Standardní prostor pravděpodobnosti

v teorie pravděpodobnosti, a standardní pravděpodobnostní prostor, také zvaný Pravděpodobnostní prostor Lebesgue – Rokhlin nebo prostě Lebesgueův prostor (druhý termín je nejednoznačný) je a pravděpodobnostní prostor splnění určitých předpokladů zavedených Vladimir Rokhlin v roce 1940. Neformálně jde o prostor pravděpodobnosti skládající se z intervalu a / nebo konečného nebo spočetného počtu atomy.

Teorii standardních prostorů pravděpodobnosti zahájil von Neumann v roce 1932 a formován Vladimir Rokhlin v roce 1940. Rokhlin ukázal, že jednotkový interval obdařen Lebesgueovo opatření má důležité výhody oproti obecným prostorům pravděpodobnosti, přesto je lze v teorii pravděpodobnosti účinně nahradit. Dimenze jednotkového intervalu není překážkou, jak již bylo jasné Norbert Wiener. Postavil Wienerův proces (také zvaný Brownův pohyb ) ve formě a měřitelný mapa z jednotkového intervalu do prostor spojitých funkcí.

Krátká historie

Teorii standardních prostorů pravděpodobnosti zahájil von Neumann v roce 1932^[1] a tvarováno Vladimir Rokhlin v roce 1940.^[2] Modernizované prezentace viz (Haezendonck 1973 ), (de la Rue 1993 ), (Itô 1984, Oddíl. 2.4) a (Rudolf 1990, Kapitola 2).

V dnešní době mohou být (a často jsou) standardní pravděpodobnostní prostory ošetřovány v rámci deskriptivní teorie množin, přes standardní Borelovy prostory, viz například (Kechris 1995, Oddíl. 17). Tento přístup je založen na věta o izomorfismu pro standardní Borelovy prostory (Kechris 1995, Věta (15.6)). Alternativní přístup Rokhlin založený na teorie míry, zanedbává nulové sady Na rozdíl od popisné teorie množin. Standardní pravděpodobnostní prostory se běžně používají v ergodická teorie,^[3]^[4]

Definice

Jedna z několika známých ekvivalentních definic standardnosti je uvedena po několika přípravách níže. Všechno pravděpodobnostní prostory se předpokládá, že jsou kompletní.

Izomorfismus

An izomorfismus mezi dvěma pravděpodobnostními prostory ${displaystyle extstyle (Omega _ {1}, {mathcal {F}} _ {1}, P_ {1})}$ , ${displaystyle extstyle (Omega _ {2}, {mathcal {F}} _ {2}, P_ {2})}$ je invertibilní mapa ${displaystyle extstyle f: Omega _ {1} o Omega _ {2}}$ takhle ${displaystyle extstyle f}$ a ${displaystyle extstyle f ^ {- 1}}$ oba jsou (měřitelné a) opatření zachování map.

Dva pravděpodobnostní prostory jsou izomorfní, pokud mezi nimi existuje izomorfismus.

Izomorfismus modulo nula

Dva pravděpodobnostní prostory ${displaystyle extstyle (Omega _ {1}, {mathcal {F}} _ {1}, P_ {1})}$ , ${displaystyle extstyle (Omega _ {2}, {mathcal {F}} _ {2}, P_ {2})}$ jsou izomorfní ${displaystyle extstyle operatorname {mod}, 0}$ , pokud existují nulové sady ${displaystyle extstyle A_ {1} podmnožina Omega _ {1}}$ , ${displaystyle extstyle A_ {2} podmnožina Omega _ {2}}$ takové, že pravděpodobnostní prostory ${displaystyle extstyle Omega _ {1} setminus A_ {1}}$ , ${displaystyle extstyle Omega _ {2} setminus A_ {2}}$ jsou izomorfní (jsou přirozeně obdařena sigma poli a mírou pravděpodobnosti).

Pravděpodobnostní prostor je Standard, pokud je izomorfní ${displaystyle extstyle operatorname {mod}, 0}$ do intervalu s Lebesgueovým měřítkem, konečnou nebo spočetnou sadou atomů nebo kombinací (disjunktní unie) obou.

