Hodnota ocasu v ohrožení - Tail value at risk

Hodnota ocasu v ohrožení (TVAR), také známý jako podmíněné očekávání ocasu (TCE) nebo podmíněné očekávání ocasu (CTE), je míra rizika spojené s obecnějším hodnota v riziku. Kvantifikuje očekávanou hodnotu ztráty za předpokladu, že došlo k události mimo danou úroveň pravděpodobnosti.

Pozadí

V literatuře existuje řada souvisejících, ale mírně odlišných formulací pro TVaR. Častým případem v literatuře je definice TVaR a průměrná hodnota v riziku jako stejné opatření.[1] Podle některých formulací je to jen ekvivalent k očekávaný schodek když podkladový distribuční funkce je kontinuální v , hodnota na úrovni rizika .[2] V některých dalších nastaveních je TVaR podmíněné očekávání ztráty nad danou hodnotu, zatímco očekávaný schodek je součinem této hodnoty s pravděpodobností jejího výskytu.[3] První definice nemusí být a koherentní měření rizika obecně je však koherentní, pokud je podkladová distribuce spojitá.[4] Druhá definice je soudržným měřítkem rizika.[3] TVaR odpovídá za závažnost selhání, nejen pravděpodobnost selhání. TVaR je měřítkem očekávání pouze na konci distribuce.

Matematická definice

Kanonická riziková hodnota ocasu je levý ocas (velké záporné hodnoty) v některých disciplínách a pravý ocas (velké kladné hodnoty) v jiných, jako např. pojistněmatematická věda. To je obvykle způsobeno rozdílnými konvencemi zacházení se ztrátami jako s velkými zápornými nebo kladnými hodnotami. Artzner a další pomocí konvence záporné hodnoty definují rizikovou hodnotu ocasu jako:

Vzhledem k tomu, náhodná proměnná což je výplata portfolia v budoucnu s daným parametrem pak je riziková hodnota ocasu definována symbolem[5][6][7][8]

kde je horní -kvantil dána . Typicky náhodná proměnná výplaty je v některých Lp-prostor kde zaručit existenci očekávání. Typické hodnoty pro jsou 5% a 1%.

Vzorce pro spojité rozdělení pravděpodobnosti

Existují uzavřené vzorce pro výpočet TVaR při výplatě portfolia nebo odpovídající ztráta sleduje konkrétní spojitou distribuci. Li následuje určité rozdělení pravděpodobnosti s funkce hustoty pravděpodobnosti (p.d.f.) a kumulativní distribuční funkce (c.d.f.) , levý ocas TVaR lze reprezentovat jako

Pro inženýrské nebo pojistně-matematické aplikace je běžnější uvažovat o rozdělení ztrát , v tomto případě se uvažuje pravostranný TVaR (obvykle pro 95% nebo 99%):

.

Protože některé vzorce níže byly odvozeny pro případ levého ocasu a některé pro případ pravého ocasu, mohou být užitečná následující sladění:

a .

Normální distribuce

Pokud výplata portfolia následuje normální (Gaussovo) rozdělení s p.d.f. pak se levý ocas TVaR rovná , kde je standardní normální p.d.f., je standardní normální c.d.f., takže je standardní normální kvantil.[9]

Pokud dojde ke ztrátě portfolia následuje normální rozdělení, pravostranný TVaR se rovná .[10]

Zobecněná Studentova t-distribuce

Pokud výplata portfolia následuje zobecněný Studentova t-distribuce s p.d.f. pak se levý ocas TVaR rovná , kde je standardní t-distribuce p.d.f., je standardní t-distribuce c.d.f., tak je standardní kvantil t-distribuce.[9]

Pokud dojde ke ztrátě portfolia následuje zobecněná Studentova t-distribuce, pravý ocas TVaR se rovná .[10]

Laplaceova distribuce

Pokud výplata portfolia následuje Laplaceova distribuce s p.d.f. a c.d.f. pak se levý ocas TVaR rovná pro .[9]

Pokud dojde ke ztrátě portfolia následuje Laplaceovo rozdělení, pravý ocas TVaR se rovná .[10]

Logistická distribuce

Pokud výplata portfolia následuje logistická distribuce s p.d.f. a c.d.f. pak se levý ocas TVaR rovná .[9]

Pokud dojde ke ztrátě portfolia následuje logistická distribuce, pravý ocas TVaR se rovná .[10]

Exponenciální rozdělení

Pokud dojde ke ztrátě portfolia následuje exponenciální rozdělení s p.d.f. a c.d.f. pak se pravý ocas TVaR rovná .[10]

Paretova distribuce

Pokud dojde ke ztrátě portfolia následuje Paretova distribuce s p.d.f. a c.d.f. pak se pravý ocas TVaR rovná .[10]

Zobecněná Paretova distribuce (GPD)

Pokud dojde ke ztrátě portfolia následuje GPD s p.d.f. a c.d.f. pak se pravý ocas TVaR rovná a VaR se rovná .[10]

Weibullova distribuce

Pokud dojde ke ztrátě portfolia následuje Weibullova distribuce s p.d.f. a c.d.f. pak se pravý ocas TVaR rovná , kde je horní neúplná funkce gama.[10]

Zobecněná extrémní distribuce hodnot (GEV)

Pokud výplata portfolia následuje GEV s p.d.f. a c.d.f. pak se levý ocas TVaR rovná a VaR se rovná , kde je horní neúplná funkce gama, je logaritmická integrální funkce.[11]

