Clairauts rovnice - Clairauts equation - Wikipedia

v matematická analýza, Clairautova rovnice (nebo Clairautova rovnice) je diferenciální rovnice formuláře

${ displaystyle y (x) = x { frac {dy} {dx}} + f left ({ frac {dy} {dx}} right)}$

kde F je průběžně diferencovatelné. Jedná se o zvláštní případ Lagrangeovy diferenciální rovnice. Je pojmenována po francouzštině matematik Alexis Clairaut, který ji představil v roce 1734.^[1]

Definice

Při řešení Clairautovy rovnice je třeba rozlišovat s ohledem na X, poddajný

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {dx}} + x { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + f ' vlevo ({ frac {dy} {dx}} vpravo) { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}},}$

tak

${ displaystyle left [x + f ' left ({ frac {dy} {dx}} right) right] { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = 0 .}$

Proto tedy

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = 0}$

nebo

${ displaystyle x + f ' left ({ frac {dy} {dx}} right) = 0.}$

V prvním případě C = dy/dx pro nějakou konstantu C. Když to dosadíme do Clairautovy rovnice, získáme rodinu přímkových funkcí daných

${ displaystyle y (x) = Cx + f (C), ,}$

takzvaný obecné řešení Clairautovy rovnice.

Druhý případ,

${ displaystyle x + f ' left ({ frac {dy} {dx}} right) = 0,}$

definuje pouze jedno řešení y(X), takzvaný singulární řešení, jehož grafem je obálka grafů obecných řešení. Singulární řešení je obvykle reprezentováno pomocí parametrické notace, jako (X(p), y(p)), kde p = dy/dx.

Příklady

Následující křivky představují řešení dvou Clairautových rovnic:

• 

  ${ displaystyle f (p) = p ^ {2}}$
• 

  ${ displaystyle f (p) = p ^ {3}}$

V každém případě jsou obecná řešení zobrazena černě, zatímco singulární řešení je fialové.

Rozšíření

Rozšířením, první objednávky parciální diferenciální rovnice formuláře

${ displaystyle displaystyle u = xu_ {x} + yu_ {y} + f (u_ {x}, u_ {y})}$

je také známá jako Clairautova rovnice.^[2]

Viz také

• D'Alembertova rovnice
• Chrystalova rovnice
• Legendární transformace

Poznámky

Reference

• Clairaut, Alexis Claude (1734), „Solution de plusieurs problèmes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste dans une certaine relationship entre leurs branches, exprimée par une Équation donnée.“, Histoire de l'Académie royale des sciences: 196–215CS1 maint: ref = harv (odkaz).

• Kamke, E. (1944), Differentialgleichungen: Lösungen und Lösungsmethoden (v němčině), 2. Partielle Differentialgleichungen 1er Ordnung für eine gesuchte Funktion, Akad. VerlagsgesellCS1 maint: ref = harv (odkaz).

• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Clairautova rovnice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.