Viz (Rokhlin 1952, Oddíl. 2.4 (str.20)), (Haezendonck 1973, Tvrzení 6 (str. 249) a Poznámka 2 (str. 250)) a (de la Rue 1993, Věta 4-3). Viz také (Kechris 1995, Oddíl. 17.F) a (Itô 1984, zejména odd. 2.4 a cvičení 3.1 (v)). V (Petersen 1983 „Definice 4.5 na straně 16) míra se předpokládá konečná, ne nutně pravděpodobnostní. V (Sinai 1994, Definice 1 na straně 16) atomy nejsou povoleny.

Příklady nestandardních prostorů pravděpodobnosti

Naivní bílý šum

Prostor všech funkcí ${displaystyle extstyle f: mathbb {R} o mathbb {R}}$ lze považovat za produkt ${displaystyle extstyle mathbb {R} ^ {mathbb {R}}}$ kontinua kopií skutečné linie ${displaystyle extstyle mathbb {R}}$ . Jeden může obdarovat ${displaystyle extstyle mathbb {R}}$ s mírou pravděpodobnosti, řekněme standardní normální rozdělení ${displaystyle extstyle gamma = N (0,1)}$ a zacházet s prostorem funkcí jako s produktem ${displaystyle extstyle (mathbb {R}, gama) ^ {mathbb {R}}}$ kontinua identických prostorů pravděpodobnosti ${displaystyle extstyle (mathbb {R}, gama)}$ . The míra produktu ${displaystyle extstyle gamma ^ {mathbb {R}}}$ je míra pravděpodobnosti na ${displaystyle extstyle mathbb {R} ^ {mathbb {R}}}$ . Mnoho neodborníků tomu věří ${displaystyle extstyle gamma ^ {mathbb {R}}}$ popisuje tzv bílý šum.

Nicméně není. Pro bílý šum by měl být jeho integrál od 0 do 1 distribuována náhodná proměnná N(0, 1). Naproti tomu integrál (od 0 do 1) ${displaystyle extstyle fin extstyle (mathbb {R}, gama) ^ {mathbb {R}}}$ není definováno. Ještě horší, ƒ není téměř jistě měřitelný. Ještě horší je pravděpodobnost ƒ být měřitelný není definováno. A nejhorší věc: pokud X je náhodná proměnná distribuovaná (řekněme) rovnoměrně na (0, 1) a nezávisle na ƒ, pak ƒ(X) vůbec není náhodná proměnná! (Chybí měřitelnost.)

Perforovaný interval

Nechat ${displaystyle extstyle Zsubset (0,1)}$ být soubor, jehož vnitřní Lebesgueova míra se rovná 0, ale vnější Lebesgueova míra se rovná 1 (tedy ${displaystyle extstyle Z}$ je neměřitelné extrémně). Existuje míra pravděpodobnosti ${displaystyle extstyle m}$ na ${displaystyle extstyle Z}$ takhle ${displaystyle extstyle m (Zcap A) = operatorname {mes} (A)}$ pro každého měřitelného Lebesgue ${displaystyle extstyle Asubset (0,1)}$ . (Tady ${displaystyle extstyle operatorname {mes}}$ je Lebesgueova míra.) Události a náhodné proměnné v prostoru pravděpodobnosti ${displaystyle extstyle (Z, m)}$ (ošetřeno ${displaystyle extstyle operatorname {mod}, 0}$ ) jsou v přirozené individuální korespondenci s událostmi a náhodnými proměnnými v prostoru pravděpodobnosti ${displaystyle extstyle ((0,1), operatorname {mes})}$ . Mnoho neodborníků má sklon k závěru, že prostor pravděpodobnosti ${displaystyle extstyle (Z, m)}$ je stejně dobrý jako ${displaystyle extstyle ((0,1), operatorname {mes})}$ .

Ale není. Náhodná proměnná ${displaystyle extstyle X}$ definován ${displaystyle extstyle X (omega) = omega}$ je distribuován rovnoměrně na ${displaystyle extstyle (0,1)}$ . Podmíněné opatření, dané ${displaystyle extstyle X = x}$ , je jen jeden atom (v ${displaystyle extstyle x}$ ), za předpokladu, že ${displaystyle extstyle ((0,1), operatorname {mes})}$ je základní prostor pravděpodobnosti. Pokud však ${displaystyle extstyle (Z, m)}$ místo toho se použije podmíněná míra, když ${displaystyle extstyle xotin Z}$ .

