Sigma-ring - Sigma-ring

v matematika, neprázdná sbírka sady se nazývá a σ-kroužek (výrazný sigma-ring) Pokud to je Zavřeno pod spočet svaz a relativní doplňování.

Formální definice

Nechat ${displaystyle {mathcal {R}}}$ být neprázdný sbírka sad. Pak ${displaystyle {mathcal {R}}}$ je σ-kroužek li:

${displaystyle igcup _ {n = 1} ^ {infty} A_ {n} v {mathcal {R}}}$ -li ${displaystyle A_ {n} v {mathcal {R}}}$ pro všechny ${displaystyle nin mathbb {N}}$
${displaystyle Asetminus Bin {mathcal {R}}}$ -li ${displaystyle A, Bin {mathcal {R}}}$

Vlastnosti

Z těchto dvou vlastností to okamžitě vidíme

{displaystyle igcap _ {n = 1} ^ {infty} A_ {n} v {mathcal {R}}}

-li

{displaystyle A_ {n} v {mathcal {R}}}

pro všechny

{displaystyle nin mathbb {N}}

Je to prostě proto ${displaystyle cap _ {n = 1} ^ {infty} A_ {n} = A_ {1} setminus cup _ {n = 2} ^ {infty} (A_ {1} setminus A_ {n})}$ .

Podobné koncepty

Pokud je první vlastnost oslabena na uzavření pod konečným spojením (tj. ${displaystyle Acup Bin {mathcal {R}}}$ kdykoli ${displaystyle A, Bin {mathcal {R}}}$ ), ale pak se to nepočítá ${displaystyle {mathcal {R}}}$ je prsten ale ne σ-kroužek.

Použití

Místo toho lze použít σ-kroužky σ pole (σ-algebry) ve vývoji opatření a integrace teorie, pokud si nepřejete požadovat, aby univerzální sada být měřitelný. Každé σ-pole je také σ-kroužkem, ale σ-kroužek nemusí být σ-polem.

Σ-kroužek ${displaystyle {mathcal {R}}}$ to je kolekce podmnožin ${displaystyle X}$ indukuje a σ-pole pro ${displaystyle X}$ . Definovat ${displaystyle {mathcal {A}} = {Acup B ^ {c} | A, Bin {mathcal {R}}}}$ . Pak ${displaystyle {mathcal {A}}}$ je pole σ nad množinou ${displaystyle X}$ - Chcete-li zkontrolovat uzavření v počitatelném spojení, připomenout a ${displaystyle sigma}$ -kruh je uzavřen pod spočetnými křižovatkami. Ve skutečnosti ${displaystyle {mathcal {A}}}$ je minimální pole σ obsahující ${displaystyle {mathcal {R}}}$ protože to musí být obsaženo v každém poli σ, které obsahuje ${displaystyle {mathcal {R}}}$ .

Viz také

Reference

Walter Rudin, 1976. Principy matematické analýzy, 3. místo. vyd. McGraw-Hill. Závěrečná kapitola využívá σ-kroužky při vývoji Lebesgueovy teorie.