v matematika, Schauderovy odhady jsou souborem výsledků z důvodu Juliusz Schauder (1934, 1937 ) týkající se pravidelnosti řešení lineárně, jednotně eliptickýparciální diferenciální rovnice. Odhady říkají, že když má rovnice odpovídajícím způsobem hladký podmínky a vhodně plynulá řešení, pak Hölderova norma řešení lze řídit z hlediska Hölderových norem pro koeficient a zdroj. Protože tyto odhady předpokládají hypotézou existenci řešení, jsou nazývány a priori odhady.
K dispozici je obojí interiér výsledek, který dává Hölderově podmínce řešení ve vnitřních doménách od hranice, a hranice výsledek, který dává Hölderově podmínce řešení v celé doméně. První hranice závisí pouze na prostorové dimenzi, rovnici a vzdálenosti od hranice; druhý závisí také na hladkosti hranice.
Schauderovy odhady jsou nezbytným předpokladem pro použití metoda kontinuity k prokázání existence a pravidelnosti řešení Dirichletův problém pro eliptické PDE. Tento výsledek říká, že když jsou koeficienty rovnice a povaha okrajových podmínek dostatečně plynulé, existuje plynulé klasické řešení PDE.
Schauderovy odhady jsou uvedeny ve smyslu vážených Hölderových norem; notace bude následovat notaci uvedenou v textu D. Gilbarga a Neil Trudinger (1983 ).
Nadřazená norma spojité funkce darováno
Pro funkci, která je Hölderova spojitá s exponentem , to znamená, obvyklý Hölderův seminář darováno
Součet těchto dvou je úplnou Hölderovou normou F
Pro diferencovatelné funkce u, je nutné vzít v úvahu normy vyššího řádu zahrnující deriváty. Norma v prostoru funkcí s k spojité deriváty, , darováno
kde rozsahy přes všechny multiindexy příslušných objednávek. Pro funkce s kderiváty th řádu, které jsou Holder spojité s exponentem , je příslušná polonorma dána vztahem
což dává plnou normu
Pro vnitřní odhady jsou normy váženy vzdáleností k hranici
zvýšeny na stejnou moc jako derivát a semináře jsou váženy
povýšen na příslušnou moc. Výsledná vážená vnitřní norma pro funkci je dána vztahem
Občas je nutné přidat „extra“ síly váhy, označené
Formulace
Formulace v této části jsou převzaty z textu D. Gilbarga a Neil Trudinger (1983 ).
Odhady interiéru
Zvažte omezené řešení na doméně k eliptické parciální diferenciální rovnici druhého řádu
kde zdrojový termín vyhovuje . Pokud existuje konstanta takové, že jsou přísně eliptické,
pro všechny
a příslušné koeficienty norem jsou všechny ohraničeny jinou konstantou
Pak vážený norma u je ovládán převahou u a norma držitele F:
Hraniční odhady
Nechat být doménu (tj. v jakémkoli bodě na hranici domény lze hraniční povrch realizovat po příslušném otočení souřadnic jako funkce), s Dirichletovými hraničními daty, která se shodují s funkcí což je také minimálně . Poté podléhající analogickým podmínkám na koeficientech jako v případě vnitřního odhadu, nevážená Holderova norma u je řízen neváženými normami zdrojového výrazu, hraničními daty a nadřazenou normou u:
Když řešení u uspokojuje maximální princip, lze první výraz na pravé straně vynechat.
Zdroje
Gilbarg, D .; Trudinger, Neil (1983), Eliptické parciální diferenciální rovnice druhého řádu, New York: Springer, ISBN3-540-41160-7