Hodnota ocasu v ohrožení (TVAR ), také známý jako podmíněné očekávání ocasu (TCE ) nebo podmíněné očekávání ocasu (CTE ), je míra rizika spojené s obecnějším hodnota v riziku . Kvantifikuje očekávanou hodnotu ztráty za předpokladu, že došlo k události mimo danou úroveň pravděpodobnosti.
Pozadí V literatuře existuje řada souvisejících, ale mírně odlišných formulací pro TVaR. Častým případem v literatuře je definice TVaR a průměrná hodnota v riziku jako stejné opatření.[1] očekávaný schodek když podkladový distribuční funkce je kontinuální v VaR α ( X ) {displaystyle operatorname {VaR} _ {alpha} (X)} α {displaystyle alpha} [2] [3] koherentní měření rizika obecně je však koherentní, pokud je podkladová distribuce spojitá.[4] [3] očekávání pouze na konci distribuce.
Matematická definice Kanonická riziková hodnota ocasu je levý ocas (velké záporné hodnoty) v některých disciplínách a pravý ocas (velké kladné hodnoty) v jiných, jako např. pojistněmatematická věda . To je obvykle způsobeno rozdílnými konvencemi zacházení se ztrátami jako s velkými zápornými nebo kladnými hodnotami. Artzner a další pomocí konvence záporné hodnoty definují rizikovou hodnotu ocasu jako:
Vzhledem k tomu, náhodná proměnná X {displaystyle X} 0 < α < 1 {displaystyle 0 [5] [6] [7] [8]
TVAR α ( X ) = E [ − X | X ≤ − VaR α ( X ) ] = E [ − X | X ≤ X α ] , {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = operatorname {E} [-X | Xleq -operatorname {VaR} _ {alpha} (X)] = operatorname {E} [-X | Xleq x ^ {alfa }],} kde X α {displaystyle x ^ {alpha}} α {displaystyle alpha} kvantil dána X α = inf { X ∈ R : Pr ( X ≤ X ) > α } {displaystyle x ^ {alpha} = inf {xin mathbb {R}: Pr (Xleq x)> alpha}} X {displaystyle X} Lp -prostor kde p ≥ 1 {displaystyle pgeq 1} α {displaystyle alpha}
Vzorce pro spojité rozdělení pravděpodobnosti Existují uzavřené vzorce pro výpočet TVaR při výplatě portfolia X {displaystyle X} L = − X {displaystyle L = -X} X {displaystyle X} funkce hustoty pravděpodobnosti (p.d.f.) F {displaystyle f} kumulativní distribuční funkce (c.d.f.) F {displaystyle F}
TVAR α ( X ) = E [ − X | X ≤ − VaR α ( X ) ] = − 1 α ∫ 0 α VaR y ( X ) d y = − 1 α ∫ − ∞ F − 1 ( α ) X F ( X ) d X . {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = operatorname {E} [-X | Xleq -operatorname {VaR} _ {alpha} (X)] = - {frac {1} {alpha}} int _ { 0} ^ {alpha} operatorname {VaR} _ {gamma} (X) dgamma = - {frac {1} {alpha}} int _ {- infty} ^ {F ^ {- 1} (alfa)} xf (x ) dx.}
Pro inženýrské nebo pojistně-matematické aplikace je běžnější uvažovat o rozdělení ztrát L = − X {displaystyle L = -X} α {displaystyle alpha}
TVAR α že jo ( L ) = E [ L ∣ L ≥ PROTI A R α ( L ) ] = 1 1 − α ∫ α 1 PROTI A R y ( L ) d y = 1 1 − α ∫ F − 1 ( α ) + ∞ y F ( y ) d y {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = E [Lmid Lgeq VaR_ {alpha} (L)] = {frac {1} {1-alpha}} int _ {alpha} ^ {1} VaR_ {gamma} (L) dgamma = {frac {1} {1-alpha}} int _ {F ^ {- 1} (alfa)} ^ {+ infty} yf (y) dy}
Protože některé vzorce níže byly odvozeny pro případ levého ocasu a některé pro případ pravého ocasu, mohou být užitečná následující sladění:
TVAR α ( X ) = − 1 α E [ X ] + 1 − α α TVAR α že jo ( L ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - {frac {1} {alpha}} E [X] + {frac {1-alpha} {alpha}} operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ { ext {right}} (L)} TVAR α že jo ( L ) = 1 1 − α E [ L ] + α 1 − α TVAR α ( X ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {frac {1} {1-alpha}} E [L] + {frac {alpha} {1-alpha}} operatorname { TVaR} _ {alpha} (X)}
