Seznam dlouhých matematických důkazů - List of long mathematical proofs

Toto je seznam neobvykle dlouhých matematické důkazy.

Od roku 2011, nejdelší matematický důkaz, měřený počtem publikovaných stránek časopisu, je klasifikace konečných jednoduchých skupin s více než 10 000 stránkami. Existuje několik důkazů, které by byly mnohem delší, než kdyby byly zveřejněny podrobnosti počítačových výpočtů, na kterých závisí.

Dlouhé důkazy

Délka neobvykle dlouhých důkazů se postupem času zvyšovala. Drsným pravidlem je, že 100 stran v roce 1900 nebo 200 stran v roce 1950 nebo 500 stránek v roce 2000 je pro důkaz neobvykle dlouhá.

  • 1799 The Abel – Ruffiniho věta bylo téměř prokázáno Paolo Ruffini, ale jeho důkaz, přesahující 500 stran, byl většinou ignorován a později, v roce 1824, Niels Henrik Abel zveřejnil důkaz, který vyžadoval pouhých šest stránek.
  • 1890 Killingova klasifikace jednoduchých komplexních Lieových algeber, včetně jeho objevu výjimečné Lieovy algebry, vzal 180 stran ve 4 referátech.
  • 1894 Konstrukce pravítka a kompasu a mnohoúhelník 65537 stran podle Johann Gustav Hermes trvalo přes 200 stránek.
  • 1905 Emanuel Lasker Originální doklad o Lasker-Noetherova věta trvalo 98 stránek, ale od té doby bylo zjednodušeno: moderní důkazy jsou kratší než stránka.
  • 1963 Věta lichého řádu od Feita a Thompsona měla 255 stránek, což bylo v té době více než 10krát více než to, co bylo dříve považováno za dlouhý článek v teorii skupin.
  • 1964 Řešení singularit Původní důkaz Hironaky měl 216 stránek; od té doby se značně zjednodušil na přibližně 10 nebo 20 stránek.
  • 1966 Abyhankarův důkaz rozlišení singularit pro 3násobné složení u charakteristiky větší než 6 pokrylo přibližně 500 stránek v několika dokumentech. V roce 2009 to Cutkosky zjednodušil na přibližně 40 stránek.
  • 1966 Diskrétní řady reprezentace Lieových skupin. Konstrukce Harish-Chandry zahrnovala dlouhou sérii příspěvků v celkovém objemu přibližně 500 stran. Jeho pozdější práce na Plancherelově větě pro polojednodušé skupiny k nim přidala dalších 150 stránek.
  • 1968 Novikov -Adian řešení důkazů Burnsideův problém na konečně generovaných nekonečných skupinách s konečnými exponenty záporně. Třídílný originální papír má více než 300 stránek. (Britton později publikoval 282 stránkový článek, který se pokoušel problém vyřešit, ale jeho článek obsahoval vážnou mezeru.)
  • 1960–1970 Fondements de la Géometrie Algébrique, Éléments de géométrie algébrique a Séminaire de géométrie algébrique. Grothendieckova práce na základech algebraické geometrie pokrývá mnoho tisíc stránek. Ačkoli to není důkaz jediné věty, je v ní několik vět, jejichž důkazy závisí na stovkách dřívějších stránek.
  • 1974 Věta o N-skupině Thompsonova klasifikace N-skupin použila 6 příspěvků o celkovém objemu přibližně 400 stran, ale také použila dřívější výsledky jeho, jako např věta o lichém pořadí, které dosahují celkové délky až více než 700 stránek.
  • 1974 Ramanujan dohad a Weil dohady. Zatímco Deligneova závěrečná práce dokazující, že tyto dohady byly „jen“ asi 30 stran dlouhé, závisela na výsledcích pozadí v algebraické geometrii a étale cohomology že Deligne odhaduje na asi 2 000 stran.
  • 1974 4-barevná věta. Appelův a Hakenův důkaz o tom trval 139 stránek a záviselo také na dlouhých počítačových výpočtech.
  • 1974 The Věta Gorenstein – Harada klasifikace konečných skupin sekčních dvouřadých nanejvýš 4 měla délku 464 stránek.
  • 1976 Eisensteinova řada Langlandsův důkaz funkční rovnice pro Eisensteinovu sérii měl 337 stránek.
  • 1983 Věta o trichotomii Důkaz Gorensteina a Lyonsa pro případ hodnosti nejméně 4 měl délku 731 stránek a Aschbacherův důkaz případu hodnosti 3 přidává dalších 159 stránek, tedy celkem 890 stránek.
  • 1983 Selbergův stopový vzorec Hejhalův důkaz obecné formy stopového vzorce Selberg sestával ze 2 svazků o celkové délce 1322 stran.
  • Arthur – Selbergův stopový vzorec. Arturovy důkazy o různých verzích tohoto dokumentu pokrývají několik stovek stránek rozložených do mnoha papírů.
  • 2000 Almgrenova věta o pravidelnosti Almgrenův důkaz měl délku 955 stránek.
  • 2000 Lafforgueova věta na Langlandsově domněnce pro obecnou lineární skupinu nad funkčními poli. Laurent Lafforgue Důkaz toho byl asi 600 stran dlouhý, nepočítaje mnoho stránek výsledků na pozadí.
  • 2003 Poincarého domněnka, Věta o geometrizaci, Geometrizační domněnka. Perelmanovy původní důkazy o Poincarého domněnce a domněnce Geometrization nebyly zdlouhavé, ale spíše povrchní. Několik dalších matematiků vydalo důkazy s vyplněnými podrobnostmi, které přicházejí na několik stovek stránek.
  • 2004 Kvazithinové skupiny Klasifikace jednoduchých kvazithinových skupin podle Aschbachera a Smitha byla dlouhá 1221 stran, což byla jedna z nejdelších samostatných prací, jaké kdy byly napsány.
  • 2004 Klasifikace konečných jednoduchých skupin. Důkaz toho je rozložen do stovek článků v časopisech, takže je těžké odhadnout jeho celkovou délku, která je pravděpodobně kolem 10 000 až 20 000 stránek.
  • 2004 Věta Robertson – Seymour. Důkaz trvá přibližně 500 stránek rozložených na přibližně 20 papírech.
  • 2005 Keplerova domněnka Hales Důkazem toho je několik stovek stránek publikovaných argumentů spolu s několika gigabajty počítačových výpočtů.
  • 2006 silná dokonalá věta o grafu tím, že Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour a Robin Thomas. 180 stránek v Annals of Mathematics.

