Fermatův bod - Fermat point

v geometrie, Fermatův bod a trojúhelník, také nazývaný Torricelliho bod nebo Fermat – Torricelliho bod, je bod takový, že celková vzdálenost od tří vrcholů trojúhelníku k bodu je minimální možná.[1] Je pojmenován tak, protože na tento problém poprvé upozornil Fermat v soukromém dopise uživateli Evangelista Torricelli, který to vyřešil.
Fermatův bod dává řešení geometrický medián a Problémy se Steinerovým stromem za tři body.
Konstrukce
Fermatův bod trojúhelníku s největším úhlem maximálně 120 ° je prostě jeho první izogonické centrum nebo X (13), který je konstruován následovně:
- Postavte si rovnostranný trojúhelník na každé ze dvou libovolně zvolených stran daného trojúhelníku.
- Z každého nového nakreslete čáru vrchol na opačný vrchol původního trojúhelníku.
- Tyto dvě čáry se protínají ve Fermatově bodě.
Alternativní metoda je následující:
- Postavte na každé ze dvou libovolně zvolených stran rovnoramenný trojúhelník, se základnou dotyčná strana, 30-stupňové úhly na základně a třetí vrchol každého rovnoramenného trojúhelníku ležící mimo původní trojúhelník.
- Pro každý rovnoramenný trojúhelník nakreslete kruh, v každém případě se středem na novém vrcholu rovnoramenného trojúhelníku a s poloměrem rovným každé ze dvou nových stran tohoto rovnoramenného trojúhelníku.
- Průsečík uvnitř původního trojúhelníku mezi dvěma kruhy je Fermatův bod.
Když má trojúhelník úhel větší než 120 °, je Fermatův bod umístěn na vrcholu tupého úhlu.
„Případ 1“ znamená, že trojúhelník má úhel přesahující 120 °. „Případ 2“ znamená, že žádný úhel trojúhelníku nepřesahuje 120 °.
Umístění X (13)

Obrázek 2 ukazuje rovnostranné trojúhelníky ARB, AQC a CPB připojené ke stranám libovolného trojúhelníku ABC. Zde je důkaz využívající vlastnosti koncyklické body ukázat, že všechny tři čáry RC, BQ a AP na obr. 2 se protínají v bodě F a navzájem se prořezávají v úhlech 60 °.
Trojúhelníky RAC a BAQ jsou shodný protože druhá je 60 ° rotace první o A. Proto ∠ARF = ∠ABF a ∠AQF = ∠ACF. Obráceně věta o vepsaném úhlu aplikován na segment AF, body ARBF jsou koncyklický (leží na kruhu). Podobně jsou body AFCQ concyclic.
∠ARB = 60 °, takže ∠AFB = 120 °, pomocí věta o vepsaném úhlu. Podobně ∠AFC = 120 °.
Takže ∠BFC = 120 °. Takže FCBFC a ∠BPC přidávají až 180 °. Za použití věta o vepsaném úhlu, to znamená, že body BPCF jsou koncyklické. Takže pomocí věta o vepsaném úhlu aplikováno na segment BP, ∠BFP = ∠BCP = 60 °. Protože ∠BFP + ∠BFA = 180 °, leží bod F na úsečce AP. Čáry RC, BQ a AP jsou tedy souběžně (protínají se v jednom bodě). Q.E.D.
Tento důkaz platí pouze pro případ 2, protože pokud ∠BAC> 120 °, bod A leží uvnitř obvodu kruhu BPC, který přepíná relativní polohy A a F. Je však snadno upravitelný tak, aby pokrýval případ 1. Pak ∠AFB = ∠AFC = 60 ° tedy ∠BFC = ∠AFB = ∠AFC = 120 °, což znamená, že BPCF je koncyklický, takže ∠BFP = ∠BCP = 60 ° = ∠BFA. Proto A leží na FP.
Čáry spojující středy kruhů na obr. 2 jsou kolmé na úsečky AP, BQ a CR. Například čára spojující střed kruhu obsahujícího ARB a střed kruhu obsahujícího AQC je kolmá na segment AP. Čáry spojující středy kruhů se tedy také protínají v úhlech 60 °. Středy kruhů proto tvoří rovnostranný trojúhelník. Toto je známé jako Napoleonova věta.
Umístění bodu Fermat
Tradiční geometrie

Vzhledem k libovolnému euklidovskému trojúhelníku ABC a libovolnému bodu P nechť d (P) = PA + PB + PC, kde PA označuje vzdálenost mezi P a A. Cílem této části je identifikovat bod P0 takový, že d (str0)
Klíčovým výsledkem, který bude použit, je pravidlo dogleg, které tvrdí, že pokud mají trojúhelník a mnohoúhelník jednu společnou stranu a zbytek trojúhelníku leží uvnitř mnohoúhelníku, pak má trojúhelník kratší obvod než mnohoúhelník.
[Pokud AB je společná strana, prodlužte AC, abyste polygon ořízli v X. Potom obvodem trojúhelníku polygonový obvod> AB + AX + XB = AB + AC + CX + XB ≥ AB + AC + BC.]
