Kardinální funkce - Cardinal function

V matematice, a kardinální funkce (nebo kardinální invariant) je funkce, která vrací základní čísla.

Kardinální funkce v teorii množin

• Nejčastěji používanou základní funkcí je funkce, která přiřazuje a soubor „A“ je mohutnost, označeno |A |.
• Aleph čísla a beth čísla lze považovat za základní funkce definované na řadové číslovky.
• Kardinální aritmetika operace jsou příklady funkcí od hlavních čísel (nebo jejich párů) po hlavní čísla.
• Kardinální charakteristika (vlastní) ideál Já podskupin X jsou:

${ displaystyle { rm {add}} (I) = min {| { mathcal {A}} |: { mathcal {A}} subseteq I wedge bigcup { mathcal {A}} notin I { big }}.}$

"Aditivita" Já je nejmenší počet sad z Já jehož unie není v Já víc. Protože jakýkoli ideál je uzavřen pod konečnými odbory, je toto číslo vždy alespoň ${ displaystyle aleph _ {0}}$; -li Já je tedy σ-ideální ${ displaystyle operatorname {add} (I) geq aleph _ {1}.}$

${ displaystyle operatorname {cov} (I) = min {| { mathcal {A}} |: { mathcal {A}} subseteq I wedge bigcup { mathcal {A}} = X { velký }}.}$

"Krycí číslo" Já je nejmenší počet sad z Já jehož unie je celá X. Tak jako X sám o sobě není Já, musíme přidat (Já) ≤ cov (Já).

${ displaystyle operatorname {non} (I) = min {| A |: A subseteq X klín A notin I { big }},}$

"Číslo jednotnosti" Já (někdy také psáno ${ displaystyle { rm {unif}} (I)}$) je velikost nejmenší sady, která není v Já. Za předpokladu Já obsahuje všechny singletony, přidat (Já) ≤ ne (Já).

${ displaystyle { rm {cof}} (I) = min {| { mathcal {B}} |: { mathcal {B}} subseteq I wedge ( forall A in I) ( existuje B v { mathcal {B}}) (A subseteq B) { big }}.}$

"Spolufinancování" Já je spolufinancování z částečná objednávka (Já, ⊆). Je snadné vidět, že musíme mít non (Já) ≤ cof (Já) a cov (Já) ≤ cof (Já).

V případě, že ${ displaystyle I}$ je ideál úzce související se strukturou skutečností, jako je například ideál Lebesgueovy nulové sady nebo ideál hubené sady, tyto kardinální invarianty jsou označovány jako základní charakteristiky kontinua.

• Pro předobjednaná sada ${ displaystyle ({ mathbb {P}}, sqsubseteq)}$ the hraniční číslo ${ displaystyle { mathfrak {b}} ({ mathbb {P}})}$ a dominující číslo ${ displaystyle { mathfrak {d}} ({ mathbb {P}})}$ je definován jako

${ displaystyle { mathfrak {b}} ({ mathbb {P}}) = min { big {} | Y |: Y subseteq { mathbb {P}} wedge ( forall x in { mathbb {P}}) ( existuje y v Y) (y ne sqsubseteq x) { big }},}$

${ displaystyle { mathfrak {d}} ({ mathbb {P}}) = min { big {} | Y |: Y subseteq { mathbb {P}} wedge ( forall x in { mathbb {P}}) ( existuje y v Y) (x sqsubseteq y) { big }}.}$

• v Teorie PCF kardinální funkce ${ displaystyle pp _ { kappa} ( lambda)}$ se používá.^[1]

Kardinální funkce v topologii

Kardinální funkce jsou široce používány v topologie jako nástroj pro popis různých topologické vlastnosti.^[2][3] Níže uvádíme několik příkladů. (Poznámka: někteří autoři tvrdí, že „v obecné topologii neexistují žádná konečná základní čísla“,^[4] raději definovat základní funkce uvedené níže, aby nikdy nepřijímaly konečné hodnoty jako hodnoty; to vyžaduje úpravu některých definic uvedených níže, např. přidáváním "${ displaystyle ; ; + ; aleph _ {0}}$„na pravou stranu definic atd.)

