Marcinkiewicz – Zygmundova nerovnost - Marcinkiewicz–Zygmund inequality - Wikipedia

v matematika, Marcinkiewicz – Zygmundova nerovnost, pojmenoval podle Józef Marcinkiewicz a Antoni Zygmund, dává vztahy mezi momenty sbírky nezávislé náhodné proměnné. Jedná se o zobecnění pravidla pro součet odchylky nezávislých náhodných proměnných na momenty libovolného řádu. Jedná se o speciální případ Burkholder-Davis-Gundy nerovnost v případě martingalů v diskrétním čase.

Prohlášení o nerovnosti

Teorém ^[1][2] Li ${ displaystyle textstyle X_ {i}}$, ${ displaystyle textstyle i = 1, ldots, n}$, jsou nezávislé náhodné proměnné takové, že ${ displaystyle textstyle E left (X_ {i} right) = 0}$ a ${ displaystyle textstyle E left ( left vert X_ {i} right vert ^ {p} right) <+ infty}$, ${ displaystyle textstyle 1 leq p <+ infty}$, pak

${ displaystyle A_ {p} E left ( left ( sum _ {i = 1} ^ {n} left vert X_ {i} right vert ^ {2} right) _ {} ^ { p / 2} right) leq E left ( left vert sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} right vert ^ {p} right) leq B_ {p} E left ( left ( sum _ {i = 1} ^ {n} left vert X_ {i} right vert ^ {2} right) _ {} ^ {p / 2} right) }$

kde ${ displaystyle textstyle A_ {p}}$ a ${ displaystyle textstyle B_ {p}}$ jsou kladné konstanty, které závisí pouze na ${ displaystyle textstyle p}$ a ne na podkladovém rozdělení zúčastněných náhodných proměnných.

Případ druhého řádu

V případě ${ displaystyle textstyle p = 2}$, nerovnost drží ${ displaystyle textstyle A_ {2} = B_ {2} = 1}$, a redukuje se na pravidlo pro součet odchylek nezávislých náhodných proměnných s nulovým průměrem, známých ze základní statistiky: ${ displaystyle textstyle E left (X_ {i} right) = 0}$ a ${ displaystyle textstyle E left ( left vert X_ {i} right vert ^ {2} right) <+ infty}$, pak

${ displaystyle mathrm {Var} left ( sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} right) = E left ( left vert sum _ {i = 1} ^ {n } X_ {i} right vert ^ {2} right) = sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} E left (X_ {i} { overline {X}} _ {j} right) = sum _ {i = 1} ^ {n} E left ( left vert X_ {i} right vert ^ {2} right) = sum _ {i = 1} ^ {n} mathrm {Var} left (X_ {i} right).}$

Viz také

Několik podobných momentových nerovností je známo jako Khintchinova nerovnost a Rosenthal nerovnosti, a existují také rozšíření obecnějších symetrických statistika nezávislých náhodných proměnných.^[3]

Poznámky