Logaritmicky konkávní míra - Logarithmically concave measure

v matematika, a Borelův rozměr μ na n-dimenzionální Euklidovský prostor ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ je nazýván logaritmicky konkávní (nebo log-konkávní zkráceně) pokud vůbec kompaktní podmnožiny A a B z ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ a 0 <λ <1, jeden má

${displaystyle mu (lambda A + (1-lambda) B) geq mu (A) ^ {lambda} mu (B) ^ {1-lambda},}$

kde λ A + (1 − λ) B označuje Minkowského součet z λ A a (1 -λ) B.^[1]

Příklady

The Brunn – Minkowského nerovnost tvrdí, že Lebesgueovo opatření je log-konkávní. Omezení opatření Lebesgue na jakékoli konvexní sada je také log-konkávní.

Podle Borellovy věty^[2] míra je log-konkávní právě tehdy, když má hustotu vzhledem k míře Lebesgue na nějaké afinní nadrovině a tato hustota je logaritmicky konkávní funkce. Tedy jakékoli Gaussova míra je log-konkávní.

The Nerovnost Prékopa – Leindler ukazuje, že a konvoluce log-concave opatření je log-concave.

Viz také

• Konvexní míra, zobecnění tohoto konceptu
• Logaritmicky konkávní funkce

Reference