Normální distribuce Pokud výplata portfolia X {displaystyle X} normální (Gaussovo) rozdělení s p.d.f. F ( X ) = 1 2 π σ E − ( X − μ ) 2 2 σ 2 {displaystyle f (x) = {frac {1} {{sqrt {2pi}} sigma}} e ^ {- {frac {(x-mu) ^ {2}} {2sigma ^ {2}}}}} TVAR α ( X ) = − μ + σ ϕ ( Φ − 1 ( α ) ) α {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - mu + sigma {frac {phi (Phi ^ {- 1} (alpha))} {alpha}}} ϕ ( X ) = 1 2 π E − X 2 2 {displaystyle phi (x) = {frac {1} {sqrt {2pi}}} e ^ {- {frac {x ^ {2}} {2}}}} Φ ( X ) {displaystyle Phi (x)} Φ − 1 ( α ) {displaystyle Phi ^ {- 1} (alfa)} [9]
Pokud dojde ke ztrátě portfolia L {displaystyle L} TVAR α že jo ( L ) = μ + σ ϕ ( Φ − 1 ( α ) ) 1 − α {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = mu + sigma {frac {phi (Phi ^ {- 1} (alpha))} {1-alpha}}} [10]
Zobecněná Studentova t-distribuce Pokud výplata portfolia X {displaystyle X} Studentova t-distribuce s p.d.f. F ( X ) = Γ ( ν + 1 2 ) Γ ( ν 2 ) π ν σ ( 1 + 1 ν ( X − μ σ ) 2 ) − ν + 1 2 {displaystyle f (x) = {frac {Gamma {igl (} {frac {u +1} {2}} {igr)}} {Gamma {igl (} {frac {u} {2}} {igr)} {sqrt {pi u}} sigma}} {Bigl (} 1+ {frac {1} {u}} {igl (} {frac {x-mu} {sigma}} {igr)} ^ {2} {Bigr )} ^ {- {frac {u +1} {2}}}} TVAR α ( X ) = − μ + σ ν + ( T − 1 ( α ) ) 2 ν − 1 τ ( T − 1 ( α ) ) α {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - mu + sigma {frac {u + (mathrm {T} ^ {- 1} (alpha)) ^ {2}} {u -1}} {frac {au (mathrm {T} ^ {- 1} (alfa))} {alpha}}} τ ( X ) = Γ ( ν + 1 2 ) Γ ( ν 2 ) π ν ( 1 + X 2 ν ) − ν + 1 2 {displaystyle au (x) = {frac {Gamma {igl (} {frac {u +1} {2}} {igr)}} {Gamma {igl (} {frac {u} {2}} {igr)} {sqrt {pi u}}}} {Bigl (} 1+ {frac {x ^ {2}} {u}} {Bigr)} ^ {- {frac {u +1} {2}}}} T ( X ) {displaystyle mathrm {T} (x)} T − 1 ( α ) {displaystyle mathrm {T} ^ {- 1} (alfa)} [9]
Pokud dojde ke ztrátě portfolia L {displaystyle L} TVAR α že jo ( L ) = μ + σ ν + ( T − 1 ( α ) ) 2 ν − 1 τ ( T − 1 ( α ) ) 1 − α {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = mu + sigma {frac {u + (mathrm {T} ^ {- 1} (alpha)) ^ {2}} {u -1}} {frac {au (mathrm {T} ^ {- 1} (alfa))} {1-alfa}}} [10]
Laplaceova distribuce Pokud výplata portfolia X {displaystyle X} Laplaceova distribuce s p.d.f. F ( X ) = 1 2 b E − | X − μ | b {displaystyle f (x) = {frac {1} {2b}} e ^ {- {frac {| x-mu |} {b}}}} F ( X ) = { 1 − 1 2 E − X − μ b -li X ≥ μ , 1 2 E X − μ b -li X < μ . {displaystyle F (x) = {egin {cases} 1- {frac {1} {2}} e ^ {- {frac {x-mu} {b}}} & {ext {if}} xgeq mu, {frac {1} {2}} e ^ {frac {x-mu} {b}} a {ext {if}} x TVAR α ( X ) = − μ + b ( 1 − ln 2 α ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - mu + b (1-ln 2alpha)} α ≤ 0.5 {displaystyle alpha leq 0,5} [9]
Pokud dojde ke ztrátě portfolia L {displaystyle L} TVAR α že jo ( L ) = { μ + b α 1 − α ( 1 − ln 2 α ) -li α < 0.5 , μ + b [ 1 − ln ( 2 ( 1 − α ) ) ] -li α ≥ 0.5. {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {egin {cases} mu + b {frac {alpha} {1-alpha}} (1-ln 2alpha) & {ext { if}} alfa <0,5, mu + b [1-ln (2 (1-alfa))] & {ext {if}} alpha geq 0.5.end {cases}}} [10]
Logistická distribuce Pokud výplata portfolia X {displaystyle X} logistická distribuce s p.d.f. F ( X ) = 1 s E − X − μ s ( 1 + E − X − μ s ) − 2 {displaystyle f (x) = {frac {1} {s}} e ^ {- {frac {x-mu} {s}}} {Bigl (} 1 + e ^ {- {frac {x-mu} { s}}} {Bigr)} ^ {- 2}} F ( X ) = ( 1 + E − X − μ s ) − 1 {displaystyle F (x) = {Bigl (} 1 + e ^ {- {frac {x-mu} {s}}} {Bigr)} ^ {- 1}} TVAR α ( X ) = − μ + s ln ( 1 − α ) 1 − 1 α α {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - mu + sln {frac {(1-alpha) ^ {1- {frac {1} {alpha}}}} {alpha}}} [9]
Pokud dojde ke ztrátě portfolia L {displaystyle L} logistická distribuce , pravý ocas TVaR se rovná TVAR α že jo ( L ) = μ + s − α ln α − ( 1 − α ) ln ( 1 − α ) 1 − α {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = mu + s {frac {-alpha ln alpha - (1-alpha) ln (1-alpha)} {1-alpha}} } [10]