Podobně je vytvořen perforovaný kruh. Jeho události a náhodné proměnné jsou stejné jako na obvyklém kruhu. Skupina rotací na ně působí přirozeně. Nepůsobí však na děrovaný kruh.

Viz také (Rudolf 1990, strana 17).

Nadbytečná měřitelná množina

Nechat ${displaystyle extstyle Zsubset (0,1)}$ být jako v předchozím příkladu. Sady formuláře ${displaystyle extstyle (Acap Z) šálek (Bsetminus Z),}$ kde ${displaystyle extstyle A}$ a ${displaystyle extstyle B}$ jsou libovolné Lebesgueovy měřitelné množiny, jsou σ-algebra ${displaystyle extstyle {mathcal {F}};}$ obsahuje Lebesgueovu σ-algebru a ${displaystyle extstyle Z.}$ Vzorec

{displaystyle displaystyle m {ig (} (Acap Z) cup (Bsetminus Z) {ig)} = p, operatorname {mes} (A) + (1-p) operatorname {mes} (B)}

dává obecnou formu míry pravděpodobnosti ${displaystyle extstyle m}$ na ${displaystyle extstyle {ig (} (0,1), {mathcal {F}} {ig)}}$ která rozšiřuje Lebesgueovo opatření; tady ${displaystyle extstyle pin [0,1]}$ je parametr. Abychom byli konkrétní, volíme ${displaystyle extstyle p = 0,5.}$ Mnoho neodborníků má sklon věřit, že takové rozšíření Lebesgueova opatření je přinejmenším neškodné.

Je to však zamaskovaný perforovaný interval. Mapa

{displaystyle f (x) = {egin {cases} 0,5x & {ext {for}} xin Z, 0,5 + 0,5x & {ext {for}} xin (0,1) setminus Zend {cases}}}

je izomorfismus mezi ${displaystyle extstyle {ig (} (0,1), {mathcal {F}}, m {ig)}}$ a perforovaný interval odpovídající sadě

{displaystyle displaystyle Z_ {1} = {0,5x: xin Z} šálek {0,5 + 0,5x: xin (0,1) setminus Z} ,,}

další sada vnitřní Lebesgueovy míry 0, ale vnější Lebesgueovy míry 1.

Viz také (Rudolf 1990, Cvičení 2.11 na straně 18).

Kritérium standardnosti

Standardnost daného pravděpodobnostního prostoru ${displaystyle extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ je ekvivalentní určité vlastnosti měřitelné mapy ${displaystyle extstyle f}$ z ${displaystyle extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ do měřitelného prostoru ${displaystyle extstyle (X, Sigma).}$ Odpověď (standardní nebo ne) nezávisí na výběru ${displaystyle extstyle (X, Sigma)}$ a ${displaystyle extstyle f}$ . Tato skutečnost je docela užitečná; jeden může přizpůsobit výběr ${displaystyle extstyle (X, Sigma)}$ a ${displaystyle extstyle f}$ k danému ${displaystyle extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P).}$ Není třeba zkoumat všechny případy. Může být vhodné prozkoumat náhodnou proměnnou ${displaystyle extstyle f: Omega o mathbb {R},}$ náhodný vektor ${displaystyle extstyle f: Omega o mathbb {R} ^ {n},}$ náhodná sekvence ${displaystyle extstyle f: Omega o mathbb {R} ^ {infty},}$ nebo sled událostí ${displaystyle extstyle (A_ {1}, A_ {2}, tečky)}$ považováno za posloupnost dvouhodnotových náhodných proměnných, ${displaystyle extstyle f: Omega o {0,1} ^ {infty}.}$

Budou uloženy dvě podmínky ${displaystyle extstyle f}$ (být injekční a generování). Níže se předpokládá, že takové ${displaystyle extstyle f}$ je dáno. Otázka jeho existence bude řešena později.

Pravděpodobnostní prostor ${displaystyle extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ se předpokládá, že je kompletní (jinak to nemůže být standardní).

