Nepravidelnost povrchu - Irregularity of a surface
V matematice je nesrovnalost a složitý povrch X je Hodge číslo , obvykle označeno q.[1] Nepravidelnost algebraického povrchu je někdy definována jako toto Hodgeovo číslo a někdy jako dimenze Odrůda Picard, který je stejný v charakteristice 0, ale může být menší v pozitivní charakteristice.[2]
Název „nepravidelnost“ vychází ze skutečnosti, že pro první podrobně zkoumané povrchy byly hladké komplexní povrchy v P3, nepravidelnost zmizí. Nepravidelnost se poté objevila jako nový „korekční“ člen měřící rozdíl z geometrický rod a aritmetický rod složitějších povrchů. Povrchy se někdy nazývají pravidelné nebo nepravidelné podle toho, zda nepravidelnost zmizí.
Pro komplexní analytické potrubí X obecné dimenze, Hodgeovo číslo se nazývá nesrovnalost , a je označen q.
Složité povrchy
Pro nesingulární komplexní projektivní (nebo Kähler ) povrchy, následující čísla jsou stejná:
- Nesrovnalost;
- Rozměr Albánská odrůda;
- Rozměr Odrůda Picard;
- The Hodge číslo ;
- The Hodge číslo ;
- Rozdíl z geometrický rod a aritmetický rod.
U povrchů s kladnou charakteristikou nebo u povrchů jiných než Kählerových komplexů nemusí být všechna čísla stejná.
Henri Poincaré dokázal, že pro komplexní projektivní povrchy je rozměr odrůdy Picard stejný jako Hodge číslo h0,1, a totéž platí pro všechny kompaktní povrchy Kähler. Nepravidelnost hladkých kompaktních Kählerových povrchů je při bimeromorfních transformacích neměnná.[3]
Pro obecné kompaktní komplexní povrchy jsou dvě Hodgeova čísla h1,0 a h0,1 nemusí být stejné, ale h0,1 je buď h1,0 nebo h1,0+1 a je rovno h1,0 pro kompaktní Kählerovy povrchy.
Pozitivní charakteristika
Přes pole pozitivní charakteristika, vztah mezi q (definováno jako rozměr odrůdy Picard nebo Albánec) a čísla Hodge h0,1 a h1,0 je složitější a jakékoli dva z nich se mohou lišit.
Existuje kanonická mapa z povrchu F k jeho albánské odrůdě A který indukuje homomorfismus z kotangensového prostoru albánské odrůdy (dimenze q) až H1,0(F).[4] Jun-Ichi Igusa zjistil, že je to injekční, takže , ale krátce poté našel povrch v charakteristice 2 s a Odrůda Picard dimenze 1, takže q může být přísně menší než obě Hodgeova čísla.[4] V kladné charakteristice není ani Hodgeovo číslo vždy omezeno druhým. Serre ukázal, že je to možné h1,0 zmizet h0,1 je pozitivní, zatímco Mumford to ukázal pro Obohacuje povrchy v charakteristice 2 je možné pro h0,1 zmizet h1,0 je pozitivní.[5][6]
Alexander Grothendieck poskytl úplný popis vztahu q na ve všech charakteristikách. Rozměr tečného prostoru k Picardovu schématu (v jakémkoli bodě) se rovná .[7] V charakteristice 0 je výsledek Pierre Cartier ukázaly, že všechna skupinová schémata konečného typu nejsou singulární, takže rozměr jejich tečného prostoru je jejich rozměrem. Na druhou stranu, v pozitivní charakteristice je možné, aby skupinové schéma nebylo v každém bodě zmenšeno, takže dimenze je menší než dimenze libovolného tečného prostoru, což se děje v příkladu Igusy. Mumford ukazuje, že tečný prostor k odrůdě Picard je podprostorem H0,1 zničen všemi Bocksteinovy operace z H0,1 na H0,2, takže nesrovnalost q je rovný h0,1 jen kdyby všechny tyto Bocksteinovy operace zmizely.[6]
Reference
- ^ Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M .; Van de Ven, Antonius (2004), Kompaktní komplexní povrchy, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-00832-3, PAN 2030225
- ^ Bombieri, Enrico; Mumford, David (1977), „Enriquesova klasifikace povrchů v char. S. II“, Komplexní analýza a algebraická geometrie, Tokio: Iwanami Shoten, s. 23–42, PAN 0491719
- ^ Poincaré, Henri (1910), „Sur les courbes tracées sur les povrchy algébriques“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 3, 27: 55–108, doi:10,24033 / asens. 617
- ^ A b Igusa, Jun-Ichi (1955), „Základní nerovnost v teorii Picardových odrůd“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 41 (5): 317–320, doi:10.1073 / pnas.41.5.317, ISSN 0027-8424, JSTOR 89124, PAN 0071113, PMC 528086, PMID 16589672
- ^ Serre, Jean-Pierre (1958), „Sur la topologie des variétés algébriques en caractéristique p“, Symposium internacional de topología algebraica„Universidad Nacional Autónoma de México a UNESCO, Mexico City, s. 24–53, PAN 0098097
- ^ A b Mumford, David (1961), "Patologie modulárních algebraických povrchů" (PDF), American Journal of Mathematics Johns Hopkins University Press, 83 (2): 339–342, doi:10.2307/2372959, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372959, PAN 0124328
- ^ Grothendieck, Alexander (1961), Techniky konstruování a théorèmes d'existence en géométrie algébrique. IV. Les schémas de Hilbert, Séminaire Bourbaki 221