Exponenciální rozdělení Pokud dojde ke ztrátě portfolia L {displaystyle L} exponenciální rozdělení s p.d.f. F ( X ) = { λ E − λ X -li X ≥ 0 , 0 -li X < 0. {displaystyle f (x) = {egin {cases} lambda e ^ {- lambda x} & {ext {if}} xgeq 0, 0 & {ext {if}} x <0.end {cases}}} F ( X ) = { 1 − E − λ X -li X ≥ 0 , 0 -li X < 0. {displaystyle F (x) = {egin {cases} 1-e ^ {- lambda x} & {ext {if}} xgeq 0, 0 & {ext {if}} x <0.end {cases}}} TVAR α že jo ( L ) = − ln ( 1 − α ) + 1 λ {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {frac {-ln (1-alpha) +1} {lambda}}} [10]
Paretova distribuce Pokud dojde ke ztrátě portfolia L {displaystyle L} Paretova distribuce s p.d.f. F ( X ) = { A X m A X A + 1 -li X ≥ X m , 0 -li X < X m . {displaystyle f (x) = {egin {cases} {frac {ax_ {m} ^ {a}} {x ^ {a + 1}}} & {ext {if}} xgeq x_ {m}, 0 & { ext {if}} x F ( X ) = { 1 − ( X m / X ) A -li X ≥ X m , 0 -li X < X m . {displaystyle F (x) = {egin {cases} 1- (x_ {m} / x) ^ {a} & {ext {if}} xgeq x_ {m}, 0 & {ext {if}} x TVAR α že jo ( L ) = X m A ( 1 − α ) 1 / α ( A − 1 ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {frac {x_ {m} a} {(1-alpha) ^ {1 / alpha} (a-1)}}} [10]
Zobecněná Paretova distribuce (GPD) Pokud dojde ke ztrátě portfolia L {displaystyle L} GPD s p.d.f. F ( X ) = 1 s ( 1 + ξ ( X − μ ) s ) ( − 1 ξ − 1 ) {displaystyle f (x) = {frac {1} {s}} {Bigl (} 1+ {frac {xi (x-mu)} {s}} {Bigr)} ^ {{igl (} - {frac { 1} {xi}} - 1 {igr)}}} F ( X ) = { 1 − ( 1 + ξ ( X − μ ) s ) − 1 ξ -li ξ ≠ 0 , 1 − exp ( − X − μ s ) -li ξ = 0. {displaystyle F (x) = {egin {cases} 1- {Big (} 1+ {frac {xi (x-mu)} {s}} {Big)} ^ {- {frac {1} {xi}} } & {ext {if}} xi eq 0, 1-exp {igl (} - {frac {x-mu} {s}} {igr)} & {ext {if}} xi = 0.end {případů }}} TVAR α že jo ( L ) = { μ + s [ ( 1 − α ) − ξ 1 − ξ + ( 1 − α ) − ξ − 1 ξ ] -li ξ ≠ 0 , μ + s [ 1 − ln ( 1 − α ) ] -li ξ = 0. {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {egin {cases} mu + s {Bigl [} {frac {(1-alpha) ^ {- xi}} {1- xi}} + {frac {(1-alfa) ^ {- xi} -1} {xi}} {Bigr]} a {ext {if}} xi eq 0, mu + s [1-ln (1- alpha)] & {ext {if}} xi = 0.end {cases}}} PROTI A R α ( L ) = { μ + s ( 1 − α ) − ξ − 1 ξ -li ξ ≠ 0 , μ − s ln ( 1 − α ) -li ξ = 0. {displaystyle VaR_ {alpha} (L) = {egin {cases} mu + s {frac {(1-alpha) ^ {- xi} -1} {xi}} & {ext {if}} xi eq 0, mu -sln (1-alfa) & {ext {if}} xi = 0.end {cases}}} [10]
Weibullova distribuce Pokud dojde ke ztrátě portfolia L {displaystyle L} Weibullova distribuce s p.d.f. F ( X ) = { k λ ( X λ ) k − 1 E − ( X / λ ) k -li X ≥ 0 , 0 -li X < 0. {displaystyle f (x) = {egin {cases} {frac {k} {lambda}} {Big (} {frac {x} {lambda}} {Big)} ^ {k-1} e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} & {ext {if}} xgeq 0, 0 a {ext {if}} x <0.end {cases}}} F ( X ) = { 1 − E − ( X / λ ) k -li X ≥ 0 , 0 -li X < 0. {displaystyle F (x) = {egin {cases} 1-e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} & {ext {if}} xgeq 0, 0 & {ext {if}} x <0. konec {případů}}} TVAR α že jo ( L ) = λ 1 − α Γ ( 1 + 1 k , − ln ( 1 − α ) ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {frac {lambda} {1-alpha}} Gamma {Big (} 1+ {frac {1} {k}}, - ln (1-alfa) {Big)}} Γ ( s , X ) {displaystyle Gamma (s, x)} horní neúplná funkce gama .[10]
