v matematika, zejména v teorie kategorií, zvedání majetku je vlastnost dvojice morfismy v kategorie. Používá se v teorie homotopy v rámci algebraická topologie definovat vlastnosti morfismů vycházející z výslovně dané třídy morfismů. V teorii se to objevuje prominentním způsobem modelové kategorie, axiomatický rámec pro teorie homotopy představil Daniel Quillen. Používá se také při definici a faktorizační systém a a slabý faktorizační systém, pojmy související s, ale méně omezující než pojem kategorie modelu. Několik elementárních pojmů lze také vyjádřit pomocí vlastnosti zvedání počínaje seznamem příkladů (čítačů).
Formální definice
Morfismus i v kategorii má vlevo zvedání majetku s ohledem na morfismus str, a str má také správné zvedání majetku s ohledem na i, někdy označován nebo , pokud pro každý morfismus platí následující implikace F a G v kategorii:
- pokud vnější čtverec následujícího diagramu dojíždí, pak existuje h dokončení diagramu, tj. pro každý a takhle tady existuje takhle a .
Toto je někdy také známé jako morfismus i bytost kolmo na morfismus str; to však může také odkazovat na silnější vlastnost, že kdykoli F a G jsou jako výše, diagonální morfismus h existuje a musí být také jedinečný.
Pro třídu C morfismů v kategorii, její vlevo kolmé nebo s ohledem na zdvihací vlastnost, respektive její pravý ortogonální nebo , je třída všech morfismů, které mají levou, respektive pravou zvedací vlastnost s ohledem na každý morfismus ve třídě C. V notaci
Vezmeme-li ortogonální třídy C je jednoduchý způsob, jak definovat třídu morfismů vylučujících neizomorfismy z C, způsobem, který je užitečný v a pronásledování diagramu výpočet.
Tedy v kategorii Soubor z sady, pravý ortogonální nejjednodušších non-surjection je třída surjECTION. Levá a pravá ortogonály nejjednodušší neinjekční, jsou přesně třída injekcí,
Je jasné že a . Třída je vždy zasunutý, odvolání, (malý) produkty (kdykoli v kategorii existují) a složení morfismů a obsahuje všechny izomorfismy C. Mezitím je zasunutý, tlačení, (malý) koprodukty a transfinitní složení (filtrované kolimity ) morfismů (kdykoli v kategorii existují) a obsahuje také všechny izomorfismy.
Příklady
Řadu pojmů lze definovat několikanásobným procházením doleva nebo doprava kolmo, počínaje seznamem explicitních příkladů, tj. Jako , kde je třída skládající se z několika výslovně daných morfismů. Užitečnou intuicí je myslet si, že vlastnost zvedání leva proti třídě C je druh negace vlastnosti být v C, a to zvedání doprava je také druh negace. Proto třídy získané z C tím, že ortogonály lichým počtem opakování, jako je atd., představují různé druhy negace C, tak každý se skládá z morfismů, které zdaleka nemají majetek .
Příklady zvedacích vlastností v algebraické topologii
Mapa má vlastnost zvedání dráhy iff kde je zahrnutí jednoho koncového bodu uzavřeného intervalu do intervalu .
Mapa má homotopy zvedací vlastnost iff kde je mapa .
Příklady zvedacích vlastností pocházejících z modelových kategorií
Fibrace a kofibrace.
- Nechat Horní být kategorií topologické prostory a nechte být třídou map , vložení hranice míče do míče . Nechat být třídou map vkládajících horní polokouli do disku. jsou třídy fibrací, acyklických kofibrací, acyklických fibrací a kofibrací.[1]
- Nechat sSet být kategorií jednoduché sady. Nechat být třídou hraničních inkluzí a nechte být třídou inkluzí rohů . Pak jsou třídy fibrací, acyklických kofibrací, acyklických fibrací a kofibrací, v daném pořadí, .[2]
- a být
- Pak jsou třídy fibrací, acyklických kofibrací, acyklických fibrací a kofibrací.[3]
Základní příklady v různých kategoriích
v Soubor,
- je třída surjECTION,
- je třída injekcí.
V kategorii R-Mod z moduly přes komutativní kruh R,
- je třída surjECTION, resp. injekce,
- Modul M je projektivní, resp. injekční, pokud je v , resp. je v .
V kategorii Grp z skupiny,
- , resp. , je třída injekcí, resp. surjekce (kde označuje nekonečno cyklická skupina ),
- Skupina F je volná skupina iff je v
- Skupina A je bez kroucení iff je v
- A podskupina A z B je čistý iff je v
Pro konečná skupina G,
- pokud objednat z G je hlavní str,
- iff G je str-skupina,
- H je nilpotentní, pokud jde o úhlopříčnou mapu je v kde označuje třídu map
- konečná skupina H je rozpustný iff je v
V kategorii Horní topologických prostorů, let , resp. označit oddělený, resp. antidiskrétní prostor se dvěma body 0 a 1. Let označit Sierpinského prostor dvou bodů, kde je bod 0 otevřený a bod 1 uzavřený, a let atd. označují zřejmé vložení.
- prostor X splňuje separační axiom T0 iff je v
- prostor X splňuje separační axiom T1 iff je v
- je třída map s hustý obraz,
- je třída map takové, že topologie na A je návrat k topologii B, tj. topologie zapnuta A je topologie s nejmenším počtem otevřených množin, takže mapa je kontinuální,
- je třída surjektivních map,
- je třída map formy kde D je diskrétní,
- je třída map takové, že každý připojená součást z B protíná se ,
- je třída injektivních map,
- je třída map takové, že preimage a připojeno uzavřená otevřená podmnožina Y je připojený zavřený otevřený podmnožina z X, např. X je připojen iff je v ,
- pro připojený prostor X je zapnuta každá spojitá funkce X je ohraničený iff kde je mapa z disjunktní unie otevřených intervalů do skutečná linie
- prostor X je Hausdorff iff pro jakoukoli injektivní mapu , drží to kde označuje tříbodový prostor se dvěma otevřenými body A a ba uzavřený bod X,
- prostor X je naprosto normální iff kde otevřený interval jde doX, a mapy k bodu , a mapy k bodu , a označuje tříbodový prostor se dvěma uzavřenými body a jeden otevřený bod X.
V kategorii metrické prostory s rovnoměrně spojité mapy.
- Prostor X je kompletní iff kde je zřejmá inkluze mezi dvěma podprostory reálné linie s indukovanou metrikou a je metrický prostor skládající se z jediného bodu,
- Podprostor je uzavřen, pokud
Poznámky
Reference