Čebyševova rovnice - Chebyshev equation

Čebyševova rovnice je lineární druhého řádu diferenciální rovnice

${displaystyle (1-x ^ {2}) {d ^ {2} y nad dx ^ {2}} - x {dy over dx} + p ^ {2} y = 0}$

kde p je skutečná (nebo komplexní) konstanta. Rovnice je pojmenována po ruština matematik Pafnuty Čebyšev.

Roztoky lze získat pomocí výkonová řada:

${displaystyle y = sum _ {n = 0} ^ {infty} a_ {n} x ^ {n}}$

kde koeficienty poslouchají relace opakování

${displaystyle a_ {n + 2} = {(n-p) (n + p) nad (n + 1) (n + 2)} a_ {n}.}$

Série konverguje pro ${displaystyle | x | <1}$ (Poznámka, X může být komplexní), jak je patrné z aplikace poměrový test k opakování.

Opakování může být zahájeno libovolnými hodnotami a₀ a a₁, což vede k dvourozměrnému prostoru řešení, který vzniká z diferenciálních rovnic druhého řádu. Standardní možnosti jsou:

A₀ = 1; A₁ = 0, což vede k řešení

${displaystyle F (x) = 1- {frac {p ^ {2}} {2!}} x ^ {2} + {frac {(p-2) p ^ {2} (p + 2)} {4 !}} x ^ {4} - {frac {(p-4) (p-2) p ^ {2} (p + 2) (p + 4)} {6!}} x ^ {6} + cdots }$

a

A₀ = 0; A₁ = 1, což vede k řešení

${displaystyle G (x) = x- {frac {(p-1) (p + 1)} {3!}} x ^ {3} + {frac {(p-3) (p-1) (p + 1) (p + 3)} {5!}} X ^ {5} -cdots.}$

Obecným řešením je jakákoli lineární kombinace těchto dvou.

Když p je nezáporné celé číslo, jedna nebo druhá ze dvou funkcí má svoji řadu ukončenou po konečném počtu členů: F končí, pokud p je sudé a G končí, pokud p je liché. V tomto případě je tato funkce polynomem stupně p a je úměrnáČebyševův polynom prvního druhu

${displaystyle T_ {p} (x) = (- 1) ^ {p / 2} F (x),}$ je-li p sudé

${displaystyle T_ {p} (x) = (- 1) ^ {(p-1) / 2} p G (x),}$ pokud p je liché

Tento článek obsahuje materiál z Čebyševovy rovnice PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.