Zobecněná extrémní distribuce hodnot (GEV) Pokud výplata portfolia X {displaystyle X} GEV s p.d.f. F ( X ) = { 1 σ ( 1 + ξ X − μ σ ) − 1 ξ − 1 exp [ − ( 1 + ξ X − μ σ ) − 1 ξ ] -li ξ ≠ 0 , 1 σ E − X − μ σ E − E − X − μ σ -li ξ = 0. {displaystyle f (x) = {egin {cases} {frac {1} {sigma}} {Bigl (} 1 + xi {frac {x-mu} {sigma}} {Bigr)} ^ {- {frac {1 } {xi}} - 1} exp {Bigl [} - {Bigl (} 1 + xi {frac {x-mu} {sigma}} {Bigr)} ^ {- {frac {1} {xi}}} { Bigr]} & {ext {if}} xi eq 0, {frac {1} {sigma}} e ^ {- {frac {x-mu} {sigma}}} e ^ {- e ^ {- {frac {x-mu} {sigma}}}} a {ext {if}} xi = 0.end {cases}}} F ( X ) = { exp ( − ( 1 + ξ X − μ σ ) − 1 ξ ) -li ξ ≠ 0 , exp ( − E − X − μ σ ) -li ξ = 0. {displaystyle F (x) = {egin {cases} exp {Big (} - {ig (} 1 + xi {frac {x-mu} {sigma}} {ig)} ^ {- {frac {1} {xi }}} {Big)} & {ext {if}} xi eq 0, exp {Big (} -e ^ {- {frac {x-mu} {sigma}}} {Big)} & {ext {if }} xi = 0.end {případů}}} TVAR α ( X ) = { − μ − σ α ξ [ Γ ( 1 − ξ , − ln α ) − α ] -li ξ ≠ 0 , − μ − σ α [ li ( α ) − α ln ( − ln α ) ] -li ξ = 0. {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = {egin {cases} -mu - {frac {sigma} {alpha xi}} {ig [} Gamma (1-xi, -ln alpha) -alpha {ig ]} & {ext {if}} xi eq 0, - mu - {frac {sigma} {alpha}} {ig [} {ext {li}} (alpha) -alpha ln (-ln alpha) {ig] } & {ext {if}} xi = 0.end {cases}}} PROTI A R α ( X ) = { − μ − σ ξ [ ( − ln α ) − ξ − 1 ] -li ξ ≠ 0 , − μ + σ ln ( − ln α ) -li ξ = 0. {displaystyle VaR_ {alpha} (X) = {egin {cases} -mu - {frac {sigma} {xi}} {ig [} (- ln alpha) ^ {- xi} -1 {ig]} & {ext {if}} xi eq 0, - mu + sigma ln (-ln alpha) & {ext {if}} xi = 0.end {cases}}} Γ ( s , X ) {displaystyle Gamma (s, x)} horní neúplná funkce gama , li ( X ) = ∫ d X ln X {displaystyle {ext {li}} (x) = int {frac {dx} {ln x}}} logaritmická integrální funkce .[11]
Pokud dojde ke ztrátě portfolia L {displaystyle L} GEV , pak se pravý ocas TVaR rovná TVAR α ( X ) = { μ + σ ( 1 − α ) ξ [ y ( 1 − ξ , − ln α ) − ( 1 − α ) ] -li ξ ≠ 0 , μ + σ 1 − α [ y − li ( α ) + α ln ( − ln α ) ] -li ξ = 0. {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = {egin {cases} mu + {frac {sigma} {(1-alpha) xi}} {ig [} gamma (1-xi, -ln alpha) - (1-alfa) {ig]} & {ext {if}} xi eq 0, mu + {frac {sigma} {1-alpha}} {ig [} y- {ext {li}} (alfa) + alpha ln (-ln alpha) {ig]} & {ext {if}} xi = 0.end {cases}}} y ( s , X ) {displaystyle gamma (s, x)} nižší neúplná funkce gama , y {displaystyle y} Euler-Mascheroniho konstanta .[10]
Zobecněná distribuce hyperbolického sekansu (GHS) Pokud výplata portfolia X {displaystyle X} Distribuce GHS s p.d.f. F ( X ) = 1 2 σ sech ( π 2 X − μ σ ) {displaystyle f (x) = {frac {1} {2sigma}} {ext {sech}} ({frac {pi} {2}} {frac {x-mu} {sigma}})} F ( X ) = 2 π arktan [ exp ( π 2 X − μ σ ) ] {displaystyle F (x) = {frac {2} {pi}} arctan {Big [} exp {Big (} {frac {pi} {2}} {frac {x-mu} {sigma}} {Big)} {Big]}} TVAR α ( X ) = − μ − 2 σ π ln ( opálení π α 2 ) − 2 σ π 2 α i [ Li 2 ( − i opálení π α 2 ) − Li 2 ( i opálení π α 2 ) ] {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - mu - {frac {2sigma} {pi}} ln {Big (} an {frac {pi alpha} {2}} {Big)} - {frac { 2sigma} {pi ^ {2} alpha}} i {Big [} {ext {Li}} _ {2} {Big (} -i an {frac {pi alpha} {2}} {Big)} - {ext {Li}} _ {2} {Big (} i an {frac {pi alpha} {2}} {Big)} {Big]}} Li 2 {displaystyle {ext {Li}} _ {2}} Spenceova funkce , i = − 1 {displaystyle i = {sqrt {-1}}} [11]
Johnsonova distribuce SU Pokud výplata portfolia X {displaystyle X} Johnsonova distribuce SU s c.d.f. F ( X ) = Φ [ y + δ sinh − 1 ( X − ξ λ ) ] {displaystyle F (x) = Phi {Big [} gamma + delta sinh ^ {- 1} {Big (} {frac {x-xi} {lambda}} {Big)} {Big]}} TVAR α ( X ) = − ξ − λ 2 α [ E X p ( 1 − 2 y δ 2 δ 2 ) Φ ( Φ − 1 ( α ) − 1 δ ) − E X p ( 1 + 2 y δ 2 δ 2 ) Φ ( Φ − 1 ( α ) + 1 δ ) ] {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - xi - {frac {lambda} {2alpha}} {Big [} exp {Big (} {frac {1-2gamma delta} {2delta ^ {2}} } {Big)} Phi {Big (} Phi ^ {- 1} (alfa) - {frac {1} {delta}} {Big)} - exp {Big (} {frac {1 + 2gamma delta} {2delta ^ {2}}} {Big)} Phi {Big (} Phi ^ {- 1} (alpha) + {frac {1} {delta}} {Big)} {Big]}} Φ {displaystyle Phi} [12]
