Kvazikonformní mapování - Quasiconformal mapping

V matematice komplexní analýza, a kvazikonformní mapování, představil Grötzsch (1928) a pojmenoval Ahlfors (1935), je homeomorfismus mezi rovinnými doménami, který do prvního řádu vede malými kruhy k malým elipsám ohraničených excentricita.

Intuitivně, pojďme F : D → D′ Být orientace -zachování homeomorfismus mezi otevřené sady v letadle. Li F je průběžně diferencovatelné, pak je K.-quasiconformal pokud je derivát F v každém bodě mapuje kruhy na elipsy s excentricitou ohraničenou K..

Definice

Předpokládat F : D → DKde D a D′ Jsou dvě domény v doméně C. Existuje celá řada ekvivalentních definic, v závislosti na požadované hladkosti F. Li F se předpokládá, že má kontinuální částečné derivace, pak F je kvazikonformní za předpokladu, že splňuje Beltramiho rovnice

{ displaystyle { frac { částečné f} { částečné { bar {z}}}} = mu (z) { frac { částečné f} { částečné z}},}

(1)

pro některé složité hodnoty Lebesgue měřitelný μ uspokojující sup | μ | <1 (Bers 1977 ). Tato rovnice připouští geometrickou interpretaci. Vybavit D s metrický tenzor

{ displaystyle ds ^ {2} = Omega (z) ^ {2} vlevo | , dz + mu (z) , d { bar {z}} vpravo | ^ {2},}

kde Ω (z)> 0. Potom F splňuje (1) právě když se jedná o konformní transformaci z D vybavené touto metrikou do domény D′ Vybaven standardní euklidovskou metrikou. Funkce F je poté volána μ-konformní. Obecněji řečeno, nepřetržitá diferencovatelnost F lze nahradit slabší podmínkou, že F být v Sobolevův prostor Ž^1,2(D) funkcí, jejichž prvního řádu distribuční deriváty jsou v L²(D). V tomto případě, F musí být a slabé řešení z (1). Když μ je téměř všude nula, jakýkoli homeomorfismus uvnitř Ž^1,2(D), což je slabé řešení (1) je konformní.

Bez odvolání na pomocnou metriku zvažte účinek zarazit pod F obvyklé euklidovské metriky. Výsledná metrika je pak dána vztahem

{ displaystyle left | { frac { částečné f} { částečné z}} pravé | ^ {2} levé | , dz + mu (z) , d { bar {z}} vpravo | ^ {2}}

který vzhledem k pozadí euklidovská metrika ${ displaystyle dzd { bar {z}}}$ , má vlastní čísla

{ displaystyle (1+ | mu |) ^ {2} textstyle { left | { frac { částečné f} { částečné z}} pravé | ^ {2}}, qquad (1- | mu |) ^ {2} textstyle { left | { frac { částečné f} { částečné z}} doprava | ^ {2}}.}

Vlastní čísla představují druhou mocninu hlavní a vedlejší osy elipsy získanou tažením zpět podél F jednotkový kruh v tečné rovině.

V souladu s tím dilatace z F v určitém okamžiku z je definováno

{ displaystyle K (z) = { frac {1+ | mu (z) |} {1- | mu (z) |}}.}

Základní) supremum z K.(z) darováno

{ displaystyle K = sup _ {z in D} | K (z) | = { frac {1+ | mu | _ { infty}} {1- | mu | _ { infty}}}}

a nazývá se dilataceF.

Definice založená na pojmu extrémní délka je následující. Pokud existuje konečný K. takové, že pro každou sbírku Γ křivek v D extrémní délka Γ je nanejvýš K. krát extrémní délka {F o γ: γ ∈Γ}. Pak F je K.-kvazikonformní.

Li F je K.-kvazi konformní pro některé konečné K., pak F je kvazikonformní.

Několik faktů o kvazikonformních mapováních

Li K. > 1 pak mapy X + iy ↦ Kx + iy a X + iy ↦ X + iKy jsou kvazikonformní a mají konstantní dilataci K..

Li s > -1 pak mapa ${ displaystyle z mapsto z , | z | ^ {s}}$ je kvazikonformní (zde z je komplexní číslo) a má konstantní dilataci ${ displaystyle max (1 + s, { frac {1} {1 + s}})}$ . Když s ≠ 0, toto je příklad kvazikonformního homeomorfismu, který není plynulý. Li s = 0, toto je jednoduše mapa identity.