• Snad nejjednodušší kardinální invarianty topologického prostoru X jsou jeho mohutnost a mohutnost jeho topologie, označeny |X | a Ó(X).
• The hmotnost w (X ) topologického prostoru X je mohutnost nejmenších základna pro X. Když W(X ) = ${ displaystyle aleph _ {0}}$ prostor X se říká, že je spočítatelné druhé.
  • The ${ displaystyle pi}$-hmotnost prostoru X je mohutnost nejmenších ${ displaystyle pi}$-základ pro X.
  • The hmotnost sítě z X je nejmenší mohutnost sítě pro X. A síť je rodina ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ sad, pro které pro všechny body X a otevřené čtvrti U obsahující X, tady existuje B v ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ pro který X ∈ B ⊆ U.
• The charakter topologického prostoru X v určitém okamžiku X je mohutnost nejmenších místní základna pro X. The charakter prostoru X je ${ displaystyle chi (X) = sup ; { chi (x, X): x v X }.}$ Když ${ displaystyle chi (X) = aleph _ {0}}$ prostor X se říká, že je nejprve spočítatelné.
• The hustota d (X ) mezery X je mohutnost nejmenších hustá podmnožina z X. Když ${ displaystyle { rm {{d} (X) = aleph _ {0}}}}$ prostor X se říká, že je oddělitelný.
• The Lindelöfovo číslo L (X ) mezery X je nejmenší nekonečná mohutnost taková, že každý otevřete kryt má dílčí mohutnost ne více než L (X ). Když ${ displaystyle { rm {{L} (X) = aleph _ {0}}}}$ prostor X se říká, že je Lindelöfův prostor.
• The buněčnost nebo Suslin číslo prostoru X je

${ displaystyle operatorname {c} (X) = sup {| { mathcal {U}} |: { mathcal {U}}}$

je rodina vzájemně disjunktní neprázdný otevřeno podmnožiny ${ displaystyle X }}$.

• • The dědičná buňka (někdy šíření) je nejmenší horní mez celulárnosti jejích podmnožin: ${ displaystyle s (X) = { rm {hc}} (X) = sup {{ rm {c}} (Y): Y subseteq X }}$ nebo ${ displaystyle s (X) = sup {| Y |: Y subseteq X}$ s podprostor topologie je oddělený ${ displaystyle }}$.
• The rozsah prostoru X je

${ displaystyle e (X) = sup {| Y |: Y subseteq X { text {je uzavřený a diskrétní}} }}$.

Tak X má spočetný rozsah přesně tehdy, když nemá žádnou nespočetnou uzavřenou diskrétní podmnožinu.

• The těsnost t(X, X) topologického prostoru X v určitém okamžiku ${ displaystyle x v X}$ je nejmenší základní číslo ${ displaystyle alpha}$ takové, že kdykoli ${ displaystyle x in { rm {cl}} _ {X} (Y)}$ pro nějakou podmnožinu Y z X, existuje podmnožina Z z Y, s |Z | ≤ ${ displaystyle alpha}$, takový, že ${ displaystyle x in operatorname {cl} _ {X} (Z)}$. Symbolicky, ${ displaystyle t (x, X) = sup { velký {} min {| Z |: Z subseteq Y klín x v { rm {cl}} _ {X} (Z ) }: Y subseteq X wedge x in { rm {cl}} _ {X} (Y) { big }}.}$ The těsnost prostoru X je ${ displaystyle t (X) = sup {t (x, X): x v X }}$. Když t (X) = ${ displaystyle aleph _ {0}}$ prostor X se říká, že je spočetně vygenerováno nebo spočetně těsný.
  • The rozšířená těsnost prostoru X, ${ displaystyle t ^ {+} (X)}$ je nejmenší řádný kardinál ${ displaystyle alpha}$ takový, že pro každého ${ displaystyle Y subseteq X}$, ${ displaystyle x in { rm {cl}} _ {X} (Y)}$ existuje podmnožina Z z Y s mohutností menší než ${ displaystyle alpha}$, takový, že ${ displaystyle x in { rm {cl}} _ {X} (Z)}$.