Distribuce typu Burr XII Pokud výplata portfolia X {displaystyle X} Distribuce typu Burr XII s p.d.f. F ( X ) = C k β ( X − y β ) C − 1 [ 1 + ( X − y β ) C ] − k − 1 {displaystyle f (x) = {frac {ck} {eta}} {Big (} {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c-1} {Big [} 1+ {Big ( } {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c} {Big]} ^ {- k-1}} F ( X ) = 1 − [ 1 + ( X − y β ) C ] − k {displaystyle F (x) = 1- {Big [} 1+ {Big (} {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c} {Big]} ^ {- k}} TVAR α ( X ) = − y − β α ( ( 1 − α ) − 1 / k − 1 ) 1 / C [ α − 1 + 2 F 1 ( 1 C , k ; 1 + 1 C ; 1 − ( 1 − α ) − 1 / k ) ] {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - gamma - {frac {eta} {alpha}} {Big (} (1-alpha) ^ {- 1 / k} -1 {Big)} ^ { 1 / c} {Big [} alpha -1 + {_ {2} F_ {1}} {Big (} {frac {1} {c}}, k; 1+ {frac {1} {c}}; 1- (1-alfa) ^ {- 1 / k} {velký)} {velký]}} 2 F 1 {displaystyle _ {2} F_ {1}} hypergeometrická funkce . Alternativně, TVAR α ( X ) = − y − β α C k C + 1 ( ( 1 − α ) − 1 / k − 1 ) 1 + 1 C 2 F 1 ( 1 + 1 C , k + 1 ; 2 + 1 C ; 1 − ( 1 − α ) − 1 / k ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - gamma - {frac {eta} {alpha}} {frac {ck} {c + 1}} {Big (} (1-alpha) ^ {- 1 / k} -1 {Big)} ^ {1+ {frac {1} {c}}} {_ {2} F_ {1}} {Big (} 1+ {frac {1} {c}}, k +1; 2+ {frac {1} {c}}; 1- (1-alfa) ^ {- 1 / k} {velký)}} [11]
Distribuce dagum Pokud výplata portfolia X {displaystyle X} Distribuce dagum s p.d.f. F ( X ) = C k β ( X − y β ) C k − 1 [ 1 + ( X − y β ) C ] − k − 1 {displaystyle f (x) = {frac {ck} {eta}} {Big (} {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {ck-1} {Big [} 1+ {Big ( } {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c} {Big]} ^ {- k-1}} F ( X ) = [ 1 + ( X − y β ) − C ] − k {displaystyle F (x) = {Big [} 1+ {Big (} {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {- c} {Big]} ^ {- k}} TVAR α ( X ) = − y − β α C k C k + 1 ( α − 1 / k − 1 ) − k − 1 C 2 F 1 ( k + 1 , k + 1 C ; k + 1 + 1 C ; − 1 α − 1 / k − 1 ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - gamma - {frac {eta} {alpha}} {frac {ck} {ck + 1}} {Big (} alpha ^ {- 1 / k} - 1 {Big)} ^ {- k- {frac {1} {c}}} {_ {2} F_ {1}} {Big (} k + 1, k + {frac {1} {c}}; k +1+ {frac {1} {c}}; - {frac {1} {alpha ^ {- 1 / k} -1}} {Big)}} 2 F 1 {displaystyle _ {2} F_ {1}} hypergeometrická funkce .[11]
Normální distribuce Pokud výplata portfolia X {displaystyle X} lognormální distribuce , tj. náhodná proměnná ln ( 1 + X ) {displaystyle ln (1 + X)} F ( X ) = 1 2 π σ E − ( X − μ ) 2 2 σ 2 {displaystyle f (x) = {frac {1} {{sqrt {2pi}} sigma}} e ^ {- {frac {(x-mu) ^ {2}} {2sigma ^ {2}}}}} TVAR α ( X ) = 1 − exp ( μ + σ 2 2 ) Φ ( Φ − 1 ( α ) − σ ) α {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = 1-exp {Bigl (} mu + {frac {sigma ^ {2}} {2}} {Bigr)} {frac {Phi (Phi ^ {- 1 } (alfa) -sigma)} {alfa}}} Φ ( X ) {displaystyle Phi (x)} Φ − 1 ( α ) {displaystyle Phi ^ {- 1} (alfa)} [13]
Log-logistická distribuce Pokud výplata portfolia X {displaystyle X} log-logistická distribuce , tj. náhodná proměnná ln ( 1 + X ) {displaystyle ln (1 + X)} F ( X ) = 1 s E − X − μ s ( 1 + E − X − μ s ) − 2 {displaystyle f (x) = {frac {1} {s}} e ^ {- {frac {x-mu} {s}}} {Bigl (} 1 + e ^ {- {frac {x-mu} { s}}} {Bigr)} ^ {- 2}} TVAR α ( X ) = 1 − E μ α Já α ( 1 + s , 1 − s ) π s hřích π s {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = 1- {frac {e ^ {mu}} {alpha}} I_ {alpha} (1 + s, 1-s) {frac {pi s} {sin pi s}}} Já α {displaystyle I_ {alpha}} legalizovaná neúplná beta funkce , Já α ( A , b ) = B α ( A , b ) B ( A , b ) {displaystyle I_ {alpha} (a, b) = {frac {mathrm {B} _ {alpha} (a, b)} {mathrm {B} (a, b)}}}
