiny Já₁, moduluje rychleji se měnící druhý faktor, který závisí na počtu štěrbin a jejich rozestupu.

Viz také

Reference

^ C. Richard Johnson, Jr.; William A. Sethares; Andrew G. Klein (2011). "Obrázek C.1: Obálka funkce plynule načrtává její extrémy". Návrh softwarového přijímače: Vytvořte si svůj vlastní digitální komunikační systém v pěti snadných krocích. Cambridge University Press. str. 417. ISBN 0521189446.
^ ^A ^b Blair Kinsman (2002). Větrné vlny: jejich vznik a šíření na povrchu oceánu (Dotisk Prentice-Hall 1965 ed.). Publikace Courier Dover. str. 186. ISBN 0486495116.
^ Mark W. Denny (1993). Vzduch a voda: Biologie a fyzika médií života. Princeton University Press. str.289. ISBN 0691025185.
^ ^A ^b Paul Allen Tipler; Gene Mosca (2008). Fyzika pro vědce a inženýry, díl 1 (6. vydání). Macmillana. str. 538. ISBN 142920124X.
^ Peter W. Milonni; Joseph H. Eberly (2010). „§8.3 Rychlost skupiny“. Laserová fyzika (2. vyd.). John Wiley & Sons. str. 336. ISBN 0470387718.
^ Peter Y. Yu; Manuel Cardona (2010). „Obr. 3.2: Fononové disperzní křivky v GaAs podél os s vysokou symetrií“. Základy polovodičů: Fyzika a vlastnosti materiálů (4. vydání). Springer. str. 111. ISBN 3642007090.
^ V. Červený; Vlastislav Červený (2005). "§2.2.9 Vztah mezi vektory fázové a skupinové rychlosti". Teorie seismických paprsků. Cambridge University Press. str. 35. ISBN 0521018226.
^ G Bastard; JA Brum; R Ferreira (1991). "Obrázek 10 palců Elektronické stavy v polovodičových heterostrukturách. “V Henry Ehrenreich; David Turnbull (eds.). Fyzika pevných látek: Polovodičové heterostruktury a nanostruktury. str. 259. ISBN 0126077444.
^ ^A ^b Christian Schüller (2006). "§2.4.1 Aproximace funkce obálky (EFA)". Neelastický rozptyl světla polovodičových nanostruktur: základy a nedávné pokroky. Springer. str. 22. ISBN 3540365257.
^ Například viz Marco Fanciulli (2009). "§1.1 Aproximace funkce obálky". Rezonance elektronové spiny a související jevy v nízkodimenzionálních strukturách. Springer. 224 ff. ISBN 354079364X.
^ ^A ^b Kordt Griepenkerl (2002). "Distribuce intenzity pro difrakci štěrbinou a Vzor intenzity pro difrakci mřížkou. “V John W Harris; Walter Benenson; Horst Stöcker; Holger Lutz (eds.). Příručka fyziky. Springer. 306 ff. ISBN 0387952691.

Tento článek včlení materiál z Citizendium článek "Funkce obálky ", který je licencován pod Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License ale ne pod GFDL.

[Johnson-1] C. Richard Johnson, Jr.; William A. Sethares; Andrew G. Klein (2011). "Obrázek C.1: Obálka funkce plynule načrtává její extrémy". Návrh softwarového přijímače: Vytvořte si svůj vlastní digitální komunikační systém v pěti snadných krocích. Cambridge University Press. str. 417. ISBN 0521189446.

[Kinsman-2] A ^b Blair Kinsman (2002). Větrné vlny: jejich vznik a šíření na povrchu oceánu (Dotisk Prentice-Hall 1965 ed.). Publikace Courier Dover. str. 186. ISBN 0486495116.

[Denny-3] Mark W. Denny (1993). Vzduch a voda: Biologie a fyzika médií života. Princeton University Press. str.289. ISBN 0691025185.

[Tipler-4] A ^b Paul Allen Tipler; Gene Mosca (2008). Fyzika pro vědce a inženýry, díl 1 (6. vydání). Macmillana. str. 538. ISBN 142920124X.

[Eberly-5] Peter W. Milonni; Joseph H. Eberly (2010). „§8.3 Rychlost skupiny“. Laserová fyzika (2. vyd.). John Wiley & Sons. str. 336. ISBN 0470387718.

[Cardona-6] Peter Y. Yu; Manuel Cardona (2010). „Obr. 3.2: Fononové disperzní křivky v GaAs podél os s vysokou symetrií“. Základy polovodičů: Fyzika a vlastnosti materiálů (4. vydání). Springer. str. 111. ISBN 3642007090.

[Cerveny-7] V. Červený; Vlastislav Červený (2005). "§2.2.9 Vztah mezi vektory fázové a skupinové rychlosti". Teorie seismických paprsků. Cambridge University Press. str. 35. ISBN 0521018226.

[Bastard-8] G Bastard; JA Brum; R Ferreira (1991). "Obrázek 10 palců Elektronické stavy v polovodičových heterostrukturách. “V Henry Ehrenreich; David Turnbull (eds.). Fyzika pevných látek: Polovodičové heterostruktury a nanostruktury. str. 259. ISBN 0126077444.

[Schuller-9] A ^b Christian Schüller (2006). "§2.4.1 Aproximace funkce obálky (EFA)". Neelastický rozptyl světla polovodičových nanostruktur: základy a nedávné pokroky. Springer. str. 22. ISBN 3540365257.

[impurity-10] Například viz Marco Fanciulli (2009). "§1.1 Aproximace funkce obálky". Rezonance elektronové spiny a související jevy v nízkodimenzionálních strukturách. Springer. 224 ff. ISBN 354079364X.

[Harris-11] A ^b Kordt Griepenkerl (2002). "Distribuce intenzity pro difrakci štěrbinou a Vzor intenzity pro difrakci mřížkou. “V John W Harris; Walter Benenson; Horst Stöcker; Holger Lutz (eds.). Příručka fyziky. Springer. 306 ff. ISBN 0387952691.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]