Jedna náhodná proměnná

Měřitelná funkce ${displaystyle extstyle f: Omega o mathbb {R}}$ indukuje a dopředné opatření ${displaystyle f _ {*} P}$ - míra pravděpodobnosti ${displaystyle extstyle mu}$ na ${displaystyle extstyle mathbb {R},}$ definován

{displaystyle displaystyle mu (B) = (f _ {*} P) (B) = P {ig (} f ^ {- 1} (B) {ig)}}

pro sady Borel

{displaystyle extstyle Bsubset mathbb {R}.}

tj rozdělení náhodné proměnné ${displaystyle f}$ . Obrázek ${displaystyle extstyle f (Omega)}$ je vždy soubor celé vnější míry,

{displaystyle displaystyle mu ^ {*} {ig (} f (Omega) {ig)} = inf _ {Bsupset f (Omega)} mu (B) = inf _ {Bsupset f (Omega)} P (f ^ {- 1} (B)) = P (Omega) = 1,}

ale jeho vnitřní míra se mohou lišit (viz perforovaný interval). Jinými slovy, ${displaystyle extstyle f (Omega)}$ nemusí být sada plná míra ${displaystyle extstyle mu.}$

Měřitelná funkce ${displaystyle extstyle f: Omega o mathbb {R}}$ je nazýván generování -li ${displaystyle extstyle {mathcal {F}}}$ je dokončení s ohledem na ${displaystyle P}$ σ-algebry inverzních obrazů ${displaystyle extstyle f ^ {- 1} (B),}$ kde ${displaystyle extstyle Bsubset mathbb {R}}$ běží přes všechny sady Borel.

Pozor. Následující podmínka není dostatečná pro ${displaystyle extstyle f}$ generovat: pro každého ${displaystyle extstyle Ain {mathcal {F}}}$ existuje sada Borel ${displaystyle extstyle Bsubset mathbb {R}}$ takhle ${displaystyle extstyle P (A {mathbin {Delta}} f ^ {- 1} (B)) = 0.}$ ( ${displaystyle extstyle Delta}$ prostředek symetrický rozdíl ).

Teorém. Nechť měřitelná funkce ${displaystyle extstyle f: Omega o mathbb {R}}$ být injektivní a generující, pak jsou následující dvě podmínky rovnocenné:

${displaystyle mu (extstyle f (Omega)) = 1}$ (tj. vnitřní míra má také plnou míru a obraz ${displaystyle extstyle f (Omega)}$ je měřitelný s ohledem na dokončení);
${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, P),}$ je standardní prostor pravděpodobnosti.

Viz také (Itô 1984, Oddíl. 3.1).

Náhodný vektor

Stejná věta platí pro všechny ${displaystyle mathbb {R} ^ {n},}$ (namísto ${displaystyle mathbb {R},}$ ). Měřitelná funkce ${displaystyle f: Omega o mathbb {R} ^ {n},}$ lze považovat za konečnou posloupnost náhodných proměnných ${displaystyle X_ {1}, tečky, X_ {n}: Omega o mathbb {R} ,,}$ a ${displaystyle f,}$ generuje právě tehdy ${displaystyle {mathcal {F}},}$ je dokončení σ-algebry generované ${displaystyle X_ {1}, tečky, X_ {n}.,}$

Náhodná sekvence

Věta stále platí pro prostor ${displaystyle mathbb {R} ^ {infty},}$ nekonečných sekvencí. Měřitelná funkce ${displaystyle f: Omega o mathbb {R} ^ {infty},}$ lze považovat za nekonečnou posloupnost náhodných proměnných ${displaystyle X_ {1}, X_ {2}, tečky: Omega o mathbb {R} ,,}$ a ${displaystyle f,}$ generuje právě tehdy ${displaystyle {mathcal {F}},}$ je dokončení σ-algebry generované ${displaystyle X_ {1}, X_ {2}, tečky.}}$

Sled událostí

Zejména pokud jde o náhodné proměnné ${displaystyle X_ {n},}$ vezmeme-li pouze dvě hodnoty 0 a 1, jedná se o měřitelnou funkci ${displaystyle f: Omega o {0,1} ^ {infty},}$ a sled sad ${displaystyle A_ {1}, A_ {2}, ldots in {mathcal {F}}.,}$ Funkce ${displaystyle f,}$ generuje právě tehdy ${displaystyle {mathcal {F}},}$ je dokončení σ-algebry generované ${displaystyle A_ {1}, A_ {2}, tečky.,}$