Základní nerovnosti

C(X) ≤ d(X) ≤ w(X) ≤ Ó(X) ≤ 2^{| X |}

${ displaystyle e (X) leq s (X)}$

${ displaystyle chi}$(X) ≤ w(X)

nw(X) ≤ w(X) a Ó(X) ≤ 2^nw(X)

Kardinální funkce v booleovských algebrách

Kardinální funkce se často používají při studiu Booleovy algebry.^[5][6] Můžeme zmínit například následující funkce:

• Buněčnost ${ displaystyle c ({ mathbb {B}})}$ booleovské algebry ${ displaystyle { mathbb {B}}}$ je nadřazenost světových stran antichains v ${ displaystyle { mathbb {B}}}$.
• Délka ${ displaystyle { rm {délka}} ({ mathbb {B}})}$ booleovské algebry ${ displaystyle { mathbb {B}}}$ je

${ displaystyle { rm {délka}} ({ mathbb {B}}) = sup { big {} | A |: A subseteq { mathbb {B}}}$ je řetěz ${ displaystyle { big }}}$

• Hloubka ${ displaystyle { rm {depth}} ({ mathbb {B}})}$ booleovské algebry ${ displaystyle { mathbb {B}}}$ je

${ displaystyle { rm {depth}} ({ mathbb {B}}) = sup { big {} | A |: A subseteq { mathbb {B}}}$ je dobře objednané podmnožina ${ displaystyle { big }}}$.

• Nesrovnatelnost ${ displaystyle { rm {Inc}} ({ mathbb {B}})}$ booleovské algebry ${ displaystyle { mathbb {B}}}$ je

${ displaystyle { rm {Inc}} ({ mathbb {B}}) = sup { big {} | A |: A subseteq { mathbb {B}}}$ takhle ${ displaystyle { big (} forall a, b in A { big)} { big (} a neq b Rightarrow neg (a leq b vee b leq a) { velký velký }}}$.

• Pseudohmotnost ${ displaystyle pi ({ mathbb {B}})}$ booleovské algebry ${ displaystyle { mathbb {B}}}$ je

${ displaystyle pi ({ mathbb {B}}) = min { big {} | A |: A subseteq { mathbb {B}} setminus {0 }}$ takhle ${ displaystyle { big (} forall b in B setminus {0 } { big)} { big (} existuje a in A { big)} { big (} a leq b { big)} { big }}.}$

Kardinální funkce v algebře

Příklady hlavních funkcí v algebře jsou:

• Rejstřík podskupiny H z G je počet kosetů.
• Rozměr a vektorový prostor PROTI přes pole K. je mohutnost kteréhokoli Hamelův základ z PROTI.
• Obecněji řečeno, zdarma modul M přes prsten R definujeme hodnost ${ displaystyle { rm {rank}} (M)}$ jako mohutnost jakéhokoli základu tohoto modulu.
• Pro lineární podprostor Ž vektorového prostoru PROTI definujeme kodimenzionální z Ž (s ohledem na PROTI).
• Pro všechny algebraická struktura je možné uvažovat o minimální mohutnosti generátorů struktury.
• Pro algebraické rozšíření algebraický stupeň a oddělitelný stupeň jsou často používány (všimněte si, že algebraický stupeň se rovná dimenzi rozšíření jako vektorový prostor nad menším polem).
• Pro nealgebraické rozšíření pole stupeň transcendence se také používá.

externí odkazy

• Glosář definic z obecné topologie [1] [2]

Viz také

• Cichonův diagram

Reference

• Jech, Thomas (2003). Teorie množin. Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-44085-7. Zbl  1007.03002.