Protože neúplná beta funkce je definována pouze pro kladné argumenty, pro obecnější případ může být levý ocas TVaR vyjádřen pomocí hypergeometrická funkce : TVAR α ( X ) = 1 − E μ α s s + 1 2 F 1 ( s , s + 1 ; s + 2 ; α ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = 1- {frac {e ^ {mu} alpha ^ {s}} {s + 1}} {_ {2} F_ {1}} (s, s +1; s + 2; alfa)} [13]
Pokud dojde ke ztrátě portfolia L {displaystyle L} F ( X ) = b A ( X / A ) b − 1 ( 1 + ( X / A ) b ) 2 {displaystyle f (x) = {frac {{frac {b} {a}} (x / a) ^ {b-1}} {(1+ (x / a) ^ {b}) ^ {2}} }} F ( X ) = 1 1 + ( X / A ) − b {displaystyle F (x) = {frac {1} {1+ (x / a) ^ {- b}}}} TVAR α že jo ( L ) = A 1 − α [ π b csc ( π b ) − B α ( 1 b + 1 , 1 − 1 b ) ] {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {frac {a} {1-alpha}} {Bigl [} {frac {pi} {b}} csc {Bigl (} {frac {pi} {b}} {Bigr)} - mathrm {B} _ {alpha} {Bigl (} {frac {1} {b}} + 1,1- {frac {1} {b}} { Bigr)} {Bigr]}} B α {displaystyle B_ {alpha}} neúplná funkce beta .[10]
Log-Laplaceova distribuce Pokud výplata portfolia X {displaystyle X} log-Laplaceova distribuce , tj. náhodná proměnná ln ( 1 + X ) {displaystyle ln (1 + X)} F ( X ) = 1 2 b E − | X − μ | b {displaystyle f (x) = {frac {1} {2b}} e ^ {- {frac {| x-mu |} {b}}}} TVAR α ( X ) = { 1 − E μ ( 2 α ) b b + 1 -li α ≤ 0.5 , 1 − E μ 2 − b α ( b − 1 ) [ ( 1 − α ) ( 1 − b ) − 1 ] -li α > 0.5. {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = {egin {cases} 1- {frac {e ^ {mu} (2alpha) ^ {b}} {b + 1}} & {ext {if}} alpha leq 0,5, 1- {frac {e ^ {mu} 2 ^ {- b}} {alpha (b-1)}} {ig [} (1-alpha) ^ {(1-b)} - 1 {ig]} & {ext {if}} alpha> 0.5.end {cases}}} [13]
Zobecněná distribuce hyperbolických secantů (log-GHS) Pokud výplata portfolia X {displaystyle X} ln ( 1 + X ) {displaystyle ln (1 + X)} Distribuce GHS s p.d.f. F ( X ) = 1 2 σ sech ( π 2 X − μ σ ) {displaystyle f (x) = {frac {1} {2sigma}} {ext {sech}} ({frac {pi} {2}} {frac {x-mu} {sigma}})} TVAR α ( X ) = 1 − 1 α ( σ + π / 2 ) ( opálení π α 2 exp π μ 2 σ ) 2 σ / π opálení π α 2 2 F 1 ( 1 , 1 2 + σ π ; 3 2 + σ π ; − opálení ( π α 2 ) 2 ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = 1- {frac {1} {alpha (sigma + {pi / 2})}} {Big (} an {frac {pi alpha} {2}} exp {frac {pi mu} {2sigma}} {Big)} ^ {2sigma / pi} an {frac {pi alpha} {2}} {_ {2} F_ {1}} {Big (} 1, {frac { 1} {2}} + {frac {sigma} {pi}}; {frac {3} {2}} + {frac {sigma} {pi}}; - an {ig (} {frac {pi alpha} { 2}} {ig)} ^ {2} {Big)}} 2 F 1 {displaystyle _ {2} F_ {1}} hypergeometrická funkce .[13]
Reference ^ Bargès; Cossette, Marceau (2009). "Alokace kapitálu založená na TVaR s kopulemi". Pojištění: Matematika a ekonomie . 45 (3): 348–361. CiteSeerX 10.1.1.366.9837 doi :10.1016 / j.insmatheco.2009.08.002 . ^ „Průměrná hodnota v riziku“ (PDF) . Archivovány od originál (PDF) dne 19. července 2011. Citováno 2. února 2011 .^ A b Sweeting, Paul (2011). „15.4 Opatření týkající se rizika“. Řízení finančních podnikových rizik . Mezinárodní řada o pojistněmatematické vědě. Cambridge University Press . 397–401. ISBN 978-0-521-11164-5 LCCN 2011025050 . ^ Acerbi, Carlo; Tasche, Dirk (2002). "O koherenci očekávaného schodku". Journal of Banking and Finance . 26 (7): 1487–1503. arXiv :cond-mat / 0104295 doi :10.1016 / s0378-4266 (02) 00283-2 . ^ Artzner, Philippe; Delbaen, Freddy; Eber, Jean-Marc; Heath, David (1999). „Soudržná opatření k riziku“ (PDF) . Matematické finance . 9 (3): 203–228. doi :10.1111/1467-9965.00068 . Citováno 3. února 2011 . ^ Landsman, Zinoviy; Valdez, Emiliano (únor 2004). „Podmíněná očekávání ocasu pro modely s exponenciálním rozptylem“ (PDF) . Citováno 3. února 2011 . ^ Landsman, Zinoviy; Makov, Udi; Shushi, Tomer (červenec 2013). "Očekávaná podmíněná očekávání pro zobecněné zkosení - eliptické rozdělení". SSRN 2298265 ^ Valdez, Emiliano (květen 2004). „Podmíněné očekávání iterovaného ocasu pro proces ztráty eliptickým logem“ (PDF) . Citováno 3. února 2010 . ^ A b C d Khokhlov, Valentyn (2016). „Podmíněné Value-at-Risk pro eliptické distribuce“. Evropský časopis Ekonomiky a Managementu . 