V průkopnické práci (Rokhlin 1952 ) sekvence ${displaystyle A_ {1}, A_ {2}, ldots,}$ které odpovídají injektivní, generující ${displaystyle f,}$ jsou nazývány základny pravděpodobnostního prostoru ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, P),}$ (vidět Rokhlin 1952, Oddíl. 2.1). Základ se nazývá kompletní mod 0, pokud ${displaystyle f (Omega),}$ je v plné míře ${displaystyle mu ,,}$ viz (Rokhlin 1952, Oddíl. 2.2). Ve stejné části Rokhlin dokázal, že pokud je pravděpodobnostní prostor úplný mod 0 vzhledem k nějakému základu, pak je to úplný mod 0 vzhledem ke každému druhému základu a definuje Lebesgueovy prostory touto vlastností úplnosti. Viz také (Haezendonck 1973, Prop. 4 a Def. 7) a (Rudolf 1990, Oddíl. 2.3, zejména věta 2.2).

Další poznámky

Čtyři výše zpracované případy jsou vzájemně rovnocenné a lze je sjednotit, protože měřitelné prostory ${displaystyle mathbb {R} ,,}$ ${displaystyle mathbb {R} ^ {n} ,,}$ ${displaystyle mathbb {R} ^ {infty},}$ a ${displaystyle {0,1} ^ {infty},}$ jsou vzájemně izomorfní; všichni jsou standardní měřitelné prostory (jinými slovy, standardní Borelovy prostory).

Existence injektivní měřitelné funkce od ${displaystyle extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ do standardního měřitelného prostoru ${displaystyle extstyle (X, Sigma)}$ nezávisí na výběru ${displaystyle extstyle (X, Sigma).}$ Brát ${displaystyle extstyle (X, Sigma) = {0,1} ^ {infty}}$ získáme majetek známý jako bytí spočetně oddělené (ale volal oddělitelný v Itô 1984 ).

Existence generující měřitelné funkce z ${displaystyle extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ do standardního měřitelného prostoru ${displaystyle extstyle (X, Sigma)}$ také nezávisí na výběru ${displaystyle extstyle (X, Sigma).}$ Brát ${displaystyle extstyle (X, Sigma) = {0,1} ^ {infty}}$ získáme majetek známý jako bytí spočetně vygenerováno (mod 0), viz (Durrett 1996, Exer. I.5).

Pravděpodobný prostor	Počitatelně oddělené	Počitatelně vygenerováno	Standard
Interval s Lebesgueovým měřítkem	Ano	Ano	Ano
Naivní bílý šum	Ne	Ne	Ne
Perforovaný interval	Ano	Ano	Ne

Každá injekčně měřitelná funkce od a Standard pravděpodobnostní prostor do a Standard generuje se měřitelný prostor. Viz (Rokhlin 1952, Oddíl. 2,5), (Haezendonck 1973, Dodatek 2 na straně 253), (de la Rue 1993, Věty 3-4 a 3-5). Tato vlastnost neplatí pro nestandardní prostor pravděpodobnosti, který je popsán v podkapitole „Nadbytečná měřitelná množina“ výše.

Pozor. Vlastnost spočitatelného generování je neměnná pod izomorfismy módu 0, ale vlastnost spočitatelného oddělení není. Ve skutečnosti standardní prostor pravděpodobnosti ${displaystyle extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ je spočetně oddělena právě tehdy, když mohutnost z ${displaystyle extstyle Omega}$ nepřesahuje kontinuum (vidět Itô 1984, Exer. 3.1 (v)). Standardní prostor pravděpodobnosti může obsahovat nulovou sadu jakékoli mohutnosti, a proto nemusí být spočetně oddělena. Vždy však obsahuje spočetnou samostatnou podmnožinu plné míry.

Ekvivalentní definice

Nechat ${displaystyle extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ být úplným prostorem pravděpodobnosti takovým, aby mohutnost ${displaystyle extstyle Omega}$ nepřesahuje kontinuum (obecný případ je redukován na tento speciální případ, viz výše uvedená upozornění).

