Analytická sada - Analytic set

V matematické oblasti deskriptivní teorie množin, podmnožina a Polský prostor ${ displaystyle X}$ je analytická sada pokud je to kontinuální obrázek polského prostoru. Tyto sady byly nejprve definovány Luzin (1917) a jeho student Souslin (1917).

Definice

Existuje několik ekvivalentních definic analytické sady. Následující podmínky týkající se a podprostor A polského prostoru X jsou ekvivalentní:

• A je analytický.
• A je prázdný nebo souvislý obraz Baireův prostor ω^ω.
• A je Suslinův prostor, jinými slovy A je obraz polského prostoru pod souvislým mapováním.
• A je spojitý obraz a Sada Borel v polském prostoru.
• A je Suslin set, obraz Provoz Suslin.
• Existuje polský prostor ${ displaystyle Y}$ a a Borel soubor ${ displaystyle B subseteq X krát Y}$ takhle ${ displaystyle A}$ je projekce z ${ displaystyle B}$; to je

${ displaystyle A = {x v X | ( existuje y v Y) langle x, y rangle v B }.}$

• A je projekce a uzavřená sada v kartézský součin z X s vesmírem Baire.
• A je projekce a G_δ soubor ve kartézském součinu X s Cantorův prostor.

Alternativní charakterizace v konkrétním, důležitém případě ${ displaystyle X}$ je Baireův prostor ω^ω, je to, že analytické sady jsou přesně projekcemi stromy na ${ displaystyle omega krát omega}$. Podobně analytické podmnožiny Cantorova prostoru 2^ω jsou přesně projekce stromů na ${ displaystyle 2 times omega}$.

Vlastnosti

Analytické podmnožiny polských prostorů jsou uzavřeny pod spočítatelnými jednotkami a křižovatkami, spojitými obrazy a inverzními obrazy. Doplněk analytické sady nemusí být analytický. Suslin dokázala, že pokud je analytický doplněk analytický, pak je to Borel. (Naopak každá sada Borel je analytická a sady Borel jsou uzavřeny pod doplňky.) Luzin obecněji prokázal, že jakékoli dvě disjunktní analytické sady jsou odděleny sadou Borel: jinými slovy existuje sada Borel obsahující jednu a disjunktní od druhé. Toto se někdy nazývá „princip Luzinovy ​​oddělitelnosti“ (ačkoli to bylo implicitní v důkazu Suslinovy ​​věty).

Analytické sady jsou vždy Lebesgue měřitelný (Vskutku, všeobecně měřitelné ) a mít majetek Baire a perfektně nastavená vlastnost.

Projektivní hierarchie

Analytické sady se také nazývají ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} _ {1} ^ {1}}$ (vidět projektivní hierarchie ). Všimněte si, že tučné písmo v tomto symbolu není konvencí Wikipedie, ale spíše se používá výrazně od svého protějšku lightface ${ displaystyle Sigma _ {1} ^ {1}}$ (vidět analytická hierarchie ). Doplňky analytických sad se nazývají koanalytické sady a množina koanalytických množin je označena ${ displaystyle { boldsymbol { Pi}} _ {1} ^ {1}}$. Křižovatka ${ displaystyle { boldsymbol { Delta}} _ {1} ^ {1} = { boldsymbol { Sigma}} _ {1} ^ {1} cap { boldsymbol { Pi}} _ {1} ^ {1}}$ je sada Borel sad.

Viz také

• Projekce (teorie míry)

Reference

• El'kin, A.G. (2001) [1994], "Analytická sada", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Efimov, B.A. (2001) [1994], "Principy oddělitelnosti Luzin", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Kechris, A. S. (1995), Klasická deskriptivní teorie množin, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94374-9
• Luzin, N.N. (1917), „Sur la classification de M. Baire“, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 164: 91–94
• N.N. Lusin, „Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications“, Gauthier-Villars (1930)
• Moschovakis, Yiannis N. (1980), Popisná teorie množin, Severní Holandsko, ISBN  0-444-70199-0
• Martin, Donald A .: Měřitelné kardinály a analytické hry. „Fundamenta Mathematicae“ 66 (1969/1970), s. 287-291.
• Souslin, M. (1917), „Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis“, Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 164: 88–91