2 (6): 70–79. ^ A b C d E F G h i j Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2018-11-27). "Výpočet CVaR a bPOE pro běžné rozdělení pravděpodobnosti při aplikaci na optimalizaci portfolia a odhad hustoty". arXiv :1811.11301 q-fin. RM ]. ^ A b C d Khokhlov, Valentyn (2018-06-21). "Podmíněná hodnota v riziku pro neobvyklé distribuce". SSRN . SSRN 3200629 ^ Stucchi, Patrizia (2011-05-31). „Odhad CVaR podle momentu: kvazi-uzavřené vzorce“. SSRN . SSRN 1855986 ^ A b C d Khokhlov, Valentyn (2018-06-17). "Podmíněná hodnota v riziku pro distribuci protokolů". SSRN . SSRN 3197929 
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = operatorname {E} [-X | Xleq -operatorname {VaR} _ {alpha} (X)] = operatorname {E} [-X | Xleq x ^ {alfa }],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a43fcb4528aea744af04aaa030d657a563acd40)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = operatorname {E} [-X | Xleq -operatorname {VaR} _ {alpha} (X)] = - {frac {1} {alpha}} int _ { 0} ^ {alpha} operatorname {VaR} _ {gamma} (X) dgamma = - {frac {1} {alpha}} int _ {- infty} ^ {F ^ {- 1} (alfa)} xf (x ) dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a8589dfee2cdd3c88a93545ef09ef865aa58dc)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = E [Lmid Lgeq VaR_ {alpha} (L)] = {frac {1} {1-alpha}} int _ {alpha} ^ {1} VaR_ {gamma} (L) dgamma = {frac {1} {1-alpha}} int _ {F ^ {- 1} (alfa)} ^ {+ infty} yf (y) dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94d1a3fe667bb23d04026cfd8d4fb1e361e2b80)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - {frac {1} {alpha}} E [X] + {frac {1-alpha} {alpha}} operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ { ext {right}} (L)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de7a471e4919224cdc3763794311921bba0bc5a3)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {frac {1} {1-alpha}} E [L] + {frac {alpha} {1-alpha}} operatorname { TVaR} _ {alpha} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760f64039cde9267780ba017c8da3167321ee6c1)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {egin {cases} mu + b {frac {alpha} {1-alpha}} (1-ln 2alpha) & {ext { if}} alfa <0,5, mu + b [1-ln (2 (1-alfa))] & {ext {if}} alpha geq 0.5.end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c06006b1eed39a92bdedd4e82a68859e6f1c9b5)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {egin {cases} mu + s {Bigl [} {frac {(1-alpha) ^ {- xi}} {1- xi}} + {frac {(1-alfa) ^ {- xi} -1} {xi}} {Bigr]} a {ext {if}} xi eq 0, mu + s [1-ln (1- alpha)] & {ext {if}} xi = 0.end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d273674b13560b21ff24bbd45f7507882e5540)
![{displaystyle f (x) = {egin {cases} {frac {1} {sigma}} {Bigl (} 1 + xi {frac {x-mu} {sigma}} {Bigr)} ^ {- {frac {1 } {xi}} - 1} exp {Bigl [} - {Bigl (} 1 + xi {frac {x-mu} {sigma}} {Bigr)} ^ {- {frac {1} {xi}}} { Bigr]} & {ext {if}} xi eq 0, {frac {1} {sigma}} e ^ {- {frac {x-mu} {sigma}}} e ^ {- e ^ {- {frac {x-mu} {sigma}}}} a {ext {if}} xi = 0.end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5faee44a519d5f13a7b4837bd37358e74550ab8d)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = {egin {cases} -mu - {frac {sigma} {alpha xi}} {ig [} Gamma (1-xi, -ln alpha) -alpha {ig ]} & {ext {if}} xi eq 0, - mu - {frac {sigma} {alpha}} {ig [} {ext {li}} (alpha) -alpha ln (-ln alpha) {ig] } & {ext {if}} xi = 0.end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7783d0f6d2ada192fbde7ffa82646467147c396)
