Logaritmicky konkávní funkce - Logarithmically concave function
v konvexní analýza, a nezáporné funkce F : Rn → R+ je logaritmicky konkávní (nebo log-konkávní zkráceně) pokud je doména je konvexní sada, a pokud uspokojuje nerovnost
pro všechny X,y ∈ dom F a 0 < θ < 1. Li F je přísně pozitivní, to odpovídá tvrzení, že logaritmus funkce, log ∘ F, je konkávní; to je
pro všechny X,y ∈ dom F a 0 < θ < 1.
Příklady funkcí log-concave jsou 0-1 funkce indikátorů konvexních množin (což vyžaduje flexibilnější definici) a Gaussova funkce.
Podobně je funkce log-konvexní pokud splňuje obrácenou nerovnost
pro všechny X,y ∈ dom F a 0 < θ < 1.
Vlastnosti
- Funkce log-concave je také kvazi-konkávní. To vyplývá ze skutečnosti, že logaritmus je monotónní, což naznačuje, že superúrovňové sady této funkce jsou konvexní.[1]
- Každá konkávní funkce, která není ve své doméně nezáporná, je logická. Opak však nemusí nutně platit. Příkladem je Gaussova funkce F(X) = exp (−x2/2) což je od té doby log-concave log F(X) = −X2/2 je konkávní funkce X. Ale F není konkávní, protože druhá derivace je pozitivní pro |X| > 1:
- Z výše uvedených dvou bodů konkávnost logická konkávnost kvazikonkavita.
- Dvakrát diferencovatelná, nezáporná funkce s konvexní doménou je logicky konkávní právě tehdy, pokud pro všechny X uspokojující F(X) > 0,
- ,[1]
- tj.
- je
- negativní semi-definitivní. U funkcí jedné proměnné se tato podmínka zjednoduší na
Operace zachování logaritmické konkávnosti
- Produkty: Produkt funkcí log-concave je také log-concave. Opravdu, pokud F a G jsou tedy log-concave funkce logF a logG jsou konkávní podle definice. Proto
- je konkávní, a tedy také F G je log-konkávní.
- Okraje: pokud F(X,y) : Rn+m → R je log-concave, tedy
- je log-konkávní (viz Nerovnost Prékopa – Leindler ).
- To z toho vyplývá konvoluce zachovává logaritmickou konkávnost, protože h(X,y) = F(X-y) G(y) je log-konkávní, pokud F a G jsou log-konkávní, a proto
- je log-konkávní.
Log-konkávní distribuce
Log-konkávní distribuce jsou nezbytné pro řadu algoritmů, např. adaptivní odmítnutí vzorkování. Každá distribuce s log-konkávní hustotou je a maximální rozdělení pravděpodobnosti entropie se stanoveným průměrem μ a Měření rizika odchylky D.[2] Jak se to stane, mnoho běžných rozdělení pravděpodobnosti jsou log-konkávní. Nějaké příklady:[3]
- The normální distribuce a vícerozměrné normální rozdělení.
- The exponenciální rozdělení.
- The rovnoměrné rozdělení nad jakýmkoli konvexní sada.
- The logistická distribuce.
- The extrémní rozdělení hodnot.
- The Laplaceova distribuce.
- The distribuce chi.
- The hyperbolická sekánová distribuce.
- The Wishart distribuce, kde n >= str + 1.[4]
- The Dirichletova distribuce, kde jsou všechny parametry> = 1.[4]
- The gama distribuce pokud je parametr tvaru> = 1.
- The distribuce chí-kvadrát pokud je počet stupňů volnosti> = 2.
- The beta distribuce pokud jsou oba parametry tvaru> = 1.
- The Weibullova distribuce pokud je parametr tvaru> = 1.
Všimněte si, že všechna omezení parametrů mají stejný základní zdroj: Aby mohla být funkce log-konkávní, musí být exponent nezáporné veličiny nezáporný.
Následující distribuce nejsou logické pro všechny parametry:
- The Studentova t-distribuce.
- The Cauchyovo rozdělení.
- The Paretova distribuce.
- The normální distribuce protokolu.
- The F-distribuce.
Všimněte si, že kumulativní distribuční funkce (CDF) všech distribucí log-concave je také log-concave. Některé distribuce, které nejsou logické, však mají také log-konkávní CDF:
- The normální distribuce protokolu.
- The Paretova distribuce.
- The Weibullova distribuce když je parametr tvaru <1.
- The gama distribuce když je parametr tvaru <1.
Mezi vlastnosti log-konkávních distribucí patří následující:
- Pokud je hustota log-konkávní, tak i její kumulativní distribuční funkce (CDF).
- Pokud je hustota vícerozměrných log-konkávní, tak je i mezní hustota přes jakoukoli podmnožinu proměnných.
- Součet dvou nezávislých log-konkávních náhodné proměnné je log-konkávní. To vyplývá ze skutečnosti, že konvoluce dvou funkcí log-concave je log-concave.
- Produkt dvou funkcí log-concave je log-concave. Tohle znamená tamto kloub hustoty vzniklé vynásobením dvou hustot pravděpodobnosti (např normální-gama distribuce, který má vždy parametr tvaru> = 1) bude log-concave. Tato vlastnost je často používána obecně Gibbsův odběr vzorků programy jako HMYZ a JAGS, které jsou tím schopny používat adaptivní odmítnutí vzorkování přes širokou škálu podmíněné distribuce odvozený z produktu jiných distribucí.
Viz také
Poznámky
- ^ A b Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). "Log-concave a log-convex funkce". Konvexní optimalizace. Cambridge University Press. 104–108. ISBN 0-521-83378-7.
- ^ Grechuk, B .; Molyboha, A .; Zabarankin, M. (2009). "Princip maximální entropie s opatřeními obecné odchylky". Matematika operačního výzkumu. 34 (2): 445–467. doi:10,1287 / měsíc 1090,0377.
- ^ Vidět Bagnoli, Mark; Bergstrom, Ted (2005). "Pravděpodobnost log-concave a její aplikace" (PDF). Ekonomická teorie. 26 (2): 445–469. doi:10.1007 / s00199-004-0514-4.
- ^ A b Prékopa, András (1971). "Logaritmická konkávní opatření s aplikací na stochastické programování". Acta Scientiarum Mathematicarum. 32: 301–316.
Reference
- Barndorff-Nielsen, Ole (1978). Informace a exponenciální rodiny ve statistické teorii. Wiley Series v pravděpodobnosti a matematické statistiky. Chichester: John Wiley & Sons, Ltd. str. Ix + 238 str. ISBN 0-471-99545-2. PAN 0489333.
- Dharmadhikari, Sudhakar; Joag-Dev, Kumar (1988). Unimodalita, konvexnost a aplikace. Pravděpodobnost a matematická statistika. Boston, MA: Academic Press, Inc., s. Xiv + 278. ISBN 0-12-214690-5. PAN 0954608.
- Pfanzagl, Johann; s pomocí R. Hambökera (1994). Parametrická statistická teorie. Walter de Gruyter. ISBN 3-11-013863-8. PAN 1291393.
- Pečarić, Josip E .; Proschan, Frank; Tong, Y. L. (1992). Konvexní funkce, částečné řazení a statistické aplikace. Matematika ve vědě a inženýrství. 187. Boston, MA: Academic Press, Inc. s. Xiv + 467 s. ISBN 0-12-549250-2. PAN 1162312. Citovat má prázdný neznámý parametr:
|1=
(Pomoc)