Dlouhé počítačové výpočty

Existuje mnoho matematických vět, které byly zkontrolovány dlouhými počítačovými výpočty. Pokud by byly napsány jako důkazy, mnohé by byly mnohem delší než většina výše uvedených důkazů. Ve skutečnosti neexistuje jasný rozdíl mezi počítačovými výpočty a důkazy, protože několik výše uvedených důkazů, jako je čtyřbarevná věta a Keplerova domněnka, používají dlouhé počítačové výpočty i mnoho stránek matematického argumentu. U počítačových výpočtů v této části jsou matematické argumenty dlouhé pouze několik stránek a délka je dána dlouhými, ale rutinními výpočty. Některé typické příklady takových vět zahrnují:

Dlouhé důkazy v matematické logice

Hlavní článek: Gödelova věta o zrychlení

Kurt Gödel ukázal, jak najít explicitní příklady prohlášení ve formálních systémech, které jsou v tomto systému prokazatelné, ale jejichž nejkratší důkaz je absurdně dlouhý. Například prohlášení:

„Toto tvrzení nelze dokázat aritmetikou Peano v méně než googolplexových symbolech“

je prokazatelný v aritmetice Peano, ale nejkratší důkaz má alespoň googolplexové symboly. Má krátký důkaz v silnějším systému: ve skutečnosti je to snadno dokázatelné v aritmetice Peano spolu s tvrzením, že Peano aritmetika je konzistentní (což nelze v aritmetice Peano Gödelova věta o neúplnosti ).

V tomto argumentu může být Peanoova aritmetika nahrazena jakýmkoli výkonnějším konzistentním systémem a googolplex může být nahrazen libovolným číslem, které lze v systému stručně popsat.

Harvey Friedman našel některé explicitní přirozené příklady tohoto jevu, poskytl některé explicitní výroky v aritmetických a jiných formálních systémech Peano, jejichž nejkratší důkazy jsou směšně dlouhé (Smoryński 1982 ). Například prohlášení

"existuje celé číslo n takové, že pokud existuje sled kořenových stromů T1, T2, ..., Tn takhle Tk má nanejvýš k+10 vrcholů, pak může být nějaký strom homeomorfně vložený v pozdějším "

je prokazatelný v aritmetice Peano, ale nejkratší důkaz má alespoň délku A(1000), kde A(0) = 1 a A(n+1)=2A(n). Toto prohlášení je zvláštním případem Kruskalova věta a má krátký důkaz v aritmetika druhého řádu.

Viz také

Reference

  1. ^ Jehněčí, Evelyn (26. května 2016). „Dvouset terabajtový matematický důkaz je největší v historii: Počítač rozluští trojnásobný problém booleovských Pythagorovců - ale je to opravdu matematika?“. Příroda.
  2. ^ Heule, Marijn J. H. (2017). „Schur číslo pět“. arXiv:1711.08076.