Cyklický a oddělovací vektor - Cyclic and separating vector
V matematice je pojem a cyklický a oddělovací vektor je důležité v teorii von Neumannovy algebry,[1][2] a zejména v Teorie Tomita – Takesaki. Příbuzný pojem je pojem vektoru, který je cyklický pro daného operátora. Existenci cyklických vektorů zaručuje Stavba Gelfand – Naimark – Segal (GNS).
Definice
Vzhledem k tomu, Hilbertův prostor H a lineární prostor A z ohraničené lineární operátory v H, prvek Ω o H se říká, že je cyklický pro A pokud lineární prostor AΩ = {AΩ: A ∈ A} je normálně hustý H. Prvek Ω je považován za oddělující -li AΩ = 0 s A v A naznačuje A = 0.
- Libovolný prvek Ω H definuje a polořadovka p na A by p(A) = ||AΩ ||. Říci, že Ω se odděluje, je ekvivalentní s tím p je ve skutečnosti norma.
- Pokud je Ω cyklické pro A pak se dělí pro komutanta A', který je von Neumannova algebra ze všech omezené operátory v H které dojíždějí se všemi provozovateliA. Opravdu, pokud A patří A' a uspokojuje AΩ = 0 pak má jeden pro všechny b v A že 0 =baΩ =abΩ. Protože soubor bΩ s b v A je hustá v H z toho vyplývá, že A mizí na hustém podprostoru H. Z kontinuity to vyplývá A zmizí všude. Proto se Ω odděluje pro A'.
Následující silnější výsledek platí, pokud A je *-algebra (algebra, která je uzavřena při převzetí sousední ) a obsahuje operátor identity 1. Důkaz viz Propozice 5 v části I, kapitole 1,.[2]
Tvrzení Li A je *-algebra z ohraničené lineární operátory v H a 1 patří A pak Ω je cyklické pro A právě tehdy, když je oddělovací pro komutanta A'.
Zvláštní případ nastane, když A je von Neumannova algebra. Pak vektor Ω, který je cyklický a oddělovací pro A je také cyklický a oddělovací pro komutant A'
Pozitivní lineární funkcionály
A pozitivní lineární funkční ω na *-algebra A se říká, že je věřící -li ω(A) = 0, kde A je pozitivní prvek z A, naznačujeA = 0.
Každý prvek Ω z H definuje a pozitivní lineární funkční ωΩ na *-algebra A z ohraničené lineární operátory v H vztahem ωΩ(A) = (AΩ, Ω) pro všechny A v A. Li ωΩ je definován tímto způsobem a A je C * -algebra pak ωΩ je věrný právě tehdy, když se vektor Ω odděluje pro A. Všimněte si, že a von Neumannova algebra je speciální případ a C * -algebra.
Tvrzení Nechat φ a ψ být prvky H které jsou cyklické pro A. Předpokládat, že ωφ = ωψ. Pak existuje izometrie U u komutanta A' takhleφ = Uψ.