Hodnota ocasu v ohrožení (TVAR), také známý jako podmíněné očekávání ocasu (TCE) nebo podmíněné očekávání ocasu (CTE), je míra rizika spojené s obecnějším hodnota v riziku. Kvantifikuje očekávanou hodnotu ztráty za předpokladu, že došlo k události mimo danou úroveň pravděpodobnosti.
Pozadí
V literatuře existuje řada souvisejících, ale mírně odlišných formulací pro TVaR. Častým případem v literatuře je definice TVaR a průměrná hodnota v riziku jako stejné opatření.[1] Podle některých formulací je to jen ekvivalent k očekávaný schodek když podkladový distribuční funkce je kontinuální v
, hodnota na úrovni rizika
.[2] V některých dalších nastaveních je TVaR podmíněné očekávání ztráty nad danou hodnotu, zatímco očekávaný schodek je součinem této hodnoty s pravděpodobností jejího výskytu.[3] První definice nemusí být a koherentní měření rizika obecně je však koherentní, pokud je podkladová distribuce spojitá.[4] Druhá definice je soudržným měřítkem rizika.[3] TVaR odpovídá za závažnost selhání, nejen pravděpodobnost selhání. TVaR je měřítkem očekávání pouze na konci distribuce.
Matematická definice
Kanonická riziková hodnota ocasu je levý ocas (velké záporné hodnoty) v některých disciplínách a pravý ocas (velké kladné hodnoty) v jiných, jako např. pojistněmatematická věda. To je obvykle způsobeno rozdílnými konvencemi zacházení se ztrátami jako s velkými zápornými nebo kladnými hodnotami. Artzner a další pomocí konvence záporné hodnoty definují rizikovou hodnotu ocasu jako:
Vzhledem k tomu, náhodná proměnná
což je výplata portfolia v budoucnu s daným parametrem
pak je riziková hodnota ocasu definována symbolem[5][6][7][8]
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = operatorname {E} [-X | Xleq -operatorname {VaR} _ {alpha} (X)] = operatorname {E} [-X | Xleq x ^ {alfa }],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a43fcb4528aea744af04aaa030d657a563acd40)
kde
je horní
-kvantil dána
. Typicky náhodná proměnná výplaty
je v některých Lp-prostor kde
zaručit existenci očekávání. Typické hodnoty pro
jsou 5% a 1%.
Vzorce pro spojité rozdělení pravděpodobnosti
Existují uzavřené vzorce pro výpočet TVaR při výplatě portfolia
nebo odpovídající ztráta
sleduje konkrétní spojitou distribuci. Li
následuje určité rozdělení pravděpodobnosti s funkce hustoty pravděpodobnosti (p.d.f.)
a kumulativní distribuční funkce (c.d.f.)
, levý ocas TVaR lze reprezentovat jako
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = operatorname {E} [-X | Xleq -operatorname {VaR} _ {alpha} (X)] = - {frac {1} {alpha}} int _ { 0} ^ {alpha} operatorname {VaR} _ {gamma} (X) dgamma = - {frac {1} {alpha}} int _ {- infty} ^ {F ^ {- 1} (alfa)} xf (x ) dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a8589dfee2cdd3c88a93545ef09ef865aa58dc)
Pro inženýrské nebo pojistně-matematické aplikace je běžnější uvažovat o rozdělení ztrát
, v tomto případě se uvažuje pravostranný TVaR (obvykle pro
95% nebo 99%):
.
Protože některé vzorce níže byly odvozeny pro případ levého ocasu a některé pro případ pravého ocasu, mohou být užitečná následující sladění:
a
.
Normální distribuce
Pokud výplata portfolia
následuje normální (Gaussovo) rozdělení s p.d.f.
pak se levý ocas TVaR rovná
, kde
je standardní normální p.d.f.,
je standardní normální c.d.f., takže
je standardní normální kvantil.[9]
Pokud dojde ke ztrátě portfolia
následuje normální rozdělení, pravostranný TVaR se rovná
.[10]
Zobecněná Studentova t-distribuce
Pokud výplata portfolia
následuje zobecněný Studentova t-distribuce s p.d.f.
pak se levý ocas TVaR rovná
, kde
je standardní t-distribuce p.d.f.,
je standardní t-distribuce c.d.f., tak
je standardní kvantil t-distribuce.[9]
Pokud dojde ke ztrátě portfolia
následuje zobecněná Studentova t-distribuce, pravý ocas TVaR se rovná
.[10]
Laplaceova distribuce
Pokud výplata portfolia
následuje Laplaceova distribuce s p.d.f.
a c.d.f.
pak se levý ocas TVaR rovná
pro
.[9]
Pokud dojde ke ztrátě portfolia
následuje Laplaceovo rozdělení, pravý ocas TVaR se rovná
.[10]
Logistická distribuce
Pokud výplata portfolia
následuje logistická distribuce s p.d.f.
a c.d.f.
pak se levý ocas TVaR rovná
.[9]
Pokud dojde ke ztrátě portfolia
následuje logistická distribuce, pravý ocas TVaR se rovná
.[10]
Exponenciální rozdělení
Pokud dojde ke ztrátě portfolia
následuje exponenciální rozdělení s p.d.f.