Přes absolutní měřitelnost

Definice. ${displaystyle extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ je standardní, pokud je spočetně oddělené, spočetně generované a absolutně měřitelné.

Viz (Rokhlin 1952, konec sekce. 2.3) a (Haezendonck 1973, Poznámka 2 na straně 248). „Absolutně měřitelný“ znamená: měřitelný v každém spočetně odděleném, spočetně vygenerovaném pravděpodobnostním prostoru, který jej obsahuje.

Přes dokonalost

Definice. ${displaystyle extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ je standardní, pokud je spočetně oddělené a dokonalé.

Viz (Itô 1984, Oddíl. 3.1). „Perfektní“ znamená, že pro každou měřitelnou funkci od ${displaystyle extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ na ${displaystyle mathbb {R},}$ míra obrazu je pravidelný. (Zde je míra obrazu definována u všech sad, jejichž inverzní obrazy patří ${displaystyle extstyle {mathcal {F}}}$ , bez ohledu na borelskou strukturu ${displaystyle mathbb {R},}$ ).

Prostřednictvím topologie

Definice. ${displaystyle extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ je standardní, pokud existuje a topologie ${displaystyle extstyle au}$ na ${displaystyle extstyle Omega}$ takhle

topologický prostor ${displaystyle extstyle (Omega, au)}$ je měřitelný;
${displaystyle extstyle {mathcal {F}}}$ je dokončení σ-algebry generované ${displaystyle extstyle au}$ (tj. u všech otevřených množin);
pro každého ${displaystyle extstyle varepsilon> 0}$ existuje kompaktní sada ${displaystyle extstyle K}$ v ${displaystyle extstyle (Omega, au)}$ takhle ${displaystyle extstyle P (K) geq 1-varepsilon.}$

Viz (de la Rue 1993, Oddíl. 1).

Ověření standardnosti

Každé rozdělení pravděpodobnosti v prostoru ${displaystyle extstyle mathbb {R} ^ {n}}$ změní to na standardní prostor pravděpodobnosti. (Zde rozdělení pravděpodobnosti znamená míru pravděpodobnosti definovanou původně na Borel sigma-algebra a dokončeno.)

Totéž platí pro všechny Polský prostor, viz (Rokhlin 1952, Oddíl. 2,7 (str.24)), (Haezendonck 1973, Příklad 1 (str. 248)), (de la Rue 1993, Theorem 2-3) a (Itô 1984, Věta 2.4.1).

Například opatření Wiener změní polský prostor ${displaystyle extstyle C [0, infty)}$ (všech spojitých funkcí ${displaystyle extstyle [0, infty) o mathbb {R},}$ obdařen topologie z místní jednotná konvergence ) do standardního pravděpodobnostního prostoru.

Další příklad: pro každou sekvenci náhodných proměnných změní jejich společné rozdělení polský prostor ${displaystyle extstyle mathbb {R} ^ {infty}}$ (sekvencí; obdařen topologie produktu ) do standardního pravděpodobnostního prostoru.

(Tedy myšlenka dimenze, velmi přirozené pro topologické prostory, je naprosto nevhodné pro standardní pravděpodobnostní prostory.)

The produkt dvou standardních prostorů pravděpodobnosti je standardní prostor pravděpodobnosti.

Totéž platí pro produkt spočítatelně mnoha mezer, viz (Rokhlin 1952, Oddíl. 3.4), (Haezendonck 1973, Tvrzení 12) a (Itô 1984, Věta 2.4.3).

Měřitelná podmnožina standardního pravděpodobnostního prostoru je standardní pravděpodobnostní prostor. Předpokládá se, že množina není nulovou množinou a je vybavena podmíněnou mírou. Viz (Rokhlin 1952, Oddíl. 2.3 (str. 14)) a (Haezendonck 1973, Tvrzení 5).

Každý míra pravděpodobnosti na standardní Borelův prostor změní to na standardní prostor pravděpodobnosti.

