v matematika, zejména v teorie kategorií, zvedání majetku je vlastnost dvojice morfismy v kategorie. Používá se v teorie homotopy v rámci algebraická topologie definovat vlastnosti morfismů vycházející z výslovně dané třídy morfismů. V teorii se to objevuje prominentním způsobem modelové kategorie, axiomatický rámec pro teorie homotopy představil Daniel Quillen. Používá se také při definici a faktorizační systém a a slabý faktorizační systém, pojmy související s, ale méně omezující než pojem kategorie modelu. Několik elementárních pojmů lze také vyjádřit pomocí vlastnosti zvedání počínaje seznamem příkladů (čítačů).
Formální definice
Morfismus i v kategorii má vlevo zvedání majetku s ohledem na morfismus str, a str má také správné zvedání majetku s ohledem na i, někdy označován
nebo
, pokud pro každý morfismus platí následující implikace F a G v kategorii:
- pokud vnější čtverec následujícího diagramu dojíždí, pak existuje h dokončení diagramu, tj. pro každý
a
takhle
tady existuje
takhle
a
.

Toto je někdy také známé jako morfismus i bytost kolmo na morfismus str; to však může také odkazovat na silnější vlastnost, že kdykoli F a G jsou jako výše, diagonální morfismus h existuje a musí být také jedinečný.
Pro třídu C morfismů v kategorii, její vlevo kolmé
nebo
s ohledem na zdvihací vlastnost, respektive její pravý ortogonální
nebo
, je třída všech morfismů, které mají levou, respektive pravou zvedací vlastnost s ohledem na každý morfismus ve třídě C. V notaci

Vezmeme-li ortogonální třídy C je jednoduchý způsob, jak definovat třídu morfismů vylučujících neizomorfismy z C, způsobem, který je užitečný v a pronásledování diagramu výpočet.
Tedy v kategorii Soubor z sady, pravý ortogonální
nejjednodušších non-surjection
je třída surjECTION. Levá a pravá ortogonály
nejjednodušší neinjekční, jsou přesně třída injekcí,

Je jasné že
a
. Třída
je vždy zasunutý, odvolání, (malý) produkty (kdykoli v kategorii existují) a složení morfismů a obsahuje všechny izomorfismy C. Mezitím
je zasunutý, tlačení, (malý) koprodukty a transfinitní složení (filtrované kolimity ) morfismů (kdykoli v kategorii existují) a obsahuje také všechny izomorfismy.
Příklady
Řadu pojmů lze definovat několikanásobným procházením doleva nebo doprava kolmo, počínaje seznamem explicitních příkladů, tj. Jako
, kde
je třída skládající se z několika výslovně daných morfismů. Užitečnou intuicí je myslet si, že vlastnost zvedání leva proti třídě C je druh negace vlastnosti být v C, a to zvedání doprava je také druh negace. Proto třídy získané z C tím, že ortogonály lichým počtem opakování, jako je
atd., představují různé druhy negace C, tak
každý se skládá z morfismů, které zdaleka nemají majetek
.
Příklady zvedacích vlastností v algebraické topologii
Mapa
má vlastnost zvedání dráhy iff
kde
je zahrnutí jednoho koncového bodu uzavřeného intervalu do intervalu
.
Mapa
má homotopy zvedací vlastnost iff
kde
je mapa
.
Příklady zvedacích vlastností pocházejících z modelových kategorií
Fibrace a kofibrace.
- Nechat Horní být kategorií topologické prostory a nechte
být třídou map
, vložení hranice
míče do míče
. Nechat
být třídou map vkládajících horní polokouli do disku.
jsou třídy fibrací, acyklických kofibrací, acyklických fibrací a kofibrací.[1]
- Nechat sSet být kategorií jednoduché sady. Nechat
být třídou hraničních inkluzí
a nechte
být třídou inkluzí rohů
. Pak jsou třídy fibrací, acyklických kofibrací, acyklických fibrací a kofibrací, v daném pořadí,
.[2]

- a
být
- Pak
jsou třídy fibrací, acyklických kofibrací, acyklických fibrací a kofibrací.[3]
Základní příklady v různých kategoriích
v Soubor,
je třída surjECTION,
je třída injekcí.
V kategorii R-Mod z moduly přes komutativní kruh R,
je třída surjECTION, resp. injekce,
- Modul M je projektivní, resp. injekční, pokud
je v
, resp.
je v
.
V kategorii Grp z skupiny,
, resp.
, je třída injekcí, resp. surjekce (kde
označuje nekonečno cyklická skupina ),
- Skupina F je volná skupina iff
je v 
- Skupina A je bez kroucení iff
je v 
- A podskupina A z B je čistý iff
je v 
Pro konečná skupina G,
pokud objednat z G je hlavní str,
iff G je str-skupina,
- H je nilpotentní, pokud jde o úhlopříčnou mapu
je v
kde
označuje třídu map 
- konečná skupina H je rozpustný iff
je v ![{ displaystyle {0 to A: A { text {abelian}} } ^ { perp ell r} = {[G, G] až G: G { text {libovolně}} } ^ { perp ell r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1189354731e225534fd0eacb3dce9bcd44f1e66e)
V kategorii Horní topologických prostorů, let
, resp.
označit oddělený, resp. antidiskrétní prostor se dvěma body 0 a 1. Let
označit Sierpinského prostor dvou bodů, kde je bod 0 otevřený a bod 1 uzavřený, a let
atd. označují zřejmé vložení.
- prostor X splňuje separační axiom T0 iff
je v 
- prostor X splňuje separační axiom T1 iff
je v 
je třída map s hustý obraz,
je třída map
takové, že topologie na A je návrat k topologii B, tj. topologie zapnuta A je topologie s nejmenším počtem otevřených množin, takže mapa je kontinuální,
je třída surjektivních map,
je třída map formy
kde D je diskrétní,
je třída map
takové, že každý připojená součást z B protíná se
,
je třída injektivních map,
je třída map
takové, že preimage a připojeno uzavřená otevřená podmnožina Y je připojený zavřený otevřený podmnožina z X, např. X je připojen iff
je v
,
- pro připojený prostor X je zapnuta každá spojitá funkce X je ohraničený iff
kde
je mapa z disjunktní unie otevřených intervalů
do skutečná linie 
- prostor X je Hausdorff iff pro jakoukoli injektivní mapu
, drží to
kde
označuje tříbodový prostor se dvěma otevřenými body A a ba uzavřený bod X,
- prostor X je naprosto normální iff
kde otevřený interval
jde doX, a
mapy k bodu
, a
mapy k bodu
, a
označuje tříbodový prostor se dvěma uzavřenými body
a jeden otevřený bod X.
V kategorii metrické prostory s rovnoměrně spojité mapy.
- Prostor X je kompletní iff
kde
je zřejmá inkluze mezi dvěma podprostory reálné linie s indukovanou metrikou a
je metrický prostor skládající se z jediného bodu,
- Podprostor
je uzavřen, pokud 
Poznámky
Reference