Věta o pevném bodě Markov – Kakutani - Markov–Kakutani fixed-point theorem
v matematika, Věta o pevném bodě Markov – Kakutani, pojmenoval podle Andrey Markov a Shizuo Kakutani, uvádí, že dojíždějící rodina kontinuální afinní samo-mapování a kompaktní konvexní podmnožina v lokálně konvexní topologický vektorový prostor má společný pevný bod.
Prohlášení
Nechat E být lokálně konvexní topologický vektorový prostor. Nechat C být kompaktní konvexní podmnožinou E. Nechat S být dojíždějící rodinou samomapování T z C které jsou spojité a afinní, tj.T(tx +(1 – t)y) = tT(X) + (1 – t)T(y) pro t v [0,1] a X, y v C. Pak mají mapování společný pevný bodC.
Důkaz jediného afinního samo-mapování
Nechat T být kontinuální afinní samo-mapování C.
Pro X v C definovat další prvky C podle
Od té doby C je kompaktní, je v něm konvergentní podsíť C:
Dokázat to y je pevný bod, stačí to ukázat F(Ty) = F(y) pro každého F v duálu E(Duál odděluje body Hahn-Banachovou větou; zde se používá předpoklad lokální konvexity.)
Od té doby C je kompaktní, |F| je omezen na C kladnou konstantou M. Na druhou stranu
Brát N = Ni a předání k limitu jako i jde do nekonečna, z toho vyplývá
Proto
Důkaz věty
Sada pevných bodů jednoho afinního mapování T je neprázdná kompaktní konvexní sada CT podle výsledku pro jedno mapování. Ostatní mapování v rodině S dojíždět s T tak odejdi CT neměnný. Při použití výsledku pro jedno mapování postupně z toho vyplývá, že každá konečná podmnožina S má neprázdnou pevnou množinu bodů danou jako průsečík kompaktních konvexních množin CT tak jako T rozsahy přes podmnožinu. Z kompaktnost z C z toho vyplývá, že množina
není prázdný (a kompaktní a konvexní).
Reference
- Markov, A. (1936), „Quelques théorèmes sur les ensembles abéliens“, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 10: 311–314
- Kakutani, S. (1938), „Dvě věty o pevném bodě týkající se bikompaktních konvexních množin“, Proc. Imp. Akad. Tokio, 14: 242–245
- Reed, M .; Simon, B. (1980), Funkční analýzaMetody matematické fyziky, 1 (2. přepracované vydání), Academic Press, str. 152, ISBN 0-12-585050-6