Nechť P je libovolný bod mimo Δ. Přiřadit každý vrchol k jeho vzdálené zóně; tj. polorovina za (prodlouženou) protilehlou stranou. Tyto 3 zóny pokrývají celou rovinu kromě samotného Δ a P jasně leží buď v jedné, nebo ve dvou z nich. Pokud je P ve dvou (řekněme průsečík zón B a C), pak nastavení P '= A znamená d (P') = d (A)
Případ 1. Trojúhelník má úhel ≥ 120 °.
Bez ztráty obecnosti předpokládejme, že úhel v A je ≥ 120 °. Zkonstruujte rovnostranný trojúhelník AFB a pro jakýkoli bod P v Δ (kromě samotného A) zkonstruujte Q tak, aby trojúhelník AQP byl rovnostranný a měl zobrazenou orientaci. Potom je trojúhelník ABP rotací 60 ° trojúhelníku AFQ kolem A, takže tyto dva trojúhelníky jsou shodné a vyplývá z toho, že d (P) = CP + PQ + QF, což je jednoduše délka dráhy CPQF. Protože P je omezen tak, aby ležel uvnitř ABC, podle pravidla dogleg délka této cesty přesahuje AC + AF = d (A). Proto d (A)
Případ 2. Trojúhelník nemá úhel ≥ 120 °.
Vytvořte rovnostranný trojúhelník BCD a nechte P být libovolný bod uvnitř Δ a vytvořte rovnostranný trojúhelník CPQ. Pak CQD je rotace CPB o 60 ° kolem C, takže d (P) = PA + PB + PC = AP + PQ + QD, což je jednoduše délka cesty APQD. Ať P0 být bodem, kde se protínají AD a CF. Tento bod se běžně nazývá první izogonické centrum. Stejné cvičení proveďte s P.0 jako jste to udělali s P, a najděte bod Q0. Úhlovým omezením P0 leží uvnitř Δ navíc BCF je 60 ° rotace BDA kolem B, takže Q0 musí ležet někde na AD. Protože CDB = 60 °, vyplývá z toho Q0 leží mezi P0 a D, což znamená AP0Q0D je přímka, takže d (P0) = AD. Navíc, pokud P ≠ P0 pak buď P nebo Q nebude ležet na AD, což znamená d (P0) = AD
Vektorová analýza
Nechat Ó, A, B, C, X být libovolných pět bodů v rovině. Označte vektory podle A, b, C, X respektive a nechat i, j, k být jednotkovými vektory z Ó podél A, b, C.
Nyní |A| = a⋅i = (A − X).I + x⋅i ≤ |A − X| + x⋅i a podobně |b| ≤ |b − X| + x⋅j a |C| ≤ |C − X| + x⋅k.
Přidání dává |A| + |b| + |C| ≤ |A − X| + |b − X| + |C − X| + x⋅(i + j + k).
Li A, b, C setkat se v Ó v úhlech 120 ° pak i + j + k = 0 tak |A| + |b| + |C| ≤ |A − X| + |b − X| + |C − X| pro všechny X.
Jinými slovy, OA + OB + OC ≤ XA + XB + XC a tudíž Ó je Fermatův bod ABC.
Tento argument selže, když má trojúhelník úhel ∠C > 120 °, protože nemá smysl Ó kde A, b, C setkat se pod úhlem 120 °. Nicméně je to snadno opravitelné předefinováním k = − (i + j) a umístění Ó na C aby C = 0. Všimněte si, že |k| ≤ 1, protože úhel mezi jednotkovými vektory i a j je ∠C který přesahuje 120 °. Od |0| ≤ |0 − X| + x⋅k třetí nerovnost stále platí, další dvě nerovnosti se nezmění. Důkaz nyní pokračuje výše uvedeným způsobem (přidání tří nerovností a použití i + j + k = 0) dospět ke stejnému závěru jako Ó (nebo v tomto případě C) musí být Fermatův bod ABC.
Lagrangeovy multiplikátory
Další přístup k nalezení bodu uvnitř trojúhelníku, odkud je součet vzdáleností k vrcholy trojúhelníku je minimum, je použít jeden z optimalizace (matematika) metody. Zejména metoda Lagrangeovy multiplikátory a zákon kosinů.
Nakreslíme čáry z bodu uvnitř trojúhelníku do jeho vrcholů a zavoláme jim X, Y a Z. Také nechte délky těchto čar být x, y a z. Nechte úhel mezi X a Y být α, Y a Z být β. Pak úhel mezi X a Z je (2π - α - β). Pomocí metody Lagrangeových multiplikátorů musíme najít minimum Lagrangeova L, který je vyjádřen jako:
- L = X + y + z + λ1 (X2 + y2 − 2xy cos (α) − A2) + λ2 (y2 + z2 − 2yz cos (β) - b2) + λ3 (z2 + X2 − 2zx cos (α + β) − C2)
kde A, b a C jsou délky stran trojúhelníku.