Pokud dojde ke ztrátě portfolia následuje GEV, pak se pravý ocas TVaR rovná , kde je nižší neúplná funkce gama, je Euler-Mascheroniho konstanta.[10]

Zobecněná distribuce hyperbolického sekansu (GHS)

Pokud výplata portfolia následuje Distribuce GHS s p.d.f. a c.d.f. pak se levý ocas TVaR rovná , kde je Spenceova funkce, je imaginární jednotka.[11]

Johnsonova distribuce SU

Pokud výplata portfolia následuje Johnsonova distribuce SU s c.d.f. pak se levý ocas TVaR rovná , kde je c.d.f. standardního normálního rozdělení.[12]

Distribuce typu Burr XII

Pokud výplata portfolia následuje Distribuce typu Burr XII s p.d.f. a c.d.f. , levý ocas TVaR se rovná , kde je hypergeometrická funkce. Alternativně, .[11]

Distribuce dagum

Pokud výplata portfolia následuje Distribuce dagum s p.d.f. a c.d.f. , levý ocas TVaR se rovná , kde je hypergeometrická funkce.[11]

Normální distribuce

Pokud výplata portfolia následuje lognormální distribuce, tj. náhodná proměnná následuje normální rozdělení s p.d.f. , pak se levý ocas TVaR rovná , kde je standardní normální c.d.f., takže je standardní normální kvantil.[13]

Log-logistická distribuce

Pokud výplata portfolia následuje log-logistická distribuce, tj. náhodná proměnná sleduje logistickou distribuci s p.d.f. , pak se levý ocas TVaR rovná , kde je legalizovaná neúplná beta funkce, .

Protože neúplná beta funkce je definována pouze pro kladné argumenty, pro obecnější případ může být levý ocas TVaR vyjádřen pomocí hypergeometrická funkce: .[13]

Pokud dojde ke ztrátě portfolia následuje log-logistická distribuce s p.d.f. a c.d.f. , pak se pravý ocas TVaR rovná , kde je neúplná funkce beta.[10]

Log-Laplaceova distribuce

Pokud výplata portfolia následuje log-Laplaceova distribuce, tj. náhodná proměnná následuje Laplaceovu distribuci p.d.f. , pak se levý ocas TVaR rovná .[13]

Zobecněná distribuce hyperbolických secantů (log-GHS)

Pokud výplata portfolia sleduje distribuci log-GHS, tj. náhodnou proměnnou následuje Distribuce GHS s p.d.f. , pak se levý ocas TVaR rovná , kde je hypergeometrická funkce.[13]

Reference

  1. ^ Bargès; Cossette, Marceau (2009). "Alokace kapitálu založená na TVaR s kopulemi". Pojištění: Matematika a ekonomie. 45 (3): 348–361. CiteSeerX  10.1.1.366.9837. doi:10.1016 / j.insmatheco.2009.08.002.
  2. ^ „Průměrná hodnota v riziku“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 19. července 2011. Citováno 2. února 2011.
  3. ^ A b Sweeting, Paul (2011). „15.4 Opatření týkající se rizika“. Řízení finančních podnikových rizik. Mezinárodní řada o pojistněmatematické vědě. Cambridge University Press. 397–401. ISBN  978-0-521-11164-5. LCCN  2011025050.
  4. ^ Acerbi, Carlo; Tasche, Dirk (2002). "O koherenci očekávaného schodku". Journal of Banking and Finance. 26 (7): 1487–1503. arXiv:cond-mat / 0104295. doi:10.1016 / s0378-4266 (02) 00283-2.
  5. ^ Artzner, Philippe; Delbaen, Freddy; Eber, Jean-Marc; Heath, David (1999). „Soudržná opatření k riziku“ (PDF). Matematické finance. 9 (3): 203–228. doi:10.1111/1467-9965.00068. Citováno 3. února 2011.
  6. ^ Landsman, Zinoviy; Valdez, Emiliano (únor 2004). „Podmíněná očekávání ocasu pro modely s exponenciálním rozptylem“ (PDF). Citováno 3. února 2011. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
  7. ^ Landsman, Zinoviy; Makov, Udi; Shushi, Tomer (červenec 2013). "Očekávaná podmíněná očekávání pro zobecněné zkosení - eliptické rozdělení". SSRN  2298265. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
  8. ^ Valdez, Emiliano (květen 2004). „Podmíněné očekávání iterovaného ocasu pro proces ztráty eliptickým logem“ (PDF). Citováno 3. února 2010. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
  9. ^ A b C d Khokhlov, Valentyn (2016). „Podmíněné Value-at-Risk pro eliptické distribuce“. Evropský časopis Ekonomiky a Managementu. 2 (6): 70–79.
  10. ^ A b C d E F G h i j Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2018-11-27). "Výpočet CVaR a bPOE pro běžné rozdělení pravděpodobnosti při aplikaci na optimalizaci portfolia a odhad hustoty". arXiv:1811.11301 [q-fin. RM ].
  11. ^ A b C d Khokhlov, Valentyn (2018-06-21). "Podmíněná hodnota v riziku pro neobvyklé distribuce". SSRN. SSRN  3200629.
  12. ^ Stucchi, Patrizia (2011-05-31). „Odhad CVaR podle momentu: kvazi-uzavřené vzorce“. SSRN. SSRN  1855986.
  13. ^ A b C d Khokhlov, Valentyn (2018-06-17). "Podmíněná hodnota v riziku pro distribuci protokolů". SSRN. SSRN  3197929.