Hyperelliptický povrch - Hyperelliptic surface

v matematika, a hyperelliptický povrchnebo bi-eliptický povrch, je povrch jehož albánský morfismus je eliptická fibrace. Každý takový povrch lze zapsat jako kvocient a produkt dvou eliptických křivek o a konečná abelianská skupina.Hyperelliptické povrchy tvoří jednu ze tříd povrchů Dimenze Kodaira 0 v Klasifikace Enriques – Kodaira.

Invarianty

Kóta Kodaira je 0.

Hodge diamant:

		1
	1		1
0		2		0
	1		1
		1

Klasifikace

Libovolný hyperelliptický povrch je kvocient (E×F)/G, kde E = C/ Λ a F jsou eliptické křivky a G je podskupina F (herectví na F překlady). Existuje sedm rodin hyperelliptických povrchů jako v následující tabulce.

řád K.	Λ	G	Akce G na E
2	Žádný	Z/2Z	E → −E
2	Žádný	Z/2Z ⊕ Z/2Z	E → −E, E → E+C, −C=C
3	Z ⊕ Zω	Z/3Z	E → ωE
3	Z ⊕ Zω	Z/3Z ⊕ Z/3Z	E → ωE, E → E+C, ωC=C
4	Z ⊕ Zi;	Z/4Z	E → iE
4	Z ⊕ Zi	Z/4Z ⊕ Z/2Z	E → iE, E → E+C, iC=C
6	Z ⊕ Zω	Z/6Z	E → −ωE

Zde ω je a primitivní kořen kostky 1 a i je primitivní 4. kořen 1.

Kvazi hyperelliptické povrchy

A kvazihyperelliptický povrch je povrch, jehož kanonický dělitel je číselně ekvivalentní nule, Albánské mapování mapy na eliptickou křivku a všechny její vlákna jsou Racionální s hrot. Existují pouze v charakteristiky 2 nebo 3. Jejich druhá Betti číslo je 2, druhá Chern číslo zmizí a holomorfní Eulerova charakteristika zmizí. Byly klasifikovány podle (Bombieri & Mumford 1976 ), kteří v charakteristice 3 našli šest případů (v takovém případě 6K.= 0) a osm v charakteristice 2 (v takovém případě 6K. nebo 4K. Jakýkoli kvazihyperelliptický povrch je kvocient (E×F)/G, kde E je racionální křivka s jedním hrotem, F je eliptická křivka a G je konečný schéma podskupiny z F (jedná se o F překlady).

Reference

Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M .; Van de Ven, Antonius (2004), Kompaktní komplexní povrchy, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-00832-3, PAN 2030225 - standardní referenční kniha pro kompaktní složité povrchy
Beauville, Arnaud (1996), Složité algebraické povrchy, London Mathematical Society Student Texts, 34 (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49510-3, PAN 1406314, ISBN 978-0-521-49842-5
Bombieri, Enrico; Mumford, David (1976), „Enriquesova klasifikace povrchů v char. Str. III.“ (PDF), Inventiones Mathematicae, 35: 197–232, doi:10.1007 / BF01390138, ISSN 0020-9910, PAN 0491720
Bombieri, Enrico; Mumford, David (1977), „Enriquesova klasifikace povrchů v char. S. II“, Komplexní analýza a algebraická geometrie, Tokio: Iwanami Shoten, s. 23–42, PAN 0491719