Rovná se každá z pěti parciálních derivací δL/ δx, δL/ δy, δL/ δz, δL/ δα, δL/ δβ na nulu a eliminace λ1, λ2, λ3 nakonec dává sin (α) = sin (β) a sin (α + β) = - sin (β), takže α = β = 120 °. Odstranění je však dlouhá a zdlouhavá práce a konečný výsledek se týká pouze případu 2.
Vlastnosti

- Pokud největší úhel trojúhelníku není větší než 120 °, X(13) je Fermatův bod.
- Úhly zúžené stranami trojúhelníku v X(13) jsou všechny rovné 120 ° (případ 2) nebo 60 °, 60 °, 120 ° (případ 1).
- The circumcircles ze tří vytvořených rovnostranných trojúhelníků je souběžných v X(13).
- Trilineární souřadnice pro první izogonické centrum, X(13):
- csc (A + π / 3): csc (B + π / 3): csc (C + π / 3) nebo ekvivalentně
- sec (A - π / 6): s (B - π / 6): s (C - π / 6).[2]
- Trilineární souřadnice pro druhé izogonické centrum, X(14):
- csc (A - π / 3): csc (B - π / 3): csc (C - π / 3) nebo ekvivalentně
- sec (A + π / 6): s (B + π / 6): s (C + π / 6).[3]
- Trilineární souřadnice pro Fermatův bod:
- 1 − u + uvw sec (A - π / 6): 1 - proti + uvw sec (B - π / 6): 1 - w + uvw sec (C - π / 6)
- kde u, v, w respektive označují Booleovské proměnné (A<120°), (B<120°), (C<120°).
- Izogonální konjugát X(13) je první isodynamický bod, X(15):
- hřích(A + π / 3): sin (B + π / 3): sin (C + π / 3).[4]
- Izogonální konjugát X(14) je druhý isodynamický bod, X(16):
- hřích(A - π / 3): hřích (B - π / 3): hřích (C - π / 3).[5]
- Následující trojúhelníky jsou rovnostranné:
- antipedální trojúhelník z X(13)
- antipedální trojúhelník X(14)
- pedálový trojúhelník z X(15)
- pedálový trojúhelník X(16)
- circumcevian trojúhelník X(15)
- circumcevian trojúhelník X(16)
- Čáry X(13)X(15) a X(14)X(16) jsou rovnoběžné s Eulerova linie. Tyto tři linie se setkávají v Eulerově nekonečném bodě, X(30).
- Body X(13), X(14), circumcenter a devítibodový střed ležet na a Lesterův kruh.
- Linie X(13)X(14) potkává linii Euler ve středu X(2) a X(4).[6]
- Fermatův bod leží na otevřeném prostranství ortocentroidální disk proražen ve svém vlastním středu a může to být jakýkoli bod v něm.[7]
Aliasy
The izogonická centra X(13) a X(14) jsou také známé jako první Fermatův bod a druhý Fermatův bod resp. Alternativy jsou pozitivní Fermatův bod a negativní Fermatův bod. Tato různá jména však mohou být matoucí a je možné se jim nejlépe vyhnout. Problém je v tom, že velká část literatury stírá rozdíl mezi Fermatův bod a první Fermatův bod vzhledem k tomu, že pouze ve výše uvedeném případě 2 jsou ve skutečnosti stejné.
Dějiny
Tuto otázku navrhl Fermat jako výzvu Evangelista Torricelli. Problém vyřešil podobným způsobem jako Fermatův, i když místo toho použil průsečík kruhových kruhů tří pravidelných trojúhelníků. Jeho žák Viviani publikoval řešení v roce 1659.[8]
Viz také
- Geometrický medián nebo Fermat – Weberův bod, bod minimalizující součet vzdáleností k více než třem daným bodům.
- Lesterova věta
- Střed trojúhelníku
- Napoleonovy body
- Weberův problém
Reference
- ^ Cut the Knot - The Fermat Point and Generalizations
- ^ Záznam X (13) v Encyclopedia of Triangle Centers Archivováno 19.dubna 2012, na Wayback Machine
- ^ Záznam X (14) v Encyclopedia of Triangle Centers Archivováno 19.dubna 2012, na Wayback Machine
- ^ Záznam X (15) v Encyclopedia of Triangle Centers Archivováno 19.dubna 2012, na Wayback Machine
- ^ Záznam X (16) v Encyclopedia of Triangle Centers Archivováno 19.dubna 2012, na Wayback Machine
- ^ Kimberling, Clark. „Encyklopedie středisek trojúhelníku“.
- ^ Christopher J. Bradley a Geoff C. Smith, „Umístění středů trojúhelníků“, Fórum Geometricorum 6 (2006), 57--70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html
- ^ Weisstein, Eric W. „Fermat Points“. MathWorld.
externí odkazy
- „Problém Fermat-Torricelli“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Fermat Point Chris Boucher, Demonstrační projekt Wolfram.
- Zobecnění Fermat-Torricelli na Dynamické geometrické skici Interaktivní skica zobecňuje bod Fermat-Torricelli.
- Praktický příklad Fermatova bodu
- Interaktivní skica pro iOS