Homeomorfismus je 1-kvazikonformní, právě když je konformní. Proto je mapa identity vždy 1-kvazikonformní. Li F : D → D' je K.-kvazikonformní a G : D′ → D'' je K.′ -Quasiconformal, tedy G ÓF je KK'Kvazikonformní. Inverzní funkce a K.-kvazikonformní homeomorfismus je K.-kvazikonformní. Sada 1-kvazikonformních map tvoří skupinu ve složení.

Prostor K-kvazikonformních zobrazení od komplexní roviny k sobě mapující tři odlišné body na tři dané body je kompaktní.

Měřitelná Riemannova věta o mapování

V teorii kvazikonformních mapování ve dvou dimenzích má ústřední význam měřitelná Riemannova věta o mapování, prokázali Lars Ahlfors a Lipman Bers. Věta zobecňuje Riemannova věta o mapování z konformních na kvazikonformní homeomorfismy a je uvedeno následovně. Předpokládejme to D je jednoduše připojená doména v C to se nerovná C, a předpokládejme, že μ: D → C je Lebesgue měřitelný a uspokojuje ${ displaystyle | mu | _ { infty} <1}$ . Pak existuje kvazikonformní homeomorfismus F z D na disk jednotky, který je v Sobolevově prostoru Ž^1,2(D) a splňuje odpovídající Beltramiho rovnici (1) v distribuční smysl. Stejně jako u Riemannovy věty o mapování, i zde F je jedinečný až do 3 skutečných parametrů.

n-dimenzionální zobecnění

Výpočetní kvazi-konformní geometrie

Kvazikonformní geometrie v poslední době přitahuje pozornost z různých oborů, jako je aplikovaná matematika, počítačové vidění a lékařské zobrazování. Byla vyvinuta výpočetní kvazi-konformní geometrie, která rozšiřuje kvazi-konformní teorii do diskrétního prostředí. Nalezl různé důležité aplikace v lékařské analýze obrazu, počítačovém vidění a grafice.

Viz také

Reference

Ahlfors, Larsi (1935), „Zur Theorie der Überlagerungsflächen“, Acta Mathematica (v němčině), 65 (1): 157–194, doi:10.1007 / BF02420945, ISSN 0001-5962, JFM 61.0365.03, Zbl 0012.17204.
Ahlfors, Lars V. (2006) [1966], Přednášky o kvazikonformních mapováních, Univerzitní přednáškový cyklus, 38 (2. vyd.), Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-3644-6, PAN 2241787, Zbl 1103.30001, (recenze prvního vydání: PAN0200442, Zbl 1103.30001 ).
Bers, Lipmane (1977), „Quasiconformal mappings, with applications to diferenciální rovnice, teorie funkcí a topologie“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 83 (6): 1083–1100, doi:10.1090 / S0002-9904-1977-14390-5, PAN 0463433.
Caraman, Petru (1974) [1968], n–Dimenzionální mapování kvazikonformních (QCf) (přepracované vydání), Bucureşti / Tunbridge Wells, Kent: Editura Academiei / Abacus Press, str. 553, ISBN 0-85626-005-3, PAN 0357782, Zbl 0342.30015.
Grötzsch, Herbert (1928), „Über einige Extremalprobleme der konformen Abbildung. I, II.“, Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Classe (v němčině), 80: 367–376, 497–502, JFM 54.0378.01.
Heinonen, Juha (prosinec 2006), „Co je ... kvazikonformní mapování?“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 53 (11): 1334–1335, PAN 2268390, Zbl 1142.30322.
Lehto, O .; Virtanen, K.I. (1973), Kvazikonformní zobrazení v rovině, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 126 (2. vyd.), Berlín – Heidelberg – New York: Springer Verlag, str. VIII + 258, ISBN 3-540-03303-3, PAN 0344463, Zbl 0267.30016 (k dispozici také jako ISBN 0-387-03303-3).
Morrey, Charles B. Jr. (1938), „O řešení kvazilineárních eliptických parciálních diferenciálních rovnic“, Transakce Americké matematické společnosti, 43 (1): 126–166, doi:10.2307/1989904, JFM 62.0565.02, JSTOR 1989904, PAN 1501936, Zbl 0018.40501.
Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Handbook of Teichmüller theory. Sv. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, PAN2284826.
Papadopoulos, Athanase, ed. (2009), Handbook of Teichmüller theory. Sv. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, PAN2524085.
Zorich, V. A. (2001) [1994], „Kvazi-konformní mapování“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.