Měření rizika odchylky - Deviation risk measure

v finanční matematika, a míra rizika odchylky je funkce k vyčíslení finanční riziko (a ne nutně Riziko poklesu ) jinou metodou než obecnou míra rizika. Opatření týkající se rizika odchylky zobecňují pojem standardní odchylka.

Matematická definice

Funkce ${ displaystyle D: { mathcal {L}} ^ {2} do [0, + infty]}$, kde ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ {2}}$ je L2 prostor z náhodné proměnné (náhodný návratnost portfolia ), je měřítkem rizika odchylky, pokud

1. Shift-invariantní: ${ displaystyle D (X + r) = D (X)}$ pro všechny ${ displaystyle r in mathbb {R}}$
2. Normalizace: ${ displaystyle D (0) = 0}$
3. Pozitivně homogenní: ${ displaystyle D ( lambda X) = lambda D (X)}$ pro všechny ${ displaystyle X v { mathcal {L}} ^ {2}}$ a ${ displaystyle lambda> 0}$
4. Sublearita: ${ displaystyle D (X + Y) leq D (X) + D (Y)}$ pro všechny ${ displaystyle X, Y v { mathcal {L}} ^ {2}}$
5. Pozitivita: ${ displaystyle D (X)> 0}$ pro všechny nekonstantní X, a ${ displaystyle D (X) = 0}$ pro jakoukoli konstantu X.^[1][2]

Vztah k míře rizika

Tady je jedna ku jedné vztah mezi měřítkem rizika odchylky D a ohraničené očekáváním míra rizika R kde pro všechny ${ displaystyle X v { mathcal {L}} ^ {2}}$

• ${ displaystyle D (X) = R (X- mathbb {E} [X])}$
• ${ displaystyle R (X) = D (X) - mathbb {E} [X]}$.

R je očekávání omezeno, pokud ${ displaystyle R (X)> mathbb {E} [-X]}$ pro jakékoli nekonstantní X a ${ displaystyle R (X) = mathbb {E} [-X]}$ pro jakoukoli konstantu X.

Li ${ displaystyle D (X) < mathbb {E} [X] - operatorname {ess inf} X}$ pro každého X (kde ${ displaystyle operatorname {ess inf}}$ je zásadní infimum ), pak existuje vztah mezi D a a koherentní měření rizika.^[1]

Příklady

Nejznámějšími příklady opatření k odchylce od rizika jsou:^[1]

• Standardní odchylka ${ displaystyle sigma (X) = { sqrt {E [(X-EX) ^ {2}]}}}$;
• Průměrná absolutní odchylka ${ displaystyle MAD (X) = E (| X-EX |)}$;
• Dolní a horní poloviční odchylky ${ displaystyle sigma _ {-} (X) = { sqrt {{E [(X-EX) _ {-}} ^ {2}]}}}$ a ${ displaystyle sigma _ {+} (X) = { sqrt {{E [(X-EX) _ {+}} ^ {2}]}}}$, kde ${ displaystyle [X] _ {-}: = max {0, -X }}$ a ${ displaystyle [X] _ {+}: = max {0, X }}$;
• Odchylky založené na rozsahu, například ${ displaystyle D (X) = EX- inf X}$ a ${ displaystyle D (X) = sup X- inf X}$;
• Podmíněná odchylka hodnoty v riziku (CVaR), definovaná pro jakoukoli ${ displaystyle alpha v (0,1)}$ podle ${ displaystyle { rm {CVaR}} _ { alpha} ^ { Delta} (X) equiv ES _ { alpha} (X-EX)}$, kde ${ displaystyle ES _ { alpha} (X)}$ je Očekávaný schodek.

Viz také

• Jednotkové riziko

Reference