![{displaystyle VaR_ {alpha} (X) = {egin {cases} -mu - {frac {sigma} {xi}} {ig [} (- ln alpha) ^ {- xi} -1 {ig]} & {ext {if}} xi eq 0, - mu + sigma ln (-ln alpha) & {ext {if}} xi = 0.end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4efd36709ce9b5e88b80bf040336760612d8d7c)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = {egin {cases} mu + {frac {sigma} {(1-alpha) xi}} {ig [} gamma (1-xi, -ln alpha) - (1-alfa) {ig]} & {ext {if}} xi eq 0, mu + {frac {sigma} {1-alpha}} {ig [} y- {ext {li}} (alfa) + alpha ln (-ln alpha) {ig]} & {ext {if}} xi = 0.end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23a3933085b1656d856d745326666edbc1ce68c)
![{displaystyle F (x) = {frac {2} {pi}} arctan {Big [} exp {Big (} {frac {pi} {2}} {frac {x-mu} {sigma}} {Big)} {Big]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b1975906bb7b4f595ba432592ed3c54c3a6967)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - mu - {frac {2sigma} {pi}} ln {Big (} an {frac {pi alpha} {2}} {Big)} - {frac { 2sigma} {pi ^ {2} alpha}} i {Big [} {ext {Li}} _ {2} {Big (} -i an {frac {pi alpha} {2}} {Big)} - {ext {Li}} _ {2} {Big (} i an {frac {pi alpha} {2}} {Big)} {Big]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d35cc09bea522334b9a4a1a776f4e16aeb6d2d)
![{displaystyle F (x) = Phi {Big [} gamma + delta sinh ^ {- 1} {Big (} {frac {x-xi} {lambda}} {Big)} {Big]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4bf7c3659b51485f98f565f030ac9bd0dcd636b)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - xi - {frac {lambda} {2alpha}} {Big [} exp {Big (} {frac {1-2gamma delta} {2delta ^ {2}} } {Big)} Phi {Big (} Phi ^ {- 1} (alfa) - {frac {1} {delta}} {Big)} - exp {Big (} {frac {1 + 2gamma delta} {2delta ^ {2}}} {Big)} Phi {Big (} Phi ^ {- 1} (alpha) + {frac {1} {delta}} {Big)} {Big]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637673e3768b07979411a12872072bd92e264dd1)
![{displaystyle f (x) = {frac {ck} {eta}} {Big (} {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c-1} {Big [} 1+ {Big ( } {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c} {Big]} ^ {- k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1077fa12c789459e8586fff82ce1f0d541306220)
![{displaystyle F (x) = 1- {Big [} 1+ {Big (} {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c} {Big]} ^ {- k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816d8d221ef8327fe30143a7c32b12051c158a99)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - gamma - {frac {eta} {alpha}} {Big (} (1-alpha) ^ {- 1 / k} -1 {Big)} ^ { 1 / c} {Big [} alpha -1 + {_ {2} F_ {1}} {Big (} {frac {1} {c}}, k; 1+ {frac {1} {c}}; 1- (1-alfa) ^ {- 1 / k} {velký)} {velký]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89fe2689a934c0368bc69890972f8ff9d167c79f)
![{displaystyle f(x)={frac {ck}{ eta }}{Big (}{frac {x-gamma }{ eta }}{Big )}^{ck-1}{Big [}1+{Big (}{frac {x-gamma }{ eta }}{Big )}^{c}{Big ]}^{-k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754b374d8b51d5a469104924149db64cfdc2c186)
![{displaystyle F(x)={Big [}1+{Big (}{frac {x-gamma }{ eta }}{Big )}^{-c}{Big ]}^{-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e1718e7bbe719680106cede6410911863110b2)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _{alpha }^{ ext{right}}(L)={frac {a}{1-alpha }}{Bigl [}{frac {pi }{b}}csc {Bigl (}{frac {pi }{b}}{Bigr )}-mathrm {B} _{alpha }{Bigl (}{frac {1}{b}}+1,1-{frac {1}{b}}{Bigr )}{Bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e4cbbe4334cf6a8dfad6f6fbc6fe9f135a625a)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _{alpha }(X)={ egin{cases}1-{frac {e^{mu }(2alpha )^{b}}{b+1}}&{ ext{if }}alpha leq 0.5,1-{frac {e^{mu }2^{-b}}{alpha (b-1)}}{ ig [}(1-alpha )^{(1-b)}-1{ ig ]}&{ ext{if }}alpha >0.5.end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ffe0b668ed4a1c92636d6ac529c6e820068f8f)