Pomocí standardnosti

Pravidelné podmíněné pravděpodobnosti

V diskrétním nastavení je podmíněná pravděpodobnost dalším měřítkem pravděpodobnosti a podmíněné očekávání lze považovat za (obvyklé) očekávání s ohledem na podmíněné měřítko, viz podmíněné očekávání. V nediskrétním nastavení se s úpravou zachází často nepřímo, protože podmínka může mít pravděpodobnost 0, viz podmíněné očekávání. Výsledkem je, že řada známých skutečností má speciální „podmíněné“ protějšky. Například: linearita očekávání; Jensenova nerovnost (viz podmíněné očekávání ); Hölderova nerovnost; the monotónní věta o konvergenci, atd.

Vzhledem k náhodné proměnné ${displaystyle extstyle Y}$ v prostoru pravděpodobnosti ${displaystyle extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ , je přirozené pokusit se vytvořit podmíněné opatření ${displaystyle extstyle P_ {y}}$ , toto je podmíněné rozdělení z ${displaystyle extstyle omega v Omeze}$ daný ${displaystyle extstyle Y (omega) = y}$ . To je obecně nemožné (viz Durrett 1996, Oddíl. 4 písm. C)). Pro a Standard pravděpodobnostní prostor ${displaystyle extstyle (Omega, {mathcal {F}}, P)}$ toto je možné a dobře známé jako kanonický systém opatření (vidět Rokhlin 1952, Oddíl. 3.1), což je v zásadě stejné jako opatření podmíněné pravděpodobnosti (vidět Itô 1984, Oddíl. 3.5), rozpad opatření (vidět Kechris 1995, Cvičení (17.35)) a pravidelné podmíněné pravděpodobnosti (vidět Durrett 1996, Oddíl. 4 písm. C)).

Podmíněná Jensenova nerovnost je jen (obvyklá) Jensenova nerovnost aplikovaná na podmíněné opatření. Totéž platí pro mnoho dalších skutečností.

Měření zachování transformací

Vzhledem ke dvěma prostorům pravděpodobnosti ${displaystyle extstyle (Omega _ {1}, {mathcal {F}} _ {1}, P_ {1})}$ , ${displaystyle extstyle (Omega _ {2}, {mathcal {F}} _ {2}, P_ {2})}$ a opatření na zachování mapy ${displaystyle extstyle f: Omega _ {1} o Omega _ {2}}$ , obrázek ${displaystyle extstyle f (Omega _ {1})}$ nemusí pokrývat celek ${displaystyle extstyle Omega _ {2}}$ , může chybět nulová sada. Může se to zdát ${displaystyle extstyle P_ {2} (f (Omega _ {1}))}$ musí být rovno 1, ale není tomu tak. Vnější míra ${displaystyle extstyle f (Omega _ {1})}$ je rovno 1, ale vnitřní míra se může lišit. Pokud je však pravděpodobnost mezery ${displaystyle extstyle (Omega _ {1}, {mathcal {F}} _ {1}, P_ {1})}$ , ${displaystyle extstyle (Omega _ {2}, {mathcal {F}} _ {2}, P_ {2})}$ jsou Standard pak ${displaystyle extstyle P_ {2} (f (Omega _ {1})) = 1}$ , viz (de la Rue 1993, Věta 3-2). Li ${displaystyle extstyle f}$ je také jedna k jedné, pak každá ${displaystyle extstyle Ain {mathcal {F}} _ {1}}$ splňuje ${displaystyle extstyle f (A) in {mathcal {F}} _ {2}}$ , ${displaystyle extstyle P_ {2} (f (A)) = P_ {1} (A)}$ . Proto, ${displaystyle extstyle f ^ {- 1}}$ je měřitelný (a měří zachování). Viz (Rokhlin 1952, Oddíl. 2,5 (str. 20)) a (de la Rue 1993, Věta 3-5). Viz také (Haezendonck 1973, Návrh 9 (a poznámka po něm)).

„Existuje koherentní způsob, jak ignorovat sady míry 0 v prostoru míry“ (Petersen 1983, strana 15). Ve snaze zbavit se nulových množin matematici často používají třídy ekvivalence měřitelných množin nebo funkcí. Třídy ekvivalence měřitelných podmnožin prostoru pravděpodobnosti tvoří normovaný kompletní booleovská algebra volal měřit algebru (nebo metrická struktura). Každé opatření zachovává mapu ${displaystyle extstyle f: Omega _ {1} o Omega _ {2}}$ vede k homomorfismu ${displaystyle extstyle F}$ algebry opatření; v podstatě, ${displaystyle extstyle F (B) = f ^ {- 1} (B)}$ pro ${displaystyle extstyle Bin {mathcal {F}} _ {2}}$ .

Může se zdát, že každý homomorfismus míry algebry musí odpovídat nějaké mapě zachovávající míru, ale není tomu tak. Nicméně pro Standard pravděpodobnostní prostory každý ${displaystyle extstyle F}$ odpovídá některým ${displaystyle extstyle f}$ . Viz (Rokhlin 1952, Oddíl. 2.6 (str.23) a 3.2), (Kechris 1995, Oddíl. 17.F), (Petersen 1983, Věta 4.7 na straně 17).

Viz také

* (2001) [1994], "Standardní pravděpodobnostní prostor", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMSCS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)

Poznámky

^ (von Neumann 1932 ) a (Halmos a von Neumann 1942 ) jsou citovány v (Rokhlin 1952, strana 2) a (Petersen 1983, strana 17).
^ Zveřejněno v roce 1947, podrobně v roce 1949 v ruštině a v roce 1952 (Rokhlin 1952 ) v angličtině. Nepublikovaný text z roku 1940 je zmíněn v (Rokhlin 1952, strana 2). „Teorii Lebesgueových prostorů v její současné podobě vytvořil V. A. Rokhlin“ (Sinai 1994, strana 16).
^ „V této knize se budeme zabývat výhradně Lebesgueovými prostory“ (Petersen 1983, strana 17).
^ „Ergodická teorie o Lebesgueových prostorech“ je podtitul knihy (Rudolf 1990 ).

Reference

Rokhlin, V. A. (1952), K základním myšlenkám teorie míry (PDF), Překlady, 71, American Mathematical Society, s. 1–54. Přeloženo z ruštiny: Рохлин, В. А. (1949), „Об основных понятиях теории меры“, Математический Сборник (Новая Серия), 25 (67): 107–150.
von Neumann, J. (1932), „Einige Sätze über messbare Abbildungen“, Annals of Mathematics, Druhá série, 33: 574–586, doi:10.2307/1968536.
Halmos, P. R.; von Neumann, J. (1942), „Operátorské metody v klasické mechanice, II“, Annals of Mathematics, Druhá série, Annals of Mathematics, 43 (2): 332–350, doi:10.2307/1968872, JSTOR 1968872.
Haezendonck, J. (1973), „Abstract Lebesgue – Rohlin spaces“, Bulletin de la Société Mathématique de Belgique, 25: 243–258.
de la Rue, T. (1993), „Espaces de Lebesgue“, Séminaire de Probabilités XXVIIPřednášky z matematiky, 1557„Springer, Berlín, s. 15–21.
Petersen, K. (1983), Ergodická teorie, Cambridge Univ. lis.
Je to v pořádku. (1984), Úvod do teorie pravděpodobnosti, Cambridge Univ. lis.
Rudolph, D. J. (1990), Základy měřitelné dynamiky: Ergodická teorie o Lebesgueových prostorech, Oxford: Clarendon Press.
Sinai, Ya. G. (1994), Témata v ergodické teorii, Princeton Univ. lis.
Kechris, A. S. (1995), Klasická deskriptivní teorie množinSpringer.
Durrett, R. (1996), Pravděpodobnost: teorie a příklady (Druhé vydání).
Wiener, N. (1958), Nelineární problémy v náhodné teorii, M.I.T. lis.

.

[1] (von Neumann 1932 ) a (Halmos a von Neumann 1942 ) jsou citovány v (Rokhlin 1952, strana 2) a (Petersen 1983, strana 17).

[2] Zveřejněno v roce 1947, podrobně v roce 1949 v ruštině a v roce 1952 (Rokhlin 1952 ) v angličtině. Nepublikovaný text z roku 1940 je zmíněn v (Rokhlin 1952, strana 2). „Teorii Lebesgueových prostorů v její současné podobě vytvořil V. A. Rokhlin“ (Sinai 1994, strana 16).

[3] „V této knize se budeme zabývat výhradně Lebesgueovými prostory“ (Petersen 1983, strana 17).

[4] „Ergodická teorie o Lebesgueových prostorech“ je podtitul knihy (Rudolf 1990 ).

[1]

[2]

[3]

[4]