Metoda kontinuity - Method of continuity

V matematika z Banachovy prostory, metoda kontinuity poskytuje dostatečné podmínky pro odvození invertibility jednoho ohraničený lineární operátor od jiného souvisejícího operátora.

Formulace

Nechat B být Banachův prostor, PROTI A normovaný vektorový prostor, a ${displaystyle (L_ {t}) _ {tin [0,1]}}$ A norma spojitá rodina omezených lineárních operátorů z B do PROTI. Předpokládejme, že existuje konstanta C tak, že pro každého ${displaystyle tin [0,1]}$ a každý ${displaystyle xin B}$

${displaystyle || x || _ {B} leq C || L_ {t} (x) || _ {V}.}$

Pak ${displaystyle L_ {0}}$ je surjektivní právě tehdy ${displaystyle L_ {1}}$ je také surjektivní.

Aplikace

Metoda kontinuity se používá ve spojení s a priori odhady prokázat existenci vhodně pravidelných řešení eliptický parciální diferenciální rovnice.

Důkaz

To předpokládáme ${displaystyle L_ {0}}$ je surjektivní a ukažte to ${displaystyle L_ {1}}$ je také surjektivní.

Rozdělení intervalu [0,1] můžeme předpokládat, že ${displaystyle || L_ {0} -L_ {1} || leq 1 / (3C)}$. Dále, surjektivita ${displaystyle L_ {0}}$ to naznačuje PROTI je izomorfní s B a tedy Banachův prostor. Z hypotézy to vyplývá ${displaystyle L_ {1} (B) subseteq V}$ je uzavřený podprostor.

Předpokládat, že ${displaystyle L_ {1} (B) subseteq V}$ je správný podprostor. Rieszovo lemma ukazuje, že existuje a ${displaystyle yin V}$ takhle ${displaystyle || y || _ {V} leq 1}$ a ${displaystyle mathrm {dist} (y, L_ {1} (B))> 2/3}$. Nyní ${displaystyle y = L_ {0} (x)}$ pro některé ${displaystyle xin B}$ a ${displaystyle || x || _ {B} leq C || y || _ {V}}$ hypotézou. Proto

${displaystyle || y-L_ {1} (x) || _ {V} = || (L_ {0} -L_ {1}) (x) || _ {V} leq || L_ {0} - L_ {1} |||| x || _ {B} leq 1/3,}$

což je od té doby rozpor ${displaystyle L_ {1} (x) v L_ {1} (B)}$.

Viz také

• Schauderovy odhady

Zdroje

• Gilbarg, D .; Trudinger, Neil (1983), Eliptické parciální diferenciální rovnice druhého řádu, New York: Springer